1、圆锥曲线章末测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1已知A(0，5)，B(0，5)，|PA|PB|2a(a0)，当a3和5时，点P的轨迹为()A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线的一支和一条直线D双曲线的一支和一条射线解析：当2a|AB|时，表示双曲线的一支；当2a|AB|时，表示一条射线答案：D2抛物线y4x2的准线方程是()Ax1Bx1Cy Dy解析：由抛物线方程x2y，可知抛物线的准线方程是y.答案：D3如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba2Ca3
2、或a2 Da3或6a2答案：D4已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率是()A. B.C. D.解析：由题意知，渐近线方程为xy0，所以k，所以e.答案：A5已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1解析：由x2y22x150，知r42aa2.又e，c1，b，椭圆方程为1.答案：A6若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()A1 B.C2 D2解析：设椭圆1(ab0)，则三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴的端点，所以
3、S2cbbc1.所以a22.所以a.所以长轴长2a2，故选D.答案：D7已知点P是双曲线1右支上的一点，点M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A6 B7C8 D9答案：D8直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm1或0m1Cm1且m5 D0m5且m1解析：直线ykx1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以1，解得m1.又m5，故选C.答案：C9中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y180上的等轴双曲线的方程为()Ax2y26 Bx2y26Cx2y218 Dx2y218解析：依据题意可知双曲线的一个焦
4、点为(6，0)，又因为双曲线为等轴双曲线，所以2a236，a218，所以双曲线的方程为x2y218.故选C.答案：C10已知双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程是()A.1 B.1C1 D1解析：因为椭圆1的焦点为(0，4)，离心率e，所以双曲线的焦点为(0，4)，离心率为2，所以c4，2，所以a2，所以a24，b2c2a212.所以双曲线方程为1.答案：C11设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8C8 D16解析：由抛物线方程y28x，可得准线l：x2，焦点F(2，0)，设点A(2，n
5、)，所以，所以n4.所以P点纵坐标为4.由(4)28x，得x6，所以P点坐标为(6，4)，所以|PF|PA|6(2)|8，故选B.答案：B12设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|()A. B6C12 D7答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设集合A，B(x，y)|y2x，则AB的子集的个数是_解析：因为集合A，B(x，y)|y2x，且(0，1)在椭圆内，所以两曲线有两个交点，所以AB有两个元素，所以AB的子集的个数是224.答案：414设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上
6、，且0，则|_答案：215已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：设椭圆的长半轴为a，由2a12知a6，又e，故c3，所以b2a2c236279.所以椭圆G的标准方程为1.答案：116椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：由直线方程y(xc)直线与x轴的夹角为，且过点F1(c，0)，因为MF1F22MF2F1，且三角形内角和为，所以MF2F1b0)，则2a 2，即a，又因为c2，所以b2a2c26，故椭圆的
7、标准方程为1.(2)由(1)得：椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率e.18(本小题满分12分)设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.求双曲线C的离心率e的取值范围解：由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解消去y并整理，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且a1.所以双曲线的离心率e.因为0a且a1，所以e且e.故离心率e的取值范围为(，)19(本小题满分12分)已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)(1)求椭圆G的方程；(2)
8、求PAB的面积解：(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3，2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|d.20(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，且0，O
9、相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求k的值解：(1)依题意，可知PF1F1F2，所以c1.把点P的坐标代入椭圆方程，得1，又因为a2b2c2，解得a22，b21，c21.所以椭圆的标准方程为y21.(2)直线l：ykxm与O：x2y21相切，则1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)，所以x1x2y1y2，所以k1.21(本小题满分12分)如图所示，已知直线l：ykx2与抛物线C：x22py(p0)交于A，
10、B两点，O为坐标原点，(4，12)(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求ABP面积的最大值解：(1)由得x22pkx4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因为(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，所以解得所以直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x22y.(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，ABP的面积最大设切线方程是y2xt，由得x24x2t0，所以4242t0，所以t2.此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，d.由得x24x40，
11、|AB|4.所以ABP面积的最大值为48.22(本小题满分12分)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MAMB？并说明理由解：(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y的距离，所以12，所以p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)抛物线C的焦点为F(0，1)，直线l的方程y2x1，设点A、B、M的坐标分别为、，由方程组消去y得：x24(2x1)，即x28x40，由韦达定理得x1x28，x1x24.因为MAMB，所以0，所以(x1x0)(x2x0)0，所以(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)(x1x0)(x2x0)0.因为M不与A，B重合，所以(x1x0)(x2x0)0，所以1(x1x0)(x2x0)0，x1x2(x1x2)x0x160，所以x8x0120，因为64480，所以方程x8x0120有解，即抛物线C上存在一点M，使得MAMB.11
