1、.四川省雅安市高一第二学期期末考试数 学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1在等差数列an中，a1+a5=16，则a3等于（）A8B4C4D82在ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a=1，b=，B=120，则A等于（）A30B45C60D1203在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）ABCD4已知向量=（m+1，1），=（m+2，2），若（+）（），则实数m=（）A3B1C2D45等差数列an的前n项和为Sn，若a1=12，S5=S8，则当Sn取得最小值时，n的
2、值为（）A6B7C6或7D86正实数x、y满足x+y=1，则 + 的最小值为（）A3B4C2D3+27已知正方体ABCDA1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）A1条B2条C4条D无数条8设m，n是两条不同直线，、是两个不同平面，有下列命题：若，m，则m不可能与相交若mn，m，则n不可能与相交若m，n，则m与n一定平行若m，n，则与一定垂直其中真命题的序号为（）ABCD9等腰梯形ABCD中，ABCD，DC=AD=2，A=60，则=（）A6B6C3D210在ABC中，AB=2，AC=3，G为ABC的重心，若AG= 则ABC的面积为（）ABCD11已知f（x）=x+l
3、n，则f（1）+f（2）+f（3）+f（99）的值为（）A5000B4950C99D12在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为 则当 + 取得最大值时，内角A=（）ABCD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13若变量x、y满足约束条件：，则y2x的最大值为14设等差数列an的前n项和为Sn，若S1=2015，则数列an的公差为15把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥CABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥CABD的表面积为16在锐角ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，若2aco
4、sC+c=2b，则sin cos +cos2 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17等比数列an的前n项和为Sn，若a1=3，S3=9，求数列an的公比与S1018在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=（）求bcosC+ccosB的值；（）若cosA= ，求b+c的最大值19如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，ADBC，ADAB，PA=AD=2BC=2AB=2（）求证：平面PAC平面PCD；（）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥PABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比 20在平面直角坐标系中，O为坐
5、标原点，A、B、C三点满足= + （）求证：A、B、C三点共线；（）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0x ）， 的最小值为，求实数m的值21在三棱锥ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1底面ABC，AA1=，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQBC（）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：lB1C1；（）当平面A1PQ平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由S22设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=（nN*）（）求数列an和数列bn的通项公式；（）设数列bn的前n项和为Rn，求证：对任
6、意的nN*，都有Rn4n；（）记cn=b2nb2n1（nN*），设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意nN*， 都有Tn 四川省雅安市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1在等差数列an中，a1+a5=16，则a3等于（）A8B4C4D8【分析】利用等差数列的性质2a3=a1+a5，根据已知中等差数列an中，a1+a5=16，代入即可得到a3的值【解答】解：数列an为等差数列2a3=a1+a5=16，a3=8故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m
7、+n=p+q时，am+an=ap+aq，是解答本题的关键2在ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a=1，b=，B=120，则A等于（）A30B45C60D120【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a，b，sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，a=1，b=，B=120，由正弦定理=得：sinA=，ab，AB，则A=30故选：A【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键3在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）ABCD【分析】由BCCD，CB1CD，得到平面A1B1CD
8、与平面ABCD所成二面角的平面角为BCB1，由此能求出平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的大小【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面BCC1B1，BCCD，CB1CD，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的平面角为BCB1，BC=BB1，BCBB1，BCB1=平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为故选：C【点评】本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4已知向量=（m+1，1），=（m+2，2），若（+）（），则实数m=（）A3B1C2D4【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，列出方程求出m的值【解答】解：向量=（m+1，1），=
9、（m+2，2），（+）=（2m+3，3），（）=（1，1）；又（+）（），（+）（）=（2m+3）+3（1）=0，解得m=3故选：A【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目5等差数列an的前n项和为Sn，若a1=12，S5=S8，则当Sn取得最小值时，n的值为（）A6B7C6或7D8【分析】由等差数列前n项和公式，列出方程求出公差d=2，由此能求出Sn，再利用配方法能求出当Sn取得最小值时，n的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1=12，S5=S8，解得d=2，Sn=12n+=n213n=（n）2，当Sn取得最小值时，n=6或n=7故选：C【点评】本题考查等差数列
10、的前n项和取最小值时，n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用6正实数x、y满足x+y=1，则+的最小值为（）A3B4C2D3+2【分析】运用乘1法，可得+=（x+y）（+）=3+，再由基本不等式计算即可得到所求最小值及相应x，y的值【解答】解：正实数x、y满足x+y=1，可得：+=（x+y）（+）=3+3+2=3+2当且仅当x=y=2，取得最小值3+2故选：D【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题7已知正方体ABCDA1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）A1条B
11、2条C4条D无数条【分析】先确定直线和AB，BC所成角相等的直线在对角面内，然后确定在对角面内的体对角线满足条件分别进行类比寻找即可【解答】解：若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1，内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件此时过A的直线和BD1，平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1，也满足条件，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条故选：C【点评】本题主要考查异面直线所成角的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大8设m，n是两条不同直线，、是两个不同平面，有下列
12、命题：若，m，则m不可能与相交若mn，m，则n不可能与相交若m，n，则m与n一定平行若m，n，则与一定垂直其中真命题的序号为（）ABCD【分析】利用直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断，分析4个选项，即可得出结论【解答】解：若，m，则m或m，故正确；若mn，m，则n或n，故正确；若m，n，则m与n平行、相交或异面，故不正确；若m，n，则与可以平行，故不正确故选：A【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题9等腰梯形ABCD中，ABCD，DC=AD=2，A=60，则=（）A6B6C3D2【分析】可画出图形，根据条件即可得到，根据向量减法几
13、何意义即可得到，从而由向量的数量积的运算即可得出的值【解答】解：如图，根据条件，AB=4，D=120；， =；=82+4=6故选B【点评】考查等腰梯形的定义，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算及计算公式10在ABC中，AB=2，AC=3，G为ABC的重心，若AG=，则ABC的面积为（）ABCD【分析】由G为重心，设BE=x，可得BC=2x，可求AE，由余弦定理可得=，代入可求x的值，进而可求BC，利用余弦定理可求cosB，根据同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：由：G为ABC的重心，设BE=x，可得BC=2x（E为BC中点），由
14、：AG=，可得AE=2，由余弦定理可得：cosB=，由于：AB=2，AC=3，可得： =，整理解得：x=可得：BC=2=，cosB=，sinB=，SABC=ABBCsinB=故选：D【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题11已知f（x）=x+ln，则f（1）+f（2）+f（3）+f（99）的值为（）A5000B4950C99D【分析】推导出f（x）+f（100x）=100，由此能求出f（1）+f（2）+f（3）+f（99）的值【解答】解：f（x）=x+ln，f（x）+f（100x）=x
15、+ln+100x+ln=100，f（1）+f（2）+f（3）+f（99）=50f（1）+f（99）f（50）=5010050=4950故选：B【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f（x）+f（100x）=10012在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为，则当+取得最大值时，内角A=（）ABCD【分析】运用三角形的面积公式和余弦定理，可得+=2（sinA+cosA），再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，可得最大值及A的值【解答】解：由三角形的面积公式可得，bcsinA=a，即a2=2bcsinA，由余弦定理可得，a2=b
16、2+c22bccosA，可得b2+c22bccosA=2bcsinA，即有+=2（sinA+cosA）=2（sinA+cosA）=2sin（A+），当A+=，即A=时， +取得最大值2故选：D【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，以及两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13若变量x、y满足约束条件：，则y2x的最大值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：设z=y2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点B（0，
17、1）时，直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值，代入z=y2x，得z=10=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14设等差数列an的前n项和为Sn，若S1=2015，则数列an的公差为2【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，S1=2015，a1+da1=2015，解得d=2故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥CABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形
18、（如图所示），则三棱锥CABD的表面积为4+2【分析】结合直观图，根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，可得平面BCD平面ABD，分别求得BDC和ABD的高，即为侧视图直角三角形的两直角边长，代入面积公式计算【解答】解：如图：正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，平面BCD平面ABD，又O为BD的中点，CO平面ABD，OA平面BCD，三角形ACD与ABC等式等边三角形，边长为2，所以面积相等为，又ABD和BCD面积和为正方形的面积4，三棱锥CABD的表面积为2+4；故答案为：4+2【点评】本题考查了由正视图、俯视图求几何体的表面积，判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键16在锐角AB
19、C中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，若2acosC+c=2b，则sincos+cos2的取值范围是（，【分析】锐角ABC中，利用余弦定理求出cosA以及A的值，再求出B的取值范围，化简sincos+cos2，即可求它的取值范围【解答】解：锐角ABC中，2acosC+c=2b，2a+c=2b，即a2+b2c2+bc=2b2，bc=b2+c2a2，cosA=，得A=；B+C=，B，B+，得sin（B+）1；sincos+cos2=sinB+=sin（B+）+，它的取值范围是（，故答案为：（，【点评】本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题，是综合性题目三、解答题：本大题共6小题，共
20、70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17等比数列an的前n项和为Sn，若a1=3，S3=9，求数列an的公比与S10【分析】设等比数列an的公比为q，y由a1=3，S3=9，可得a1+a2+a3=3（1+q+q2）=9，解得q，利用求和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1=3，S3=9，a1+a2+a3=3（1+q+q2）=9，化为：q2+q2=0，解得q=1或2q=1时，S10=30q=2时，S10=1023【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=（）求bco
21、sC+ccosB的值；（）若cosA=，求b+c的最大值【分析】（）利用余弦定理求得bcosC+ccosB的值（）若cosA=，利用余弦定理以及基本不等式求得b+c的最大值【解答】解：（）ABC中，bcosC+ccosB=b+c=a=，（）若cosA=，则A=，由余弦定理可得a2=3=b2+c22bccosA=（b+c）23bc，（b+c）2=3+3bc3+3，b+c2，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为2【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题19如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，ADBC，ADAB，PA=AD=2BC=2AB=2（）求证：平面PA
22、C平面PCD；（）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥PABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比【分析】（）取AD中点H，连接CH，则CHAD，CH=AB=HD，证明CD平面PAC，即可证明求证：平面PAC平面PCD；（）证明B，C，E，F四点共面，故平面BCE将四棱锥PABCD分成的上部分为四棱锥PBCEF，下部分为多面体EFABCD易知ABFHCE为直三棱柱，CH平面PAD，利用体积公式，即可求平面BCE将四棱锥PABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比【解答】（）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD取AD中点H，连接CH，则CHAD，CH=AB=HDACH=DCH=4
23、5，ACCD，PAAC=A，CD平面PAC，CD平面PAC，平面PAC平面PCD；（）解：取PD中点E，PA中点F，连接EF，BE，则EFAD，BCAD，EFBC，B，C，E，F四点共面故平面BCE将四棱锥PABCD分成的上部分为四棱锥PBCEF，下部分为多面体EFABCD易知ABFHCE为直三棱柱，CH平面PADV2=VABFHCE+VCDEH=SABFBC+=+=，VPABCD=1，V1=1=，=【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生付现金及微软的能力，正确运用公式是关键20在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+（）求证：A、B、C三点共
24、线；（）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0x），f（x）=（2m+）|的最小值为，求实数m的值【分析】（）根据向量减法的几何意义，在两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出，这样便可得出三点A，B，C共线；（）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosxm）2+1m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m0，0m1，m1，这样即可求出m的值【解答】解：（）由已知得；即；，又有公共点A；A，B，C三点共线；（）；=（cosxm）2+1m2；，cosx0，1；当m0，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1（舍去）当0m1时，当且仅当cosx
25、=m时，f（x）取得最小值为1m2，（舍去）当m1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值22m，22m=；综上m=【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法21在三棱锥ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1底面ABC，AA1=，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQBC（）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：lB1C1；（）当平面A1PQ平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由S【分析】（）利用线面平行的性质证明lB1C1；（）作PQ的中点M，B1C1的中点N，
26、连接A1M，MN，A1N，利用线面垂直的判定证明A1MPQ，A1MMN，即可平面A1PQ面PQB1C1，再利用余弦定理即可确定P点的位置【解答】解：（）证明：PQBCB1C1，B1C1面A1B1C1，PQ面 A1B1C1，PQ面A1B1C1；（2分）面A1PQ面A1B1C1=l，PQl，（3分）lB1C1； （6分）（）P为AB的中点时，平面A1PQ面PQC1B1；证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，PQBC，AP=AQ，进而A1Q=A1P，A1MPQ，平面A1PQ面PQC1B1，平面A1PQ面PQC1B1=PQ，A1M面PQC1B1，而MN面PQC1B1，A
27、1MMN，即A1MN为直角三角形；连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，设AP=x，则PB=2x，则由=，可得=，解得AM=x，在RtAA1M中， =+AM2=+x2同理MG=AGAM=x，在RtMGN中，MN2=MG2+GN2=+=3x+x2在RtA1MN中， =+MN2，即3=+x2+3x+x2，解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点（12分）【点评】本题考查的是线面平行的性质，平面与平面垂直的判定，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=（nN*）（）求数列an和数列bn的通项公式
28、；（）设数列bn的前n项和为Rn，求证：对任意的nN*，都有Rn4n；（）记cn=b2nb2n1（nN*），设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意nN*，都有Tn【分析】（I）利用公式an=求出an为等比数列，得出其通项公式，代入bn=得出bn的通项公式；（II）化简bn，得出bn的相邻两项之和小于8，从而得出结论；（III）化简cn，得出cn，从第二项开始使用不等式cn，得出结论【解答】解：（I）an=5Sn+1，当n=1时，a1=5a1+1，a1=当n2时，an1=5Sn1+1，anan1=5an，=，an是以为首项，以为公比的等比数列an=（）nbn=（II）由（I）知bn=4+b2k+b2k1=8+=8+=88当n为偶数时，设n=2m，则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2m1+b2m）8m=4n当n为奇数时，设n=2m1，Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2m3+b2m2）+b2m18（m1）+4=4n对任意的nN*，都有Rn4n（III）cn=b2nb2n1=+=b1=3，b2=，c1=，当n=1时，T1当n2时，Tn+25（+）=+25+25=对任意nN*，都有Tn【点评】本题考查了数列的通项公式，求和公式，不等式的证明，属于难题.
