1、24.24.6 6（1 1）实数与向量相乘）实数与向量相乘几何表示：一、课前复习一、课前复习:向量定义：向量定义：既有既有大小大小 又有又有方向方向 的量叫向量。的量叫向量。有向线段有向线段字母表示：aAB、等向量的表示：向量的表示：重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）平行向量：）平行向量：方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量.（3）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（4）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.（5）向量的模：）向量的模：向量的长度。向量的长度。模
2、可以比较大小但向量不可以模可以比较大小但向量不可以AC OC1.向量的加法运算向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则平行四边形法则首尾相接首尾连首尾相接首尾连BC+CD+AB +DE+EF2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则：）减法法则：OABOAOB=3.加法减法运算律加法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）结合律：BAABCDEFAF=多边形法则多边形法则共起点，连终点，指向被减向量共起点，连终点，指向被减向量4aa=naa是实数是实数a+a+a+a+an个个aaaa+=aaa
3、aaAB AB AB方向与方向与 a 相同相同 ABa=4 AB=4 aa 4=4a4 a注意注意:1.省略乘号，数字在前；省略乘号，数字在前；2数字上方无箭头数字上方无箭头二、探究新知二、探究新知:(-)a+=aAB方向与方向与 a相反相反a=4(-)a(-)a(-)aa-(-)a 4=-4a-4 a-4 aa-a-a-AB方向与方向与 a 相反相反 AB=4 aa32a与与的关系是什么的关系是什么?a32方向与方向与 a 相同相同a32a32a32a与与的关系是什么的关系是什么?a32方向与方向与 a 相反相反a32a32若若k0，且，且a 0，则则 的长度的长度 方向为：方向为：k0时，
4、时，与与 同同方向；方向；k0时，与时，与 反反方向；方向；.若若k0 或或 ，则，则 .设设k k是一个实数，是向量，那么是一个实数，是向量，那么k k与与 相乘所得的积相乘所得的积是一个向量，记作：是一个向量，记作：aaakakakakakakaakaaak0aka0三、归纳总结三、归纳总结b例例1.已知非零向量已知非零向量a，求作：，求作：a，ba a3(2)52(1)(3)52a3b思考：思考：|3|423|_abcabc=-，若，则的取值范围是四、例题解析四、例题解析:例例2.如图：在如图：在ABCD中，中，E，F，G，H分别为各分别为各边的中点，边的中点，EG与与FH相交于点相交于
5、点O，设，设AD=a，BA=b，试用向量，试用向量a或或b表示向量表示向量OE，OF，并写出，并写出图中与图中与OE相等的向量相等的向量HGOFEDCBA12OEb 12OFa .OEBF FA GO CH HD 与相等的向量有：、EDCBA例例3.3.如图：已知点如图：已知点D D、E E在在ABCABC的边的边ABAB，ACAC上，上，DEDEBCBC，AD=4DBAD=4DB，试用向量，试用向量BCBC表示向量表示向量DEDE解解:DEBCDEBC，AD=4DBAD=4DB45DEADBCAB45DEBC即又又 DEDE与与BCBC同向同向45DEBC EDCBA练习练习.如图：已知点如
6、图：已知点D D、E E在在ABCABC的边的边ABAB，ACAC上，上，DEDEBC,BC,，试用向量试用向量CBCB表示向量表示向量DEDE54BCEDADESS四边形解解:45ADEBCEDSS49ADEABCSSDEBCDEBC，ADEADEABCABC24()9ADEABCSDESBC23DEBC23DEBC即又又 DEDE与与CBCB反向反向23DECB 练习：如图：梯形练习：如图：梯形ABCDABCD中，中，ADADBC,EFBC,EF是的中位线，是的中位线，AD=2,BC=3,AD=2,BC=3,设设AD=a,AD=a,能将向量能将向量BC,FEBC,FE用用a a表示出来吗？
7、表示出来吗？DFECBA23BCAD 与方向相同AD=2AD=2，BC=3BC=33522BCADEF，32BCAD FEAD 与方向相反54FEAD 54EFAD例例4.4.如图：已知如图：已知ABCABC，ADAD、BEBE、CFCF是中线，是中线，且且BC=aBC=a，AD=mAD=m，用，用a a、m m表示下列向量表示下列向量（1 1）ABAB；（；（2 2）CACA；（；（3 3）BEBE；（；（4 4）CF.CF.解解:GFDECBA12ABADDBma 12CACDDAam 111()2221324BE BA AEmaa mma 例例4.4.如图：已知如图：已知ABCABC，A
8、DAD、BEBE、CFCF是中线，是中线，且且BC=aBC=a，AD=mAD=m，用，用a a、m m表示下列向量表示下列向量（1 1）ABAB；（；（2 2）CACA；（；（3 3）BEBE；（；（4 4）CF.CF.解解:GFDECBA111()2221324CF CA AFa mmama 实数与向量相乘的意义及表示法；实数与向量相乘的意义及表示法；若若 kOkO，且，且a a O,O,则：则：kaka的长度为：的长度为：3.3.的方向：的方向：1)1)当当k k0 0时，时，与与a a同方向；同方向；2)2)当当k k0 0时，与时，与a a反方向；反方向；3)3)若若K K0 0或或a
9、 a0 0，则：，则：0.0.kaka.kakakaka五、课堂小结五、课堂小结:1.1.如图：设如图：设A,BA,B为两定点，且为两定点，且PA=mAB(mPA=mAB(m为实数），为实数），O O为直线外一点，若为直线外一点，若OA=a,OB=b,OA=a,OB=b,试用试用a a，b b表示表示OPOPABPOOP OA AP amAB()(1)am bambma 7.7.在在ABCABC中，中，D,E,FD,E,F分别为分别为AB,BC,CAAB,BC,CA的中点，的中点，G G为重心，求证：为重心，求证：GD+GE+GF=0.GD+GE+GF=0.AFEDCBG解解:设设 ABaBCbCAc ，1+2AEABBEab 1b2BFBCCFc 1c2CDCAADa 11()(a)032GDGEGFAEBFCDbc
