1、第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设，则.2.曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则：使得格林公式： 成立的充分条件是：.其中L是D的取正向曲线;5.级数的收敛域是.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当，时,函数的极限是 A.等于0; B. 等于; C. 等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数，是函数在该点可微分的 A.充分必要条件; B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件; D. 既非充分又非必要条件.3.设，则 A.; B. ; C. ; D. .4.若级数在
2、处收敛,则此级数在处A.绝对收敛; B.条件收敛;C.发散; D.收敛性不确定.5.微分方程的特解应设为 A. ; B. ; C. ; D. .三.（8分）设一平面通过点,而且通过直线,求该平面方程.解： 平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分）设,其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解： 其中： ： ： ： 而 故： 六、（8分）计算对面积的曲面积分,其中为平面在第一卦限中的部分.解： ,七.（8分）将函数,展开成的幂级数.解：, 而 , , , 八.（8分）求微分方程：的通解.解：, 原方程为：
3、 通解为： 九.幂级数： 1.试写出的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分）解：1、 于是 2、令： 由1知： 且满足： 通解： 由，得：；故： 十.设函数在上连续,且满足条件 其中是由曲线,绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。1、将三重积分写成累次积分的形式;（3分）2、试求函数的表达式.（7分）解：1、旋转曲面方程为： 由，得： 故在面的投影区域为：2、由1得： 记： 则： 两边乘以：，再在 上积分得： 解得： 故： 第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2三、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是.
4、2.曲线在点处的法平面方程是.3. 设,其中具有二阶连续导数,且，,则.4. 级数，当满足不等式时收敛.5.级数的收敛域是.四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.设与为非零向量,则是 A. 的充要条件; B. 的充要条件; C. 的充要条件; D. 的必要但非充分条件.2.平面的位置是 A.垂直于轴; B.平行于轴;C.平行于面; D. 通过轴.3.设函数，则下列说法正确的是 A.存在且在点处的两个偏导数也存在; B. 存在但在点处的两个偏导数不存在; C. 不存在但在点处的两个偏导数存在; D. 不存在且在点处的两个偏导数也不存在; 4.曲线为圆周 ,则等于A. ; B. ;C. ;
5、 D. .5. 设正项级数收敛，则必有 A. ; B. ;C. ; D. .三.（8分）在平面上求一直线，使得它与直线 垂直相交。解：方法1：直线的方向向量为 它与平面的交点为所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为：故所求的直线方程为：方法2：直线的方向向量为 它与平面的交点为所求直线通过这一点，过交点且与直线垂直的平面方程为：即： 故所求的直线方程为： 或：四.（8分）设是由方程 所确定的隐函数, 求: ，和，解：设，则：，当，时，五.（8分）计算曲线积分其中为从经的上半圆到的一弧段。解：由 知与路经无关。 取，作新路经折线，于是：六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分, 其中为球面：的上半
6、部分的上侧.解： 作 ： 取下侧.则 而 故：七.（8分）将函数,展开成的幂级数.解： 而： 八.（8分）求微分方程：的通解.解： 是特征方程的单根, 所以设 代入原方程得: 故原方程的通解为: 九. （12分）求由曲面和所围成立体的体积.解： 十. （10分）设是第一象限内连接点， 的一段连续曲线，为该曲线上任意 一点，点为在轴上的投影， 为坐标原点。若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为。试建立所满足的微分方程，并求的表达式。解：梯形的面积为： 曲边三角形的面积为： 根据题意得： 两边关于求导得： 即： 故： 由： ，得：，故： 第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3一、 填空题(每空 3
7、分，共 15 分) 1. 已知向量,则以,为边的平行四边形的面积等于.2. 曲面在点处的切平面方程是.3. 交换积分次序.4. 对于级数（a0），当a满足条件时收敛.5. 函数展开成的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通过轴 （B）通过轴（C）垂直于轴 （D）平行于平面2. 函数在点处具有偏导数，,是函数在该点可微分的 （ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件3. 设，则（ ）（A） （B）（C） （D）4. 若级数在处收敛，则此级数在处（ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛
8、（D）绝对收敛5. 微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)设平面通过点，而且通过直线，求该平面方程解: 由于平面通过点及直线上的点， 因而向量平行于该平面。该平面的法向量为: 则平面方程为: 或： 即： 四、(本题满分8分) 设，其中具有二阶连续偏导数，试求和解: , 五、(本题满分8分)计算三重积分，其中解: 六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中L是圆周在第一象限的部分解法一: 解法二: （的弧长） 解法三: 令， 七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是柱面与平面和所围成的边界曲面外侧解: , 由高斯公式： 八、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和
9、函数解: 收敛半径： 易判断当时，原级数发散。 于是收敛域为 九、(本题满分9分)求微分方程的通解解:特征方程为：特征根为：,的通解为：设原方程的一个特解为：, 原方程的一个特解为：故原方程的一个通解为： 十、(本题满分11分)设是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记1证明曲线积分与路径无关；2求的值证明1:因为上半平面是单连通域，在内： ，有连续偏导数，且： ，。 所以曲线积分与路径无关。解2: 设，由于曲线积分与路径无关，故可取折线路径：。 东北大学高等数学(下)期末考试试卷2007.7.一选择题(4分6=24分)1、设为非零向量，则 = (A) (B) (C) (D) .2
10、 3设， 在上连续 = (A) (B) (C) (D) 4若级数与都发散，则必有 (A) 发散 (B) 发散 (C) 收敛 (D) 收敛 二、填空题(4分6=24分)1直线与平面的交点是_2用钢板做体积为的有盖长方体水箱最少用料S=_3二次积分的值是_4设为球面，则=_5小山高度为在处登山，最陡方向是_6设为周期为的周期函数，它在的表达式为，若的傅立叶级数的和函数为，则=_三、（10分）求过点垂直于直线而与平面的平行的直线方程四（10分）将函数展开成(x-1)的幂级数并给出收敛域。五（10分）计算三重积分, 其中W是由抛物面x2+y2=2z及平面z=5所围成的空间闭区域. 六（10分）设L是由
11、直线上从到一段及圆弧上从再到的有向曲线，计算七（10分）计算曲面积分，其中为球面八（10分）设，具有二阶连续偏导数，而由方程确定，求。高等数学参考答案 2007.7一选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1、【解】应选择D。 =2【解】应选择A。连续 处可微分3。【解】应选择C。在极坐标下=4。【解】应选择B。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1【解】应填直线化为参数式 代入平面方程 得 代入参数方程得 故交点为 2【解】应填24设水箱的长为xm, 宽为ym, 则其高应为m. 此水箱所用材料的面积为. 令, , 得x=2, y=2. 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为
12、m时, 水箱所用的材料最省. 最少用料为 3【解】应填.=4【解】应填.=5【解】应填.在处登山，最陡方向是在的梯度方向=6【解】应填.由于是间断点，故，而是连续点， 于是=.三【解】 已知直线方向向量，已知平面法向量（4分）设所求直线方向向量，则 . .（8分）所求直线方程为 （10分） 四 【解】 因为 （2分） （4分） （6分） （8分）收敛域满足（9分）解出收敛域为：（10分）五. 【解】积分区域W关于面对称，在柱面坐标下积分区域W可表示为 , , , （2分） （4分）（6分） （8分） （10分）六【解】补充为x轴上由到有向直线段,则 L和围成闭区域D, （2分）。（4分）则由Green公式 原式（6分） .（8分） .（10分）七【解】由Gauss公式 原式.（2分） （4分） （6分）（8分） （10分）八【解】由方程两边关于求导得 （2分） 类似地，有（4分）（7分）（10分）26
