1、20192020学年第一学期期中考试高二数学试卷（时间：120分钟 总分：100分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；并将条形码粘贴在指定区域。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。3第卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。第卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，其中110小题为单选题，每小题只有一个选项符合题意；1112为多选题，每小题有两个选项符合题意，选对一个得3分，两个都选对得5分，选错或选错一个得0分。)1直线的斜率是（ ）ABCD2若圆C与圆C（
2、x2）2（y1）21关于原点对称，则圆C的方程是（ ）A（x1）2（y2）21B（x-2）2（y1）21C（x1）2（y+2）21D（x-2）2（y+1）213如图，在三棱锥中，点D是棱AC的中点，若，则等于（ ）ABC D4直线是（ ）A过点的一切直线B过点的一切直线C过点且除x轴外的一切直线D过点且除直线外的一切直线5如果存在三个不全为0的实数，使得向量，则关于，叙述正确的是（ ）A，两两相互垂直B，中只有两个向量互相垂直C， 共面D，中有两个向量互相平行6已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点P中，在平面内的是（ ）ABCD7若直线与直线平行，则（ ）ABC或2D或8设是椭圆长轴的
3、两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）A B C D9如图所示，正方体的棱，的中点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABC D10已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射（无论经过几次反射速率始终保持不变），若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为（ ）ABCD11（多选题）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ）A若为椭圆,则B若为双曲线,则或C曲线可能是圆D若为椭圆，且长轴在轴上，则12（多选题）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值可以是（
4、）ABCD第卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13在平面直角坐标系中，双曲线的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离为 。14已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 。15已知双曲线：的左、右焦点分别为，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为 。16某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题10分）（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方
5、程；（2）已知椭圆的离心率，求的值。18（本小题12分）已知圆与直线相交于不同的两点，为坐标原点。（1）求实数的取值范围；（2）若，求实数的值。19（本小题12分）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点。（1）在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）。（2）若，求平面与平面的距离。20（本小题12分）如图，设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为上一点，且。（）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度。21（本小题12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中
6、点，点F在PC上，且。（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。22（本小题12分）已知椭圆：（）的离心率为，的面积为1。（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：20192020学年第一学期期中考试 BDBDC BBACD AD AB第卷（非选择题，共分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13、 14、 15、 1632三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【详解】（1）双曲线与双曲线1有相同焦点，设所求
7、双曲线方程为：1，（416），双曲线过点（，2），1，4或14（舍）所求双曲线方程为（2）椭圆方程可化为1，因为m0，所以m，即a2m，b2，c，由e，得，解得m1，所以m118（1）；（2）.试题解析：（1）解：由消去得，由已知得，得，得实数的取值范围是；（2）因为圆心到直线的距离为，所以由已知得，解得.19（1）见解析;（2）试题解析：（1）如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面.（2）如图，连接交于，在直棱柱中，底面为菱形，分别以为轴， 为原点建立如图所示空间直角坐标系，又所有棱长为2， ， ， ， ，设是平面的一个法向量，则，即，令得， ，点到平面的距离，平面与平面的距离20（1）；
8、 （）.解：（1）设的坐标为，的坐标为，由已知得，因为在圆上， 所以，即的方程为； （）过点且斜率为的直线方程为 ， 设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得：，整理得，所以，所以.21()见解析；() ；()见解析.【详解】()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.22（1）；（2）证明见解析.【详解】（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以.当时，所以.综上，为定值.
