1、广西桂林市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷文（含解析）广西桂林市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知i是虚数单位，则复数（1i）2=（）A2B2C2iD2i2函数y=cosx的导数是（）AsinxBsinxCcosxDcosx3曲线y=x3x22x+1在（0，1）处切线的斜率是（）A2B2C1D14i是虚数单位，复数=（）AiBiC +iDi5下面几种推理过程是演绎推理的是（）A两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高三共有
2、10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列an中，a1=1，an=（an1+）（n2），计算a2、a3，a4，由此猜测通项an6观察：321=8，521=24，721=48，921=80，则第n个等式为（）A（2n1）21=4n24nB（3n1）21=9n26nC（2n+1）21=4n2+4n D（3n+1）21=9n2+6n7某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）x24568y304060t70根据如表求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为（）A50B55C56.5D55.58要证：a2+b21a
3、2b20，只要证明（）A2ab1a2b20Ba2+b210C1a2b20D（a21）（b21）09有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A甲B乙C丙D丁10如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A计算S=123456的值B计算S=12345的值C计算S=1234的值D计算S=1357的值11已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De12已知函数f（x）=x3+ax2+bx
4、+c，如果0f（1）=f（2）=f（3）10那么（）A0c10Bc4Cc6D6c4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13曲线y=x22x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标是14观察下列式子：，根据上述规律，第n个不等式应该为15为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P（K23.841）0.05，P（K25.024）0.025根据表中数据，得到k=4.844则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为16不等式exkx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分）17已知i是虚
5、数单位，且复数z1=3bi，z2=12i，若是实数，求实数b的值18讨论函数f（x）=lnxx的单调性19已知函数f（x）=x3x1（1）求曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=x+3垂直，求切点坐标20从某大学随机抽取10名大学生，调查其家庭月收入与其每月上学的开支情况，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与其每月上学的开支yi（单位：千元）的数据资料，算得：xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求其每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程=bx+a；（2）若某学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的
6、费用，附：线性回归方程=bx+a中b=，a=b，其，为样本平均值21某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大22已知函数f（x）=+lnx（I）当时，求f（x）在1，e上的最大值和最小值；（II）若函数g（x）=f（x）x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围2015-201
7、6学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知i是虚数单位，则复数（1i）2=（）A2B2C2iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的运算性质计算即可【解答】解：（1i）2=12i1=2i，故选：C2函数y=cosx的导数是（）AsinxBsinxCcosxDcosx【考点】导数的运算【分析】直接根据函数的导数公式进行求解即可【解答】解：y=cosx，函数的导数y=sinx，故选：B3曲线y=x3x22x+1在（0，1）处切线的斜率是（）A2B2C1D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出函
8、数y=x3x22x+1的导数，由导数的几何意义，可令x=0，即可得出切线的斜率【解答】解：函数y=x3x22x+1的导数为y=3x22x2，可得曲线在（0，1）处切线的斜率k=2，故选：A4i是虚数单位，复数=（）AiBiC +iDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数=i故选：B5下面几种推理过程是演绎推理的是（）A两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D在数列
9、an中，a1=1，an=（an1+）（n2），计算a2、a3，a4，由此猜测通项an【考点】演绎推理的基本方法【分析】由推理的基本形式，逐个选项验证可得【解答】解：选项A为三段论的形式，属于演绎推理；选项B为类比推理；选项C不符合推理的形式；选项D为归纳推理故选：A6观察：321=8，521=24，721=48，921=80，则第n个等式为（）A（2n1）21=4n24nB（3n1）21=9n26nC（2n+1）21=4n2+4nD（3n+1）21=9n2+6n【考点】归纳推理【分析】观察等式的左边，是连续奇数的平方与1的差，右边可分解为8的倍数，由此得出规律，写出第n个等式【解答】解：因为3
10、21=8，即（21+1）21=412+41=8；521=24，即（22+1）21=422+42=24；721=48，即（23+1）21=432+43=48；921=80，即（24+1）21=442+44=80；，所以第n个等式为（2n+1）21=4n2+4n故选：C7某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）x24568y304060t70根据如表求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为（）A50B55C56.5D55.5【考点】线性回归方程【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出，代入回归直线方程，即可求出，即可求得t的值【解答】解：由
11、线性回归方程过样本中心点（，），=（2+4+5+6+8）=5，=6.5+17.5=50，=（30+40+60+t+70）=50，解得：t=50，故答案选：A8要证：a2+b21a2b20，只要证明（）A2ab1a2b20Ba2+b210C1a2b20D（a21）（b21）0【考点】综合法与分析法(选修）【分析】将左边因式分解，即可得出结论【解答】解：要证：a2+b21a2b20，只要证明（a21）（1b2）0，只要证明0故选：D9有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话
12、只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A甲B乙C丙D丁【考点】进行简单的合情推理【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故先C10如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A计算S=123456的值B计算S=12345的值C计算S=1234的值D计算S=1357的值【考点】程序框图【分析】模
13、拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，t的值，当S=12345=120时，不满足条件S100，退出循环，输出S的值为120，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，t=2满足条件S100，S=12=2，t=3满足条件S100，S=123=6，t=4满足条件S100，S=1234=24，t=5满足条件S100，S=12345=120，t=6不满足条件S100，退出循环，输出S的值为120故程序框图的功能是求S=12345的值故选：B11已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则
14、【分析】已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+ln x，（x0）f（x）=2f（1）+，把x=1代入f（x）可得f（1）=2f（1）+1，解得f（1）=1，故选B；12已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，如果0f（1）=f（2）=f（3）10那么（）A0c10Bc4Cc6D6c4【考点】二次函数的性质【分析】利用条件建立方程与不等式，由此能求出c的取值范围【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0f（1）=f（2）=f（3）10，解得a=6，b=1
15、1，6c4故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13曲线y=x22x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标是（1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出切点P（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，代入曲线方程可得切点的坐标【解答】解：设切点P（m，n），y=x22x的导数为y=2x2，可得切线的斜率为2m2，由切线平行于x轴，可得2m2=0，解得m=1，由n=m22m=12=1即有切点P（1，1）故答案为：（1，1）14观察下列式子：，根据上述规律，第n个不等式应该为1+【考点】归纳推理【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然
16、数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+故答案为：1+15为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P（K23.841）0.05，P（K25.024）0.025根据表中数据，得到k=4.844则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%【考点】独立性检验的应用【分析】根据条件中所
17、给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.8443.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%【解答】解：根据表中数据，得到K2的观测值4.8444.8443.841，认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%故答案为：5%16不等式exkx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为e【考点】函数恒成立问题【分析】由题意可得f（x）=exkx0恒成立，即有f（x）min0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值【解答】解：不等式exkx对任意实数x恒成立，即为f（x）=exkx0恒成立，即有f（x）min0，由f（x）的导数为f（x）=exk
18、，当k0，ex0，可得f（x）0恒成立，f（x）递增，无最大值；当k0时，xlnk时f（x）0，f（x）递增；xlnk时f（x）0，f（x）递减即有x=lnk处取得最小值，且为kklnk，由kklnk0，解得ke，即k的最大值为e，故答案为：e三、解答题（共6小题，满分70分）17已知i是虚数单位，且复数z1=3bi，z2=12i，若是实数，求实数b的值【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】解：根据复数的运算法则结合复数是实数的等价条件进行求解即可【解答】解：z1=3bi，z2=12i，=+i，是实数， =0，得b=618讨论函数f（x）=lnxx的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性【分析
19、】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可【解答】解：f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得：0x1，令f（x）0，解得：x1，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减19已知函数f（x）=x3x1（1）求曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=x+3垂直，求切点坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；（2）设出切点（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得切线的斜率为2，解m的方程可得m，代入函数f（x
20、），计算即可得到所求切点的坐标【解答】解：（1）函数f（x）=x3x1的导数为f（x）=3x21，可得曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线斜率为31=2，即有曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为y（1）=2（x1），即为2xy3=0；（2）设切点坐标为（m，n），切线与直线y=x+3垂直，可得切线的斜率为2，又f（x）的导数为f（x）=3x21，可得3m21=2，解得m=1或1，则n=m3m1=1可得切点坐标为（1，1）或（1，1）20从某大学随机抽取10名大学生，调查其家庭月收入与其每月上学的开支情况，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与其每月上学的开支yi（单位：千元）的数
21、据资料，算得：xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求其每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程=bx+a；（2）若某学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的费用，附：线性回归方程=bx+a中b=，a=b，其，为样本平均值【考点】线性回归方程【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出和，然后求出线性回归方程=0.3x0.4；（2）通过x=7，利用回归直线方程，即可求得家庭每月支付其上学的费用【解答】解：由题意可知：n=10， =xi=8， =yi=2，=0.3，=20.38=0.4，每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程=0.3x0.4
22、；（2）当x=7时， =1.7，学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的费用1.721某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【考点】函数模型的选择与应用【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12
23、000元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；（）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点【解答】解：（）蓄水池的侧面积的建造成本为200rh元，底面积成本为160r2元，蓄水池的总建造成本为200rh+160r2元即200rh+160r2=12000h=（3004r2）V（r）=r2h=r2（3004r2）=（300r4r3）又由r0，h0可得0r5故函数V（r）的定义域为（0，5）（）由（）中V（r）=（300r4r3），（0r5）可得V（r）=（30012r2），（0r5）令V（r）
24、=（30012r2）=0，则r=5当r（0，5）时，V（r）0，函数V（r）为增函数当r（5，5）时，V（r）0，函数V（r）为减函数且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大22已知函数f（x）=+lnx（I）当时，求f（x）在1，e上的最大值和最小值；（II）若函数g（x）=f（x）x在1，e上为增函数，求正实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求导数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值；（）求导函数g（x）=，构造函数h（x）=ax2+4ax4，由题意知，只需h（x）0在1，e上恒成立，从而可求正实数a的取值范围【解答】解：（）当时，（x0），当x1，2）时，f（x）0；当x（2，e时，f（x）0，f（x）在1，2）上单调递减，在（2，e上单调递增，f（x）在区间1，e上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（2）=ln21又f（1）=0，f（e）=f（x）在区间1，e上的最大值为f（x）max=f（1）=0综上可知，函数f（x）在1，e上的最大值是0，最小值是ln21（）g（x）=f（x）x，g（x）=，设h（x）=ax2+4ax4，由题意知，只需h（x）0在1，e上恒成立，因为a0，h（x）图象的对称轴为x=2，所以只需h（1）=3a40，所以a19 / 19
