1、 河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）ABCD2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A直线AA1 B直线A1B1 C直线A1D1 D直线B1C13在空间中，设m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若m且，则m B若，m，n，则mnC若m且，则m D若m不垂直于，且n，则m必不垂直于n4如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OA
2、B的周长为（）A B3 C D125若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45，则该正四棱锥的体积是（）A B C D6已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥OABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）A B4 C D37若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A48+ B48 C48+2 D4828已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0x1，设面MEF面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）
3、Al面ABCD BlACC面MEF与面MPQ不垂直 D当x变化时，l不是定直线9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）A B C3 D410如图，等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上 B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值 D异面直线AE与BD不可能垂直11已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A B C D12在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）
4、ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且满足A1E=mEC（mR），当二面角EADC的余弦值为时，实数m的值为（）A1 B2 C D3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为 14在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC、ACD、ABD的面积分别为、，则三棱锥ABCD的外接球的体积为 15如图，三棱锥ABCD的顶点B、C、D在平面内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面内为止，则A、D两点所经过
5、的路程之和是 16在正方体ABCDA1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动则下列四个命题：三棱锥AD1BC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变；M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是 （写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点（）若弧的中点为D，求证：AC平面POD（）如果PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积18九章算术是我国古代
6、内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童在如图所示的堑堵ABMDCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1棱台体积公式：V=（S+S）h，其中S，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高（）证明：直线BD平面MAC；（）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥AA1B1D1的体积V=，求该组合体的体积19如图1，在RtABC中，ABC=60，AD是斜边BC上的高，沿AD将ABC折成60的二面角BADC，如图2（1）证明：平面ABD平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角20在长方体ABCD
7、A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体ABCDA1B1C1D1，且这个几何体的体积为（1）求证：EF平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由21如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小22如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上（）求证
8、：BCA1B；（）若P是线段AC上一点，AB=BC=2，三棱锥A1PBC的体积为，求的值参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）ABCD【考点】L7：简单空间图形的三视图【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B故选D2如图，在正方体A
9、BCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A直线AA1B直线A1B1C直线A1D1D直线B1C1【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确故选：D3在空间中，设m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若m且，则mB若，
10、m，n，则mnC若m且，则mD若m不垂直于，且n，则m必不垂直于n【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，m或m；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得m；在D中，m有可能垂直于n【解答】解：由m，n为两条不同直线，为两个不同平面，知：在A中，若m且，则m或m，故A错误；在B中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m且，则由线面垂直的判定定理得m，故C正确；在D中，若m不垂直于，且n，则m有可能垂直于n，故D错误故选：C4如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的周长为（）AB3CD12【考点】LB：平面图形的直观图【分
11、析】根据斜二侧画法得到三角形OAB的底面边长0B=4，高OA=2OA=6，然后求三角形的周长即可【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2OA=6，AB=2，直角三角形OAB的周长为10+2故选：A5若正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的角是45，则该正四棱锥的体积是（）ABCD【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算【解答】解：过棱锥定点S作SEAD，SO平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心连结OE，则SEO为侧面SAD与底面AB
12、CD所成角的平面角，即SEO=45设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=，SE=在RtSAE中，SA2=AE2+SE2，3=，解得a=2SO=1，棱锥的体积V=故选B6已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上，且三棱锥OABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为（）AB4CD3【考点】LG：球的体积和表面积【分析】设正ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD，而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面
13、圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值【解答】解：设正ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，O1是正ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1OO1C，球的半径R=3，O1O=2，RtO1OC中，O1C=又D为BC的中点，RtO1DC中，O1D=O1C=RtOO1D中，OD=过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=r2=故选A7若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A48+B48C48+2D482【考点】L!：由三视图
14、求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球然后利用正方体的表面积及球的表面积求解【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球其表面积为=48+故选：A8已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0x1，设面MEF面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）Al面ABCDBlACC面MEF与面MPQ不垂直D当x变化时，l不是定直线【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；
15、LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】画出直线l，然后判断选项即可【解答】解：如图作出过M的中截面，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P=A1Q=x，0x1，QPEF，EF中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF面MPQ=l，由平面与平面平行的性质定理可知：l面ABCD；几何体是正方体，ACEF，由三垂线定理可知：lAC过ACC1A1的平面如图，面MEF与面MPQ不垂直，当Q、P与D1，B1重合时，面MEF与面MPQ垂直，直线l与EF平行，是定直线D错误故选：D9已知某几何体的三视
16、图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（）ABC3D4【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积，从而求出其内切球的半径r，再计算内切球的表面积【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，则几何体的表面积为，该几何体的体积为；设其内切球半径为r，则，求得，所以内切球的表面积为故选：B10如图，等边ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱锥AEFD的体积有最大值D异面直线
17、AE与BD不可能垂直【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由斜线的射影定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断B正确；由三棱锥的体积公式，可判断C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：AD=AE，ABC是正三角形，A在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面AGF一定过平面BCED的垂线，恒有平面AGF平面BCED，故B正确；三棱锥AFED的底面积是定值，体积由高即A到底面的距离决定，当平面ADE平面BCED时，三棱锥AFED的体积有最大值，故C正确；当（AE）2+EF2=（AF）2时，面直线AE与BD垂直，故错误故选：D11已知边长为2的正
18、方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球=，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为（）ABCD【考点】MI：直线与平面所成的角【分析】过球心O作平面ABCD的垂线OG，则G为正方形中心，OAG为OA与平面ABCD所成的角，求出球的半径OA，再求出AG，即可得出所求角的余弦值【解答】解：如图，设球O的半径为R，由V球=，得，R=，即OA=设正方形ABCD的中心为G，连接OG，则OG平面ABCD，且AG=OA与平面ABCD所成的角的余弦值为故选：A12在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，点E为A，C上的点，且
19、满足A1E=mEC（mR），当二面角EADC的余弦值为时，实数m的值为（）A1B2CD3【考点】MT：二面角的平面角及求法【分析】由题意画出图形，在正三棱柱ABCA1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AED的一个法向量（用含有m的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角EADC的余弦值为列式求得m值【解答】解：在正三棱柱ABCA1B1C1中，取AC中点O，以O为坐标原点，以OB、OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，AB=2，AA1=3，点D为棱BD的中点，A（0，1，0），C（0，1，0），D
20、（），A1（0，1，3），又点E为A1C上的点，且满足A1E=mEC（mR），设E（x，y，z），则，（x，y+1，z3）=（mx，mmy，mz），得x=0，y=，z=E（0，），则，设平面AED的一个法向量为，由，取x=，得平面ADC的一个法向量|cos|=|=|=解得：m=1故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A到平面A1DB的距离为【考点】L2：棱柱的结构特征【分析】利用等体积法，即=，求点A到平面A1DB的距离【解答】解：构造三棱锥AA1DB，并且有=，因为=sh=111=，所以=设点A到平面A1DB的距离为
21、x，又因为=SA1BDx=x=，所以x=，即点A到平面A1DB的距离为故答案为：14在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC、ACD、ABD的面积分别为、，则三棱锥ABCD的外接球的体积为8【考点】LG：球的体积和表面积【分析】利用三棱锥侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积【解答】解：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=4，ac=4，bc=4，解得：
22、a=2，b=2，c=2，所以球的直径为： =2所以球的半径为，所以三棱锥ABCD的外接球的体积为=8故答案为：815如图，三棱锥ABCD的顶点B、C、D在平面内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面内为止，则A、D两点所经过的路程之和是 【考点】G7：弧长公式【分析】由题意画出图形，可得AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解【解答】解：如图，取BC中点O，在ABC和BCD中，CA=AB=BC=CD=DB=2，AO=DO=2，在AOD中，AO=DO=2，又AD=2，cosAOD=0，则AOD=，将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到
23、平面内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的圆周，A、D两点所经过的路程之和是2OA=故答案为：16在正方体ABCDA1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动则下列四个命题：三棱锥AD1BC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变；M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是（写出所有正确命题的编号）【考点】L2：棱柱的结构特征【分析】利用体积公式判断，利用向量计算夹角判断，根据二面角的定义判断，利用全等判断【解答】解：对于，显然三棱锥AD1BC体积与P点位置无关，故正确；
24、对于，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，1，1），cos=，cos，=，AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故错误；对于，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角PAD1C的大小不变，故正确；对于，设Q为直线A1D1上任意一点，则RtQDD1RtQC1D1，QD=QC1，M的轨迹为直线AD1，故正确故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，O是圆锥底面圆的圆
25、心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点（）若弧的中点为D，求证：AC平面POD（）如果PAB面积是9，求此圆锥的表面积与体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）由AB是底面圆的直径，可得ACBC再由的中点为D，可得ODBC则ACOD由线面平行的判定可得AC平面POD；（）设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意可得h=r，l=，由PAB面积是9求得r=3，代入圆锥表面积公式与体积公式求解【解答】（）证明：AB是底面圆的直径，ACBC的中点为D，ODBC又AC、OD共面，ACOD又AC平面POD，OD平面POD，AC平面POD；
26、（）解：设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，h=r，l=，由，得r=3，18九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童在如图所示的堑堵ABMDCP与刍童的组合体中AB=AD，A1B1=A1D1棱台体积公式：V=（S+S）h，其中S，S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高（）证明：直线BD平面MAC；（）若AB=1，A1D1=2，MA=，三棱锥AA1B1D1的体积V=，求该组合体的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）证明ADMA，
27、推出MA平面ABCD，得到MABD结合BDAC，证明BD平面MAC（）设刍童ABCDA1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可【解答】解：（）证明：由题可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱，AD平面MAB，又MA平面MAB，ADMA，又MAAB，ADAB=A，AD，AB平面ABCD，MA平面ABCD，又BD平面ABCD，MABD又AB=AD，四边形ABCD为正方形，BDAC，又MAAC=A，MA，AC平面MAC，BD平面MAC（）设刍童ABCDA1B1C1D1的高为h，则三棱锥AA1B1D1体积V=，h=，故该组合体的体积为V=19如图1，在RtABC中，ABC=60，
28、AD是斜边BC上的高，沿AD将ABC折成60的二面角BADC，如图2（1）证明：平面ABD平面BCD；（2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ADCD，ADBD，从而AD平面BCD，由此能证明平面ABD平面BCD（2）取CD的中点F，连结EF，由EFBD，AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角【解答】证明：（1）折起前AD是BC边上的高，当折起后，ADCD，ADBD，又CDBD=D，AD平面BCD，AD平面ABD，平面ABD平面BCD解：（2）取CD的中点F，
29、连结EF，由EFBD，AEF是异面直线AE与BD所成角，连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3，在RtADF中，AF=，在BCD中，由题设知BDC=60，则BC2=BD2+CD22BDCDcos60=28，BC=2，BE=，cos，在BDE中，DE2=BD2+BE22BDBEcosCBD=13，在RtADE中，cosAEF=，AEF=60，异面直线AE与BD所成的角为6020在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体ABCDA1B1C1D1，且这个几何体的体
30、积为（1）求证：EF平面A1BC1；（2）求A1A的长；（3）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由【考点】LS：直线与平面平行的判定；L2：棱柱的结构特征【分析】（1）法一：连接D1C，已知ABCDA1B1C1D1是长方体，可证四边形A1BCD1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面A1AB平面CDD1C1证得A1B平面CDD1C1（2）设A1A=h，已知几何体ABCDA1C1D1的体积为，利用等体积法VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1VBA1B1C
31、1，进行求解（3）在平面CC1D1D中作D1QC1D交CC1于Q，过Q作QPCB交BC1于点P，推出A1PC1D，证明A1PC1D，推出D1C1QRtC1CD，再求求线段A1P的长【解答】证明：（1）证法一：如图，连接D1C，ABCDA1B1C1D1是长方体，A1D1BC且A1D1=BC四边形A1BCD1是平行四边形A1BD1CA1B平面CDD1C1，D1C平面CDD1C1，A1B平面CDD1C1证法二：ABCDA1B1C1D1是长方体，平面A1AB平面CDD1C1A1B平面A1AB，A1B平面CDD1C1A1B平面CDD1C1解：（2）设A1A=h，几何体ABCDA1C1D1的体积为，VAB
32、CDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1VBA1B1C1=，即SABCDhSA1B1C1h=，即22h22h=，解得h=4A1A的长为4（3）在平面CC1D1D中作D1QC1D交CC1于Q，过Q作QPCB交BC1于点P，则A1PC1D因为A1D1平面CC1D1D，C1D平面CC1D1D，C1DA1D1，而QPCB，CBA1D1，QPA1D1，又A1D1D1Q=D1，C1D平面A1PQC1，且A1P平面A1PQC1，A1PC1DD1C1QRtC1CD，=，C1Q=1又PQBC，PQ=BC=四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=，A1P=21如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧
33、面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）证明：SD平面SAB；（）求AB与平面SBC所成的角的大小【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（）证明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=侧面SAB为等边三角形，AB=2SA=2SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理
34、：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如图所示的空间坐标系则A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin22如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上
35、（）求证：BCA1B；（）若P是线段AC上一点，AB=BC=2，三棱锥A1PBC的体积为，求的值【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）由AD平面A1BC得BCAD，由AA1平面ABC得BCAA1，故BC平面A1AB，所以BCA1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值【解答】（）证明AD平面A1BC，BC平面A1BC，ADBCAA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC又AA1AD=A，AA1平面AA1B，AD平面AA1B，BC平面AA1B，A1B平面AA1B，BCA1B（）解：设PC=x，过点B作BEAC于点E由（）知BC平面AA1B1B，BCAB，AB=BC=2，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，ADA1BBD=1，又AA1AB，RtABDRtA1BA，=解得：，第33页（共33页）
