1、2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（10）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知全集I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A3，4，5，6，集合B5，6，7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（）A3，4，7，8B3，4，5，6，7，8C1，2，9D5，62（5分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）AiB2iC1D13（5分）已知向量a=（1，2），a+b=（m，4），若ab，则m（）A3B2C2D34（5分）九章算术均输中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱
2、，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，乙所得为（）A43钱B73钱C83钱D103钱5（5分）已知(0，4)，a（sin）sin，b（sin）cos，c（cos）sin，则a，b，c的大小关系（）AbacBbcaCabcDcba6（5分）直线x+y+a0与圆x2+y22x+4y+30有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（）A2a3B1a3C2a0D0a37（5分）下列四个命题正确有（）个（1）ab，bcac（2）ab，bcac（3）a，bab（4）ab，baA1B2C3D48（5分）直线l
3、：x+3y+m0与圆C：x2+y24x+10交于A，B两点，若线段AB的长恰等于圆C的半径，则m值是（）A1B5C1或5D59（5分）已知集合A1，1，在平面直角坐标系xOy中，点集K（x，y）|xA，yA，在K中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）210的内部的概率为（）A14B12C34D1310（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的离心率为（）A2B3C
4、7D23311（5分）已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，ABADCD，BCAD，ABC60，PAB是等边三角形，若四棱锥PABCD体积的最大值93，则球O的表面积为（）A56B54C52D5012（5分）函数f(x)=lnx-x2+2x(x0)4x+1(x0)的零点个数为（）A0B1C2D3二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知实数x，y满足约束条件x+y-40x-2y+20y0，则zx+2y的最大值为 14（5分）在等比数列an中，若a5+a74（a1+a3），则a6a2= 15（5分）已知alog223，b323，c2513，则a，b，c的大小关系是 1
5、6（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是f（x）的导函数，且f（2）3，f（x）1，则不等式f（x）x+1的解集为 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBbsinB+C2（1）求A；（2）若b+c2，求a取最小值时ABC的面积S18（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC23，AC26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC（1）求证：CD平面PAB；（2）若PA与平面ABC所成的角为4，求三棱锥PABC的体积19（12分）某村为了脱贫致富
6、，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在85，105的频率为0.66（1）求a，b的值；（2）估计麻鸭产蛋量的平均数和中位数（以各组区间的中点值代表该组的取值）（所得结果保留整数）（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种根据统计得出两种培育方法的22列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关良种次种总计旱养培育160260水养培育60总计340
7、500附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由21（
8、12分）已知椭圆c：x2a2+y23=1（a10）的右焦点F在圆D：（x2）2+y21上，直线l：xmy+3（m0交椭圆于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若OMON（O为坐标原点），求m的值；（）设点N关于x轴的对称点为N1（N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由四解答题（共2小题，满分10分）22（10分）已知曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）P，Q是曲线C上两点，若OPOQ，求|OP|2|OQ
9、|2|OP|2+|OQ|2的值23已知函数f（x）|x+t|+|x1|2，tR（1）当t1时，解不等式f（x）2；（2）若不等式f（x）t20恒成立，求实数t的取值范围2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（10）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知全集I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A3，4，5，6，集合B5，6，7，8，则图中阴影部分所表示的集合为（）A3，4，7，8B3，4，5，6，7，8C1，2，9D5，6【解答】解：全集I1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A3，4，5，6，集合B5，6，7，8，AB3，4，5，6，7，
10、8，AB5，6，I（AB）1，2，3，4，7，8，9，由图象可知阴影部分对应的集合为（AB）I（AB）3，4，7，8，故选：A2（5分）若z=i2020+3i1+i，则z的虚部是（）AiB2iC1D1【解答】解：z=i2020+3i1+i=1+3i1+i=(1+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=2+i，z的虚部是1故选：D3（5分）已知向量a=（1，2），a+b=（m，4），若ab，则m（）A3B2C2D3【解答】解：向量a=（1，2），a+b=（m，4），b=（m1，2），若 ab，则 m1+220，m3，故选：A4（5分）九章算术均输中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人
11、等，上下人差均等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，乙所得为（）A43钱B73钱C83钱D103钱【解答】解：设甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列an，公差为d由题意可得：a1+a2a3+a4+a5，a1+a2+a3+a4+a510，2a1+d3a1+9d，2a1+d5，联立解得：a1=83，d=-13a2=83-13=73钱故选：B5（5分）已知(0，4)，a（sin）sin，b（sin）cos，c（cos）sin，则a，b，
12、c的大小关系（）AbacBbcaCabcDcba【解答】解：a（0，4），0sinacosa1，y（sin）x单调递减；（sin）sin（sin）cos，ba；yxsin单调递增，（sin）sin（cos）sin；ac；cab故选：A6（5分）直线x+y+a0与圆x2+y22x+4y+30有两个不同交点的一个必耍不充分条件是（）A2a3B1a3C2a0D0a3【解答】解：依题意，圆的标准方程为（x1）2+（y+2）22，圆心（1，2），半径r=2，因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离d=|1-2+a|22，所以|a1|2，1a3，求其必要不充分条件，即（1，3）为其真子集，故选：
13、A7（5分）下列四个命题正确有（）个（1）ab，bcac（2）ab，bcac（3）a，bab（4）ab，baA1B2C3D4【解答】解：根据平行公理，即平行线的传递性，可知（1）正确；根据垂直于同一条直线的两条直线a，c可以平行、相交、异面；即（2）不正确；根据直线与平面平行的定义可知，直线a与平面没有公共点，即直线a与平面的直线平行或异面，即（3）不正确；根据ab，b，直线a也可能在平面内，可知（4）不正确故正确的命题是（1）故选：A8（5分）直线l：x+3y+m0与圆C：x2+y24x+10交于A，B两点，若线段AB的长恰等于圆C的半径，则m值是（）A1B5C1或5D5【解答】解：直线l：
14、x+3y+m0与圆C：x2+y24x+10交于A，B两点，若线段AB的长恰等于圆C的半径，圆的圆心（2，0），半径为3，所以（|2+m|1+3）2+（32）2（3）2解得m1或5故选：C9（5分）已知集合A1，1，在平面直角坐标系xOy中，点集K（x，y）|xA，yA，在K中随机取出两个不同的元素，则这两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）210的内部的概率为（）A14B12C34D13【解答】解：由题意可得K（1，1），（1，1），（1，1），（1，1），其中在圆（x2）2+（y+2）210内的点有（1，1），记A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），从ABCD4个
15、点中取出2个的所有取法有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况，其中两个元素中恰有一个元素在圆（x2）2+（y+2）210的内部的有AD，BD，CD共3种情况概率p=36=12故选：B10（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线C的离心率为（）A2B3C7D233【解答】解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，MF2N60，F1PF260，由余弦定
16、理可得4c216a2+4a224a2acos60，c=3a，e=ca=3故选：B11（5分）已知四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，ABADCD，BCAD，ABC60，PAB是等边三角形，若四棱锥PABCD体积的最大值93，则球O的表面积为（）A56B54C52D50【解答】解：四棱锥PABCD的五个顶点都在球O的球面上，如图：四棱锥PABCD体积的最大值93，只有平面PAB与底面ABCD垂直，并且底面ABCD面积取得最大值时，几何体的体积最大，因为ABADCD，BCAD，ABC60，可得ABCD是正六边形的一半，设ABADCDa，则四棱锥的体积的最大值为：1332a3a232a=93
17、，解得a23此时，底面ABCD的外心为E，外接球的球心为O，外接球的半径为R，所以R=(133223)2+(23)2=13，所以外接球的表面积为：4(13)2=52故选：C12（5分）函数f(x)=lnx-x2+2x(x0)4x+1(x0)的零点个数为（）A0B1C2D3【解答】解：当x0时，y4x+1，此时图象如下：此时很明显有1个零点当x0时，ylnxx2+2x令y0，即lnxx2+2x0，lnxx22x等号两边函数图象如下：此时很明显有2个零点分段函数f（x）一共有3个零点故选：D二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知实数x，y满足约束条件x+y-40x-2y+20
18、y0，则zx+2y的最大值为6【解答】解：作出实数x，y满足约束条件x+y-40x-2y+20y0对应的平面区域如图：（阴影部分）由zx+2y得y=-12x+12z，平移直线y=-12x+12z，由图象可知当直线y=-12x+12z经过点A时，直线y=-12x+12z的截距最大，此时z最大由x+y-4=0x-2y+2=0，解得A（2，2），代入目标函数zx+2y得z22+26故答案为：614（5分）在等比数列an中，若a5+a74（a1+a3），则a6a2=4【解答】解：在等比数列an中，a5+a74（a1+a3），a5+a7a1+a3=q44，a6a2=q44故答案为：415（5分）已知al
19、og223，b323，c2513，则a，b，c的大小关系是abc【解答】解：log223log21=0，a0，b3329，c325，而238，cb2，abc，故答案为：abc16（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）是f（x）的导函数，且f（2）3，f（x）1，则不等式f（x）x+1的解集为（，2）【解答】解：令g（x）f（x）x，对g（x）求导，得g（x）f（x）1，f（x）1，g（x）0，即g（x）在R上为减函数，f（2）3，g（2）f（2）2321，不等式f（x）x+1可化为不等式f（x）x1，即g（x）g（2），由g（x）在R上为减函数得x2，不等式的解集为x|x2故答案为：（
20、，2）三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBbsinB+C2（1）求A；（2）若b+c2，求a取最小值时ABC的面积S【解答】解：（1）因为已知asinBbsinB+C2所以asinBbsin（2-A2），即asinBbcosA2，由正弦定理得sinAsinBsinBcosA2，由于C为ABC的内角，所以sinB0，所以sinAcosA2，即由于B为ABC的内角，cosA20，sinA2=12，解得A=3（2）在ABC中由余弦定理知：a2b2+c22bccosA=(b+c)2-3bc(b+c)2-3(b+c2
21、)2，所以a1等号当仅当bc1时等号成立此时S=12bcsinA=3418（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC23，AC26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC（1）求证：CD平面PAB；（2）若PA与平面ABC所成的角为4，求三棱锥PABC的体积【解答】解：（1）证明：连DE，由题意知AD4，BD2因为AC2+BC2AB2，所以ACB90所以cosABC=BCAB=236=33在BCD中，由余弦定理得CD2BC2+BD22BCBDcosDBC=4+12-222333=8所以CD=22CD2+AD2AC2，所以CDA90，所以
22、CDAB，又因为平面PAB平面ABC，故CD平面PAB（2）解：由（1）知CD平面PAB，又PD平面PAB，所以CDPD，又PDAC，ACCDC，所以PD平面ABC又PA与平面ABC所成的角为PAD，即PAD=4，所以PDAD4，SABC=62，从而三棱锥PABC的体积为VP-ABC=13SABCPD=8219（12分）某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在85，105的频率为0.66（1）求a，b的值；
23、（2）估计麻鸭产蛋量的平均数和中位数（以各组区间的中点值代表该组的取值）（所得结果保留整数）（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种根据统计得出两种培育方法的22列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关良种次种总计旱养培育160260水养培育60总计340500附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答
24、】解：（1）由产蛋量在85，105的频率为0.66，可得产蛋量在85，105的数量为5000.66330（只），所以产蛋量在75，85的数量为0.0061050030（只）；产蛋量在85，95的数量为0.02410500120（只）；产蛋量在115，125的数量为0.0081050040（只）；所以a（330120）500100.042，b（5003303040）500100.02；（2）计算平均数为x=0.0061080+0.0241090+0.04210100+0.0210110+0.00810120100，中位数是95+0.5-(0.006+0.024)100.042=95+100211
25、00，所以估计麻鸭产蛋量的平均数为100，中位数也为100；（3）根据题意补充列联表如下，良种次种总计旱养培育100160260水养培育60180240总计160340500计算K2=500(100180-60160)226024016034010.3937.879，所以有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关20（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，点A在椭圆C上，|AF1|2，F1AF260，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的方程；（）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN
26、PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（）由e=12得a2c，|AF1|2，|AF2|2a2，由余弦定理得，|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|AF2|cosA=|F1F2|2，解得c1，a2，b2a2c23，所以椭圆C的方程为x24+y23=1（）存在这样的点M符合题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由F2（1，0），设直线PQ的方程为yk（x1），由x24+y23=1y=k(x-1)得（4k2+3）x28k2x+4k2120，由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3，故x0=x1+x22=4k24k2+3，又点N在直线PQ上，y0=-3
27、k4k2+3，所以N(4k24k2+3，-3k4k2+3)因为MNPQ，所以kMN=0-3k4k2+3m-4k24k2+3=-1k，整理得m=k24k2+3=14+3k2(0，14)，所以存在实数m，且m的取值范围为(0，14)21（12分）已知椭圆c：x2a2+y23=1（a10）的右焦点F在圆D：（x2）2+y21上，直线l：xmy+3（m0交椭圆于M、N两点（）求椭圆C的方程；（）若OMON（O为坐标原点），求m的值；（）设点N关于x轴的对称点为N1（N1与点M不重合），且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（
28、）由圆D：（x2）2+y21，令y0，解得x3或1a10，取右焦点F（3，0），得a23+321210椭圆C的方程为x212+y23=1（）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立x=my+3x212+y23=1，消去x化为（m2+4）y2+6ny30，得到y1+y2=-6mm2+4，y1y2=-3m2+4x1+x2m（y1+y2）+6=24m2+4，x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=36-12m2m2+4OMON，OMON=0x1x2+y1y20，代入得36-12m2-3m2+4=0，化为m2=114，解得m=112，即m为定值（）M（x1，y1），N1（x2，y2），直线N1
29、M的方程为y-y1=-y2-y1x2-x1(x-x1)，令y0，则x=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+y2x1y1y2=2my1y2+3(y1+y2)y1+y2=-6mm2+4-18mm2+4-6mm2+4=4，P（4，0），得到|FP|1SPMN=12|FP|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=1236m2(m2+4)2+12m2+4 =23m2+1(m2+4)2=231(m2+1)+9m2+1+623112=1，当且仅当m2+1=9m2+1，即m=2时取等号故PMN的面积存在最大值1四解答题（共2小题，满分10分）22（10分）已知曲线C的参数方程为x=2cos
30、y=sin（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）P，Q是曲线C上两点，若OPOQ，求|OP|2|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），转换为直角坐标方程为x24+y2=1，转换为极坐标方程为42sin2+2cos24即2=43sin2+1（2）P，Q是曲线C上两点，若OPOQ，设P（1，），则Q（2，2），所以|OP|2|OQ|2|OP|2+|OQ|2=11|OP|2+1|OQ|2=1112+122=134sin2+14+34cos2+14=4523已知函数f（
31、x）|x+t|+|x1|2，tR（1）当t1时，解不等式f（x）2；（2）若不等式f（x）t20恒成立，求实数t的取值范围【解答】解：（1）函数f（x）|x+t|+|x1|2，当t1时，f（x）|x+1|+|x1|2=-(x+1)-(x-1)-2，x-1(x+1)-(x-1)-2，-1x1(x+1)+(x-1)，x1=-2x-2，x-10，-1x12x-2，x1，不等式f（x）2等价于x-1-2x-22，或-1x102，或x12x-22；解得x2，或x，或x2；所以不等式f（x）2的解集为x|x2或x2；（2）f（x）|x+t|+|x1|2|（x+t）（x1）|2|t+1|2；所以不等式f（x）t20恒成立，即|t+1|2t20恒成立；所以|t+1|t+4恒成立；当t1时，不等式化为t+1t+4，此时t；当t1时，不等式化为（t+1）t+4，解得t-52；综上知，实数t的取值范围是（，-52
