1、2020 届南京市高三三模数学分析与解 11在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2y22 上两个动点，且OA OB若 A， B 两点到直线 l：3x4y100 的距离分别为 d1，d2，则 d1d2的最大值为 法一：取AB中点P，作PQl，垂足为Q.因为OAOB，所以1OP ，即P在 22 1xy 上.原点O到直线l的距离 22 |10| 2 34 d ，所以 12 2226ddPQPO，所以最大值 为 6 法二：因为圆上的点都在直线下方，所以设 ( 2cos , 2sin), (2sin, 2cos)AB. 12 3 2cos4 2sin103 2sin4 2cos107 2c
2、os2sin 46 55 dd 思考：题目改为 12 2dd的最大值如何求解？ 12若对任意 ae，) (e 为自然对数的底数) ，不等式 xeax b对任意 xR 恒成立，则 实数 b 的取值范围为 法一：当0x 时，不等式显然成立.当0x 时，lnln ax b xexaxbbxax .因为 ae， 所 以lnlnxaxxex， 令 11 ( )ln,( )0f xxex fxex xe ， 所 以 max 1 2fxf e ，所以2b 法二：利用 x eex 2ax eaexe x，所以 2 1 2 b eb e 13已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足AP ABAC
3、，且 231，延 长 AP 交边 BC 于点 D若 BD2DC，则 PA PB 的值为 法一 （基底） ： 因为 12 33 ADABAC ，,A D P共线， 所以2， 又 231， 所以 1 8 1 4 . 【一】 2211717139 84846416164 PA PBABACABACABACAB AC 【二】取AB中点E，则 2 2317 844 PEABAC ，所以 22179 4 444 PA PBPEEAPEEAPEAB 法二（建系） ： 如图建系， 3 : 2 AD yx， 则 42 ,2 3P， 因为P在AD上， 所以 3 2 342 2 231 解之得 1 8 1 4 ，
4、3 1, 2 P ，所以 339 1,3, 224 PA PB 14 在ABC 中， A 3 ， D 是 BC 的中点 若 AD 2 2 BC， 则 sinBsinC 的最大值为 法一： 【目标指向AD长度】 在ABD和ADC中用两次余弦定理， 222222 0 22 ADBDABADDCAC AD BDAD DC 在ABD和ABC中利用余弦定理 22222 222222 111 cos 442224 BCaacb ADABAB BCBccabca ac 中线的向量表示 2 2 22 11111 22444 ADABACcbbc 走中点 22 222 2 111 2 222 ABACADCBA
5、DCBADa 算两次数量积 2 2 4 1 2 BC AB ACAD AB ACbc 原理都一样，揭示数量积与余弦定理的密切关系，最后得到 222 3 2 bca或 2 1 2 bca 下面正弦的两个切入点 （边化角、齐次化） 2 13 sinsinsin 28 BCA（角化边） 2 3333 sinsin 2248 bcbc BC aaa 法二：建系 如图建系，,0 ,0 ,0, 222 3 aaa BCA x yE 由于定线段对定角，所以A在圆E的优弧 部分.又因为 2 2 ADBC，所以 2 22 2 a xy，即A又在圆 2 22= 2 a xy内部，所以A在红色 部分的弧，其中 5353 , 4444 aaaa FG . 2 2 3 3 16 sinsin 8 3535 44 a y BC bc aa 思考： 若D是三等分点， 或是n等分点如何处理？
