1、初中数学知识点精讲课程勾股定理与分类讨论思想在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理勾股定理a ab bc ca a2 2+b+b2 2c c2 2典例精解类型一：直角边、斜边不明求长度例例1 1：如果三条线段的长分别为：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,3cm,xcm,5cm,这三条线段这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么恰好能组成一个直角三角形，那么x x等于等于_._.解解:(1):(1)当以当以3cm,xcm3cm,xcm为直角边，为直角边，5cm5cm为斜边时，为斜边时，可得可得5 52 23 32
2、2+x+x2 2，(2)(2)当以当以3cm,5cm3cm,5cm为直角边，为直角边，xcmxcm为斜边时，为斜边时，可得可得3 32 2+5+52 2x x2 2，解得解得x x4 4；解得解得x x ；4 4或或变 式 题已知一个直角三角形的两边长为已知一个直角三角形的两边长为6cm6cm和和8cm8cm，则这个直角三，则这个直角三角形的周长为角形的周长为_._.(1)(1)当当6cm,8cm6cm,8cm两边为直角边时，两边为直角边时，可得可得x x2 26 62 2+8+82 2，(2)(2)当当6cm,xcm6cm,xcm为直角边，为直角边，8cm8cm为斜边时，为斜边时，可得可得6
3、 62 2+x+x2 28 82 2，解得解得x x10,10,解得解得x x ,24cm24cm或或(14+)cm(14+)cm解解:设第三边长为设第三边长为xcmxcm，则三角形周长为则三角形周长为6+8+106+8+102424；则三角形周长为则三角形周长为6+8+6+8+14+.14+.典例精解类型二：动点位置不明求长度例例2 2：在：在RtRtABCABC中，中，A=90A=90，有一个锐角为，有一个锐角为6060，BC=6BC=6，若点若点P P在直线在直线ACAC上（不与上（不与A A、C C重合），且重合），且ABP=30ABP=30，则，则CPCP的长为的长为_._.62 3
4、4 3或或解解:(1):(1)如图如图1 1，当，当C=60C=60，ABC=30ABC=30，与，与ABP=30ABP=30矛盾；矛盾；PACB图1(2)(2)如图如图2 2，当，当C=60C=60，ABC=30ABC=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60，PBCPBC是等边三角形，是等边三角形，CP=BC=6CP=BC=6；图2PCAB(3)(3)如图如图3 3，当，当ABC=60ABC=60，C=30C=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60-30-30=30=30，PC=PBPC=PB，BC=6BC=6，AB=3AB=3，PC=PB=PC=PB=；
5、222 3PAAB图3CPAB(4)(4)如图如图4 4，当，当ABC=60ABC=60，C=30C=30，ABP=30ABP=30，CBP=60CBP=60+30+30=90=90，PC=PC=；224 3BCPBCPAB图3典例精解类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度例例3 3：在等腰三角形：在等腰三角形ABCABC中，已知其中两边长为中，已知其中两边长为6cm6cm和和8cm8cm，则等腰三角形则等腰三角形ABCABC中高的长为：中高的长为：_cm._cm.解解:(1):(1)当当6cm6cm为腰为腰,8cm,8cm为底时，如图为底时，如图1 1所示，所示，可得可得6 62 24 42
6、2+AD+AD2 2，(2)(2)当以当以8cm8cm为腰，为腰，6cm6cm为底时，如图为底时，如图2 2所示，所示，可得可得8 82 23 32 2+AD+AD2 2，解得解得ADAD ；解得解得ADAD ；或或变 式 题在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，已知其中两边长为中，已知其中两边长为4cm4cm和和6cm6cm，ADAD为为ABCABC底边上的高，则底边上的高，则ADCADC的周长为的周长为_cm._cm.解解:(1):(1)当当4cm4cm为腰为腰,6cm,6cm为底时，如图为底时，如图1 1所示，所示，可得可得4 42 23 32 2+AD+AD2 2，(2)(2)当以当
7、以6cm6cm为腰，为腰，4cm4cm为底时，如图为底时，如图2 2所示，所示，可得可得6 62 22 22 2+AD+AD2 2，解得解得ADAD ；解得解得ADAD ；或或则则ADCADC周长周长4+3+4+3+7+7+；则则ADCADC周长周长6+2+6+2+10+10+；典例精解类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度例例4 4：在：在ABCABC中，中，ABAB15cm15cm，ACAC13cm13cm，高，高ADAD12cm12cm，则则BCBC_._.解解:(1):(1)当当ADAD在在ABCABC内部时，内部时，如图如图1 1所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2
8、 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,B BC CD DA A图图1 1计算可得，计算可得，BDBD9 9，CDCD5,5,可得可得BCBCBD+CDBD+CD9+59+514cm;14cm;典例精解A AB BC CD D图图2 2例例4 4：在：在ABCABC中，中，ABAB15cm15cm，ACAC13cm13cm，高，高ADAD12cm12cm，则则BCBC_._.解解:(2):(2)当当ADAD在在ABCABC外部时，外部时，如图如图2 2所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2
9、2,计算可得，计算可得，BDBD9 9，CDCD5,5,可得可得BCBCBD-CDBD-CD9-59-54cm;4cm;类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度14cm14cm或或4cm4cm变 式 题ABCABC中，中，ABAB10cm10cm，ACAC17cm17cm，BCBC边上的高线边上的高线ADAD8cm8cm，求求ABCABC的周长的周长.B BC CD DA A图图1 1解解:(1):(1)当当ADAD在在ABCABC内部时，内部时，如图如图1 1所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,计算可得，
10、计算可得，BDBD6 6，CDCD15,15,可得可得BCBCBD+CDBD+CD6+156+1521cm;21cm;则则ABCABC的周长的周长AB+AC+BCAB+AC+BC10+17+2110+17+2148cm;48cm;变 式 题ABCABC中，中，ABAB10cm10cm，ACAC17cm17cm，BCBC边上的高线边上的高线ADAD8cm8cm，求求ABCABC的周长？的周长？解解:(2):(2)当当ADAD在在ABCABC外部时，外部时，如图如图2 2所示，所示，可得可得BDBD2 2ABAB2 2-AD-AD2 2，CDCD2 2ACAC2 2-AD-AD2 2,计算可得，计算可得，BDBD6 6，CDCD15,15,可得可得BCBCCD-BDCD-BD15-615-69cm;9cm;则则ABCABC的周长的周长AB+AC+BCAB+AC+BC10+17+910+17+936cm;36cm;A AB BC CD D图图2 2课堂小结勾股定理与分类讨论思想勾股定理与分类讨论思想直角边、斜边不明求长度直角边、斜边不明求长度动点位置不明求长度动点位置不明求长度腰不明，与勾股定理结合求长度腰不明，与勾股定理结合求长度三角形形状不明时，含高利用勾股定理三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度求长度
