1、 2020 年高三年级第三次诊断性测试年高三年级第三次诊断性测试 文科数学（问卷）文科数学（问卷） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】解不等式简化集合 的表示，用列举法表示集合 ，最后根据集合交集的定义求出. 【详解】， 又，所以，故本题选 C. 【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键. 2.若复数 满足（ 为虚数单位）
2、 ，则 =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 试题分析：因为，所以因此 考点：复数的模 3.方程的实根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案 【详解】构造函数，则该函数在上单调递增， ， 由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选 B. 【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结 合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题 4.已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得的值.
3、【详解】由，得， 两边平方并化简得. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 5.已知 ， ， 为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. ，且，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 C. 若， ，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理判断 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项 是否正确；根 据直线与平面位置关系，来判断 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平 面，来判断 是否正确. 【详解】对于选项 ，若时， 与不一定垂直，所以 错误； 对于选项
4、，若三点不在平面的同侧，则与相交，所以 错误； 对于选项 ，有可能，所以 错误； 对于选项 ，根据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，所以 正确.故选:D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题. 6.在校园篮球赛中， 甲、 乙两个队 10 场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图， 下列说法正确的是 （ ） A. 乙队得分的中位数是 38.5 B. 甲、乙两队得分在分数段频率相等 C. 乙队的平均得分比甲队的高 D. 甲队得分的稳定性比乙队好 【答案】D 【分析】根据茎叶图，对数据的中位数、频率、平均数和稳定性对选项逐一分析，由此确定正
5、确选项. 【详解】对于 A选项，乙队得分的中位数是，故 A选项错误. 对于 B选项，甲队得分在分数段频率为，乙队得分在分数段频率为 ，所以 B选项错 误. 对于 C选项，甲队平均分为， 乙队平均分为，两队得分平均分相等，所以 C选项错误. 对于 D选项，由于两队得分的平均分相等，而甲队的得分较为集中，乙队的得分比较分散，所以甲队得分 的稳定性比乙队好.故选：D 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图进行数据分析，属于基础题. 7.把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变） ，再把得到图象上所 有点向右平移 个单位长度，得到函数的图象.则下列命题正确的是（ ） A. 函数在区间 ，上单
6、调递减 B. 函数在区间 ，上单调递增 C. 函数的图象关于直线 ，对称 D. 函数的图象关于点 ，对称 【答案】B 【分析】先根据函数图象变换的知识求得的解析式，再根据的单调性和对称性对选项进行分析， 由此确定正确选项. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变）得到 ， 再 把 得 到 图 象 上 所 有 点 向 右 平 移个 单 位 长 度 ， 得 到 . 由，解得，所以的单调递增区间是 . 由，解得，所以的单调递增区间是 . 所以 A选项错误，B 选项正确. 由，解得，即是的对称轴，所以 CD选项错 误.故选：B 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角
7、函数的单调性和对称性，属于中档题. 8.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和 为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（ ） A. 5.5尺 B. 4.5 尺 C. 3.5 尺 D. 2.5尺 【答案】A 【分析】先设等差数列，首项为，公差为 ，根据题意有， ，然后由两式求解. 【详解】设等差数列，首项为，公差为 ， 根据题意得 ， ， 解得， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了
8、运算求解的能力，属于基础题. 9.函数 的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和特殊范围的函数值，判断出正确选项. 【详解】由于，所以的定义域为 ，且 . 所以为偶函数，所以 B,C 选项错误. 当时，故，所以，所 以， 所以.所以 D选项错误. 故选：A 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十 四个面的半正多面体，它们的棱长都相
9、等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为 二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边 体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】通过二十四等边体的外接球表面积求得半径，进而计算出二十四等边体的边长，进而计算出二十 四等边体的表面积. 【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为， 设其半径为 ，则，解得. 设 为球心，依题意可知四边形分别为正方体侧棱的中点， 所以正方形，由于， 所以四边形是正方形，. 所以二十四等边体的边长为 . 所以二十四等边体的边长的表面积为 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查几何体外接
10、球有关计算，考查空间想象能力，属于中档题. 11.过双曲线 ：右焦点 的直线 与 交于 ， 两点， ，若，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【分析】设 是中点，结合双曲线的定义和余弦定理，求得的关系式，由此求得双曲线的离心率. 【详解】设 是的中点，设左焦点为，画出图像如下图所示. 由于，所以.由于，所以. 由于 是线段的中点，所以，所以， 所以. 设，则， 根据双曲线的定义可知， . 所以. 所以， 设，在三角形和三角形中，由余弦定理得 ， 化简得，所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于综合题. 12.若函数满足 ，且，则函数（ ） A.
11、 在上为增函数 B. 在上为减函数 C. 在上有最大值 D. 在上有最小值 【答案】A 【分析】将已知条件转化为，根据积分求得，由求得 的值，由此利用 判断出的单调区间. 详解】由得，依题意可知，所以两边除以得 ，即，所以. 由得，即. 所以， ， 所以在上为增函数，没有最值.故选：A 【点睛】本小题主要考查复合函数求导，考查根据导函数求原函数，考查化归与转化的数学思想方法，属 于中档题. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知向量， ，且，则实数_. 【答案】 【分析】分别求得，再利用，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量， 可得
12、， ， 因为，可得， 解得. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积 的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力. 14.已知等腰直角三角形的直角顶点 位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则 的面积是 _. 【答案】36 【分析】由抛物线的关于 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于 轴对称，求得直线和抛物 线点交点，即可得到所求的面积. 【详解】由等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上， 因为抛物线的关于 轴对称，可得等腰直角三角形的另外两个点关于 轴对称， 可设直线，代入抛物线，即，解得或， 可得等腰直
13、角三角形的另外两个点为， 所以等腰直角三角形的面积为.故答案为：. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线 的对称性，转化为直线与抛物线的交点问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 15.甲、乙、丙、丁四个人背后有 4个号码，赵同学说：甲是 2 号，乙是 3号；钱同学说：丙是 2号，乙是 4 号；孙同学说：丁是 2 号，丙是 3 号；李同学说：丁是 1 号，乙是 3 号，他们每人都只说对了一半，则丙背 后的号码是_. 【答案】3 【分析】依据现在知道四个人只对了一半，可用假设法推进推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾， 则推理正确，
14、即可求解. 【详解】假设赵同学说的前半句“甲是 2号”是对的，那么后半句“乙是 3 号”就是错误的， 那么李同学说：“丁是 1号”也是对的，那么孙同学说的“丙是 3号”也是对的， 钱同学说的“丙是 2号，乙是 4号”中“乙是 4号”就是对的， 所以甲是 2 号，乙是 4 号，丙是 3号，丁是 1号. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中牢牢抓住条件“四人都只说对一半”，运用假设法进行 推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. 16.已知数列前 项和为， ，则_. 【答案】 【分析】 由，推得，得到数列奇数项构成首项为 ，公比为 的等比数列，偶 数项构成首项为 ，
15、公比为 的等比数列，分类讨论，利用等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，数列满足，则当时，可得， 所以， 又由，可得，所以， 所以数列奇数项构成首项为 ，公比为 的等比数列，偶数项构成首项为 ，公比为 的等比数列， 当 为奇数时，则 ； 当 为偶数时，则 ， 综上可得，. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，等比数列的定义，以及等比数列前 项和公式的应用，着 重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题每题题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或，说明过
16、程或 演算步骤演算步骤. 17.如图，在正方体中， 是的中点. （1）证明平面； （2）若正方体的棱长为 1，求点到平面的距离. 【答案】 （1）证明见解析； （2）. 【分析】 （1）连接，交于 点，连接， 为中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可 证得平面； （2）根据体积相等法，即，即可求得到平面的距离. 【详解】 （1）连接，交于 点，连接， 为中点，为的中位线， 可得，又因为平面，平面， 所以直线平面； （2）由棱长为 1，所以， 又，故点 到的距离为， 所以， 设点 到平面的距离为 ，则， 即，解得. 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空
17、间想象能力和逻 辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键， 着重考查了推理与运算能力. 18.在中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 的面积，且 . （1）求角 的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】 （1） ； （2） 【分析】 （1）由，求得，得到，再利用题设条件和余弦定理，求得 ，即可求解； （2）由（1）知，得到，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求得面 积的最大值. 【详解】 （1）由题意知，的面积，可得，解得， 根据正弦定理，可得，即， 又由， 即，可得，所以，因为，所以 . （2）由（1）知，所以， 又由余弦定理，得
18、 即，当且仅当时，等号成立， 即，所以， 即面积的最大值为，此时是正三角形. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运 算与求解能力，属于基础题. 19.“网购”已经成为我们日常生活中的一部分，某地区随机调查了 100名男性和 100 名女性在“双十一”活动 中用于网购的消费金额，数据整理如下： 男性消费金额频数分布表 消费金额 （单位：元） 0500 5001000 10001500 15002000 20003000 人数 15 15 20 3
19、0 20 （1）试分别计算男性、女性在此活动中的平均消费金额； （2）如果分别把男性、女性消费金额与中位数相差不超过 200 元的消费称作理性消费，试问是否有 5成以 上的把握认为理性消费与性别有关. 附： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3 841 【答案】 （1）1425元，1100 元； （2）有 5 成以上的把握认为理性消费与性别有关 【分析】 （1）根据表格中男性平均消费金额和频率分布直方图中女性平均消费金额，利用平均数的计算公式，即可 求解； （2） 由 （1） ， 求得女性的理性消费区间为人数
20、， 男性理性消费区间为人数， 得出 的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论. 【详解】 （1）由表格知男性平均消费金额为 （元） 由频率分布直方图知女性平均消费金额： （元） （2）由男性消费金额频数分布表，可得男性的消费的中位数为 1500 元，其中男性理性消费区间为 ，可得人数为人， 由频率分布直方图可得，女性消费的中位数为 1000 元，其中女性的理性消费区间为，可得人数 为人， 所以列联表为： 女性 男性 合计 理性消费 16 20 36 非理性消费 84 80 164 合计 100 100 200 ，由， 有 5 成以上的把握认为理性消费与性别有关. 【点睛】本题主要考查了频
21、率分布直方图的平均数的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题， 熟记频率分布直方图的平均数的计算公式，以及独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推 理与运算能力. 20.已知函数. （1）求函数的最值； （2）证明：. 【答案】 （1）最大值 ，无最小值； （2）证明见解析. 【分析】 （1）求得函数的导数，求得函数的单调性，进而得出函数的最值； （2）令，求得，得到函数的单调性，求得函数的最小值，即可 得到结论. 【详解】 （1）由题意，函数，则， 当时，当， 在上单调递增，在上单调递减. 时有最大值，无最小值. （2）令，则， 令，即，解得， 当时，当时， 所以在为减函数
22、，在为增函数， 当时，取得最小值， 又由（1）知有最大值，所以. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式关系式的证明，其中解答中熟练利用导 数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 21.已知椭圆 ：的短轴长为 2,离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点且不过点的直线 与椭圆 交于 , 两点,直线与直线交于点 . （i）若轴,求直线的斜率； （ii）判断直线与直线的位置关系,并说明理由. 【答案】 （1）； （2） （i）,（ii）,理由见解析 【分析】 (1)根据基本量的关系列式求解即可. (2) （i）当轴时,可求得的坐标,进而求得
23、直线 的方程与 的坐标,进而求得直线的斜率. （ii）联立直线与椭圆的方程, 设,根据题意求出直线的方程与 的坐标,进而得出直线 的斜率表达式,代入韦达定理的关系化简即可. 【详解】 （1）由,故,得, 椭圆方程为：； （2）可设：, 轴,则：,当 在 轴上方时有, 的方程为：, . 当 在 轴下方时有, 的方程为：, . 综上有. 证明如下： 把代入得, 设,则, ：, , 由, . 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理证明斜率的定值问题, 需要根据题意设交点,再根据斜率的以及直线的方程求出所需的点坐标,最后再代入韦达定理化简求解.属 于难题. 选考题
24、：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用作答时用 2B 铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上托所选题目的题号涂黑. 22.在平面直角坐标系中，圆 的参数方程为（为参数） ，以坐标原点为极点，以 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆 的极坐标方程； （2）若直线 ：（ 为参数）被圆 截得的弦长为 2，求直线 的倾斜角. 【答案】 （1）； （2）或 【分析】 （1）根据圆 的参数方程消去参数得到，然后将，代入上 式得整理求解. （2）
25、根据直线的参数方程消去参数得到或，再根据弦长为 2， 得到圆心 到 的距离，然后由点到直线的距离求解. 【详解】 （1）因为圆 的参数方程为， 消去参数得：， 即， 又因为， 代入上式得：， ， 整理得：， 所以圆 的极坐标方程为. （2）因为直线 ：， 消去参数得 ：或， 因为圆 的圆心，又弦长为 2， 所以圆心 到 的距离， 当时， 解得， 因为， 所以， 当时，成立， 综上： 的倾斜角或. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，还考查了 运算求解的能力，属于中档题. 23.已知函数，其中 . （1）当时，求不等式的解集； （2）已知关于 的不等式的解集为，求 的值. 【答案】 （1）或； （2）4 【分析】 （1）根据题意，可得，对不等式：当时，当时，当时，分类讨论 即可； （2）根据题意写出函数的分段函数，再根据解集为即可得到 的值. 【详解】 （1）当时，则， 由，即为： 当时，式即为：，符合， 当时，式即为：，不符合， 当时，式即为：，符合， 综上，不等式的解集为或； （2）由， 由的解集为，知的解集即为， ， ，即. 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，考查了分段函数，体现了等价转化的数学思 想，属于基础题
