1、高三数学试题答案 第 1 页（共 5 页）合肥市 2023 年高三第二次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.D 二、选择题：二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.9.ABD 10.ACD 11.BC 12.ACD 三、填空题：三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13.0 14.2 15.13 16.426 四、解答题：四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.17.(本小题满分 10 分)17.
2、(本小题满分 10 分)解析：由题意知，15PAD，45PBD，30PCE，30APB.在PAB中，由正弦定理得sinsinABPBAPBPAB，1.4sin30sin15PB，所以2.8sin15PB.在PBC中，由正弦定理得sinsinPBBCCBPC，sin30sin105PBBC，5 分 所以sin1052sin1055.6sin15 sin1055.6sin15 cos152.8sin301.4sin30PBBCPB，所以1.40.20.50.7 kmDEBCBDEC，即隧道DE的长为0.7 km.10 分 18.(本小题满分 12 分)18.(本小题满分 12 分)解析：(1)由题
3、意得，11nnaS；当2n 时，11nnaS，两式相减得1nnnaaa，即12nnaa.又因为21111122aSaa ，所以当1n 时，12nnaa，所以 na成等比数列，12nna.6 分(2)由(1)得，12nnnbnan，所以，0211 22 23 22nnTn ，2 得，123121 22 23 21 22nnnTnn 得，12311 222222121 21nnnnnnTnnn ，所以1 21nnTn.12 分 19.(本小题满分 12 分)19.(本小题满分 12 分)解析：(1)连接AE，交BD于点O，连接GO.高三数学试题答案 第 2 页（共 5 页）在菱形ABED中，AEB
4、D.因为CB平面ABED，所以CBAE.又因为CBBDB，所以AE平面CBD.因为12GOCB，GOCB，且FECB，12FECB，所以FEGO，且FEGO，所以四边形EFGO为平行四边形，所以FGEO，所以FG平面CBD.6 分(2)如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为xy，轴建立空间直角坐标系，如图.设2BCa，则0 2 0Aa，2 0 0Ca，0 3Daa，3 22aaG a，3F aaa，.设平面ACD的一个法向量为mxyz，由00m ACm AD得22030axayayaz，取3 3 1m，因为330 22aaFG，记直线FG与平面ACD所成角为，则 37sincos=7
5、37FG maFG maFG m，所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是77.12 分 20.(本小题满分 12 分)20.(本小题满分 12 分)解析：(1)由题意得，X的可能取值有 0，1，2，3，所以 393163020CP XC，21973169120C CP XC，129731627280C CP XC，373161316CP XC，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 320 920 2780 116 所以，X的数学期望392712101232020801616E X .6 分(2)由题意得，根据所给数据，得到2 2列联表：GRPE蛋白干预 非GRPE蛋白干预 合计 体征状
6、况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 零假设为：0H:实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.高三数学试题答案 第 3 页（共 5 页）利用列联表中的数据得，220.1162 3 5 616=2.2862.7068 8 7 97x ，根据小概率值0.1的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可认为0H成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关.12 分 21.(本小题满分 12 分)21.(本小题满分 12 分)解析：(1)由题意得2p，所以抛物线C的方程为24yx.由4AEBE得4AEBE.过B作1BBl于点1B，过A作1AAl于点1A，1BB1A
7、A，且114AABB，由抛物线定义知，1BFBB，1AFAA，所以114FAAAFBBB，即4FAFB.5 分(2)设点00B xy，00y，1 0E ，所以0043 4Axy，所以2002004164 43yxyx，解得00141xy，所以4 4A，.设切线AP，AQ的斜率为12kk，因为AMx轴，由对称性知120kk.设直线PQ的方程为xmyn，11P xy，22Q xy，将直线PQ的方程代入抛物线方程得2440ymyn()，所以121244yymy yn，所以11121114444444yykxyy，同理得2244ky，所以 12121212121244844440444444yyyyk
8、kyyyyyy，所以1280yy，即480m，2m ，代入方程()，由64 160n 得4n ，因为直线AP的方程为1144(4)4yyxx，即1211444(4)(4)444yyxxyy，所以114(4)40 xyyy.因为直线 AP 与圆 M 相切，所以12116416(4)yry，即221216(4)16ryr，不妨设144y，所以124416ryr，所以22111111222114411622(8)44324444 161616yrrnxyyy yrrr，因为02 3r,n随r的增大而增大，所以222116116323284 164 16 12nr 所以48n 直线PQ的方程为2xyn
9、，即20 xyn，121284yyy yn ，所以21212125544 520PQyyyyy yn，高三数学试题答案 第 4 页（共 5 页）点A到直线PQ的距离为125nd，所以12114 520225APQnSd PQn224 12nn，令 24 1248f nnnn，则 21242 1211243fnnnnnn，当443n 时，0fn；当483n时，0fn，所以当43n 时，f n取得最大值，所以APQ面积的最大值为4256 3239f.12 分 22.(本小题满分 12 分)22.(本小题满分 12 分)解析:函数 212ln212f xxmxmx的定义域为0，221212221mx
10、mxmxxfxmxmxxx.(1)因为函数 yf x仅有一条垂直于y轴的切线，所以 120mxxfxx有唯一正实数解，所以0m或12m，所以m的取值范围是102m mm，或.5 分(2)因为 12mxxfxx.当0m时，因为0 x，所以10mx，所以，当0 2x，时，0fx；当2 x，时，0fx，所以 f x的单调递增区间是0 2，单调递减区间是2 ，此时 22ln222 212ln222fmmm，当ln2 1m 时，20f，函数 f x只有一个零点，2x；当ln2 10m 时，20f，函数 f x没有零点；当ln2 1m时，因为当0 x或x 时，f x，且 20f，所以函数 f x分别在0
11、2，和2，上，各有唯一零点，此时函数 f x有两个零点.当102m时，12m，在0 2x，和1 xm，上，0fx；在12 xm，上，0fx，所以 f x在0 2，和1m，单调递增，在12 m，上单调递减.当0 x时，f x；当x 时，f x，且 22ln2220fm，此时函数 f x在1m，上有唯一零点，即函数 f x有 1 个零点.当12m 时，2202xxfxx，所以 f x的单调递增区间是0，.当0 x时，f x；当x 时，f x，此时函数 f x在0，上有唯一零点.当12m 时，102m，在10 xm，和2x，上，0fx；在1 2xm，上，0fx；高三数学试题答案 第 5 页（共 5 页）所以 f x在10 m，和2，上单调递增，在1 2m，上单调递减.21111112ln212ln222fmmmmmmmm.设 12ln22g mmm 12m，所以 22211 4022mg mmmm，所以 g m在12，上单调递减，所以 12ln2302g mg.又因为当x 时，f x，所以函数 f x在区间2，唯一零点.综上所述，得：当ln2 1m时，函数 f x有且仅有 2 个有零点.当ln2 10m 时，函数 f x没有零点；当ln2 1m 或0m 时，函数 f x有且仅有 1 个零点.12 分
