1、高一数学函数的单调性试卷一选择题1函数的单调递减区间为（）A（，1B（，1C1，+）D（3，+）考点：函数的单调性及单调区间。专题：计算题。分析：要求函数的单调递减区间，只要求解函数t=x22x3在定义域3，+）（，1上的单调递减区间即可解答：解：由题意可得函数的定义域为3，+）（，1结合二次函数t=x22x3的性质可知，函数f（x）在（，1单调递减，在3，+）单调递增故选：A点评：本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，解题中要注意函数定义域的考查，本题解答中容易漏掉考虑定义域而错选为B2函数的单调递减区间为（D）ABCD考点：函数的单调性及单调区间。专题：计算题。分析：本题先要求出函数的定
2、义域，然后利用复合函数的单调性概念，求出内函数的单调区间，复合函数求单调区间时要对内外函数的增减关系加以注意，即“同增异减”，本题先求出定义域为，而内函数u=3x2+2x+1=3（x）2+，从而得内函数单调减区间为，+）解答：解：由已知：3x2+2x+10，所以3x22x10，得：所以函数的定义域为设u=3x2+2x+1=3（x）2+，则因为是增函数，所以由u=3x2+2x+1=3（x）2+的单调减区间为，+）又因为函数的定义域为，所以函数的单调减区间为故应选：D点评：本题考查了函数的定义域及其求法，二次不等式解集的求法，复合函数单调性的判断，单调区间的求法.3函数y=|x3|的单调递减区间为
3、（C）A（，+）B3，+）C（，3D0，+）考点：函数的单调性及单调区间。专题：数形结合。分析：由图象来求函数的单调区间，图象上升为增区间，图象下降为减区间要画函数y=|x3|的图象，先画函数y=x的图象，把y=x的图象在x轴下方的图象翻折到x轴上方，就得到函数y=|x|的图象，再把y=|x|的图象向右平移3个单位长度，就得到函数y=|x3|解答：解：函数y=|x3|的如右图，从图象可判断单调减区间为（，3，故选C点评：本题考查了函数单调区间的求法，其中运用图象来求，是比较直观的方法，应当掌握函数图象的做法4函数的单调增区间是（）A（，1）B（1，+）C（，1）（1，+）D（，1）和（1，+）
4、考点：函数的单调性及单调区间。专题：计算题；数形结合。分析：用分离常数法将函数转化为反比例型函数，再作图求解解答：解：作出图象可得其增区间是（，1）（1，+）故选D点评：本题主要考查把分式函数转化为反比例型函数，利用其图象解题5函数的递增区间为（D）ABCD考点：函数的单调性及单调区间。专题：计算题。分析：先求出函数的定义域，然后令t=x2+3x2，将函数转化为y=，再根据复合函数的同增异减性可求出其递增区间解答：解：x2+3x201x2令t=x2+3x2，则y=单调递增t=x2+3x2的单调增区间是（，）根据复合函数的同增异减性可确定原函数的单调增区间为：（1，）故选D点评：本题主要考查复合
5、函数的单调性、函数的定义域问题考查对基础知识的理解和运用6下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（C）Af（x）=3xBf（x）=x23xCf（x）=Df（x）=|x|考点：函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：由题意知A和D在（0，+）上为减函数；D在（0，+）上先减后增；c在（0，+）上为增函数解答：解：f（x）=3x在（0，+）上为减函数，A不正确；f（x）=x23x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+）上先减后增，B不正确；f（x）=在（0，+）上y随x的增大而增大，所它为增函数，C正确；f（x）=|x|在（0，+）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，D不正确故
6、选C点评：本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答7下列结论正确的是（D）A函数y=kx（k为常数，k0）在R上是增函数B函数y=x2在R上是增函数C在定义域内为减函数D在（，0）为减函数考点：函数单调性的判断与证明。专题：证明题。分析：本题中四个选项中的函数分别为一次函数、二次函数、反比例函数，利用相关函数的性质逐一判断其单调性，以判断正确选项即可解答：解：对于选项A，y=kx（k为常数，k0）在R上是减函数，故A不对对于选项B，函数y=x2在R上是先减后增的函数，故B不对对于选项C，是一个反比例函数，在区间（，0）为减函数，在（0，+）为减函数，在R上没有单调性，故C不对对于选项D
7、，在（，0）为减函数是正确的故选D点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，分别考查了一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，对于基础函数的单调性应好好掌握其图象形状及图象所表现出来的函数的性质8下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）Ay=x+1By=Cy=x24x+5Dy=考点：函数单调性的判断与证明。专题：常规题型。分析：本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性问题即可获得解答解答：解：由题意可知：对A：y=x+1，为一次函数，易知在区间（0，2）上
8、为减函数；对B：y=，为幂函数，易知在区间（0，2）上为增函数；对C：y=x24x+5，为二次函数，开口向上，对称轴为x=2，所以在区间（0，2）上为减函数；对D：y=，为反比例函数，易知在（，0）和（0，+）为单调减函数，所以函数在（0，2）上为减函数；综上可知：y=在区间（0，2）上为增函数；故选B点评：本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力值得同学们体会反思9下列函数中，在区间（0，+）上是减函数的是（）ABy=xCy=x2Dy=1x考点：函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：利用函数的导
9、数逐个判断可以得到答案解答：解：的导数0，在区间（0，+）上是增函数，故A不正确；y=x的导数y=10，在区间（0，+）上是增函数，故B不正确；y=x2导数y=2x，当x0时，y0，故y=x2在区间（0，+）上是增函数，故C不正确；y=1x导数y=10，y=1x在区间（0，+）上是减函数；故选D点评：本题考查基本初等函数的单调性，重点考查函数的图象与性质，解决的方法是导数法，也可以用函数的图象判断10已知函数f（x）=ax2+（a3a）x+1在（，1上递增，则a的取值范围是（D）AaBCD考点：函数单调性的性质。专题：计算题。分析：函数f（x）=ax2+（a3a）x+1在（，1上递增，由二次函
10、数的图象知此函数一定开口向下，且对称轴在区间的右侧，由此问题解决方法自明解答：解：由题意，本题可以转化为解得当a=0时，函数f（x）=1不符合题意综上知，a的取值范围是故选D点评：本题考点是函数单调性的性质，考查二次函数的性质与图象，本题由二次函数的图象转化为关于参数的不等式即可，由于二次项的系数带着字母，所以一般要对二次系数为0进行讨论，以确定一次函数时是否满足题意，此项漏掉讨论是此类题失分的一个重点，做题时要注意问题解析的完整性，考虑到每一种情况11函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4）上是增函数，则a的范围是（A）Aa5Ba3Ca3Da5考点：函数单调性的性质。专题：计算题。分析
11、：先将函数f（x）=x2+2（a1）x+2转化为：y=（xa+1）22a+3+a2明确其对称轴，再由函数在（，4）上单调递增，则对称轴在区间的右侧求解解答：解：函数f（x）=x2+2（a1）x+2其对称轴为：x=a1又函数在（，4）上单调递增a14即a5故选A点评：本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴12已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（）A3a0B3a2Ca2Da0考点：函数单调性的性质；二次函数的性质。专题：计算题。分析：由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=x2ax5，h（x）=，则可知函数g（
12、x）在x1时单调递增，函数h（x）在（1，+）单调递增，且g（1）h（1），从而可求解答：解：函数是R上的增函数设g（x）=x2ax5（x1），h（x）=（x1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=x2ax5在（，1单调递增，函数h（x）=在（1，+）单调递增，且g（1）h（1）解可得，3a2故选B点评：本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用中，不要漏掉g（1）h（1）13函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a在（，4）上为减函数，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da=3考点：函数单调性的性质。专题：计算题。分析：由已知中函数f（x
13、）=x2+（3a+1）x+2a在（，4）上为减函数，判断出函数图象的形状，进而根据函数在（，4）上为减函数，结合二次函数的性质，可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a的图象是开口方向朝上以直线x=为对称轴的抛物线由二次函数的性质可得若函数f（x）=x2+（3a+1）x+2a在（，4）上为减函数，则4解得：a3故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键14设f（x）在（，+）上是减函数，且a+b0，则下列各式成立的是（C）Af（a）+f（b）0Bf（a）+f（b）0Cf（a）+f（b
14、）f（a）+f（b）Df（a）+f（b）f（a）+f（b）考点：函数单调性的性质。专题：转化思想。分析：观察四个选项，根据题设条件a+b0得到ab，ba，再由f（x）在（，+）上是减函数得到相应的大小关系，比对四个选项得出正确选项解答：解：由题意a+b0得到ab，ba，f（x）在（，+）上是减函数f（a）f（b），f（b）f（a）f（a）+f（b）f（a）+f（b）比较四个选项发现，就选C故选C点评：本题考查函数的单调性的性质，求解的关键是根据题设中的条件得出不等式，其中对a+b0的变形很重要，本题考查变形的能力及性质的运用能力二填空题15函数y=（x3）|x|的递增区间是0，考点：函数的单调
15、性及单调区间。专题：数形结合法。分析：去掉绝对值，转化为分段函数，再作出其图形，由数形结合求解解答：解：y=（x3）|x|=作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，故答案为：0，点评：本题主要考查绝对值函数与分段函数的转化及数形结合的应用16函数y=x|x2|的单调递增区间是（，1），（2，+）考点：函数的单调性及单调区间。专题：计算题。分析：先分类讨论去掉绝对值，再结合二次函数的图象求出函数y=x|x2|的单调递增区间即可解答：解：y=x|x2|=再结合二次函数图象可知函数y=x|x2|的单调递增区间是（，1），（2，+）故答案为（，1），（2，+）点评：本题主要考查了函数的单调性及单调区
16、间，单调性是函数的重要性质，属于基础题17函数f（x）在3，3上是减函数，且f（m1）f（2m1）0，则m的取值范围是（0，2考点：函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：先将题中条件：“f（m1）f（2m1）0”移项得：f（m1）f（2m1），再结合f（x）是定义在3，3上的减函数，脱去符号：“f”，转化为关于m的一元不等式组，最后解得实数m的取值范围，必须注意原函数的定义域范围解答：解：f（x）在3，3上是减函数由f（m1）f（2m1）0，得f（m1）f（2m1）函数f（x）在3，3上是减函数，即解得 0m2，m的取值范围是（0，2点评：本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的
17、单调性的反向应用，考查学生的转化能力，属于基础题18已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5，若y=f（x）在区间5，5上是单调函数则实数a的取值范围（，55，+）考点：函数单调性的性质。专题：计算题。分析：先求出二次函数f（x）=x2+2ax+2的单调区间；而y=f（x）在区间5，5上也单调，说明5，5是（，a或a，+）上的一部分，则列不等式解之即可解答：解：函数f（x）=x2+2ax+2的对称轴为x=a，所以（，a是f（x）的递减区间，a，+）是f（x）的递增区间又因为y=f（x）在区间5，5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5故答案为：（，55，+）点评：本题考查二次函数的单调
18、性，要注意对称轴两侧的单调性相反19已知函数f（x）是定义在（，+）上的单调递增函数，且f（2m+1）f（m3）则m的取值范围是m4考点：函数单调性的性质。专题：计算题。分析：因为函数在（，+）上的单调递增函数，根据增函数的定义可得：对于两个自变量x1、x2，f（x1）f（x2）等价于x1x2因此由f（2m+1）f（m3）可解出2m+1m3，最终得到m4解答：解：函数f（x）是定义在（，+）上的单调递增函数对于两个自变量x1、x2，f（x1）f（x2）等价于x1x2又f（2m+1）f（m3）2m+1m3m4故答案为：m4点评：本题以一个抽象函数为载体，考查了函数单调性、不等式的解法等知识点，属
19、于基础题对函数单调性定义的充分理解，是解决本题的关键所在三；解答题20已知函数f（x）=a（1）求证：函数y=f（x）在（0，+）上是增函数；（2）若f（x）2x在（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围考点：函数单调性的判断与证明。专题：证明题。分析：（1）用函数单调性定义证明，先在给定的区间任取两变量，界定其大小，然后作差变形看符号（2）将f（x）2x为a+2x在（1，+）上恒成立，只要再求得h（x）最小值即可解答：证明：（1）当x（0，+）时，f（x）=a，设0x1x2，则x1x20，x2x10f（x1）f（x2）=（a）（a）=0f（x1）f（x2），即f（x）在（0，+）上是增函数（2
20、）由题意a+2x在（1，+）上恒成立，设h（x）=2x+，则ah（x）在（1，+）上恒成立可证h（x）在（1，+）上单调递增故ah（1），即a3，a的取值范围为（，3点评：本题主要考查函数单调性的证明以及用单调性求最值问题21已知函数f（x）对任意的a、bR都有f（a+b）=f（a）+f（b）1，且当x0时，f（x）1（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2m2）3考点：函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用。专题：计算题；证明题。分析：（1）先任取x1x2，x2x10由当x0时，f（x）1得到f（x2x1）1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f
21、（b）1变形得到结论（2）由f（4）=f（2）+f（2）1求得f（2）=3，再将f（3m2m2）3转化为f（3m2m2）f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解解答：解：（1）证明：任取x1x2，x2x10f（x2x1）1f（x2）=fx1+（x2x1）=f（x1）+f（x2x1）1f（x1），f（x）是R上的增函数（2）f（4）=f（2）+f（2）1=5，f（2）=3f（3m2m2）3=f（2）又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，3m2m22，3m2m40，1m点评：本题主要考查抽象函数的单调性证明和单调性定义解抽象不等式22已知函数f（x）=x|x2|（）写出f（x）的单调区间；
22、（）解不等式f（x）3；（）设0a2，求f（x）在0，a上的最大值考点：函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法。专题：计算题。分析：（1）取绝对值，化简函数解析式，联系图象写单调区间（1）分类讨论，去绝对值，转化解为不等式组（3）分类讨论，分当0a1 时，当1a2 时两种情况，利用函数的单调性，求函数在闭区间上的最值解答：解：（1）函数f（x）=x|x2|=f（x）的单调增区间是（，1和2，+）；单调减区间是1，2（2）f（x）3，即 x|x2|3，或，2x3 或 x2不等式f（x）3的解集为x|2x3 或 x2 （3）当0a1 时，f（x）是0，a上的增函数，此时
23、f（x）在0，a上的上的最大值是 f（a）=a（2a）当1a2 时，f（x）在0，1上是增函数，在1，a上是减函数，此时，此时f（x）在0，a上的上的最大值是 f（1）=1综上，当0a1 时，此时f（x）在0，a上的上的最大值是 f（a）=a（2a）当1a2 时，f（x）在0，a上的上的最大值是1点评：本题考查分类讨论的数学思想，和利用单调性求函数最值的方法23设f（x）定义在R+上，对于任意a、bR+，有f（ab）=f（a）+f（b）求证：（1）f（1）=0；（2）f（）=f（x）；（3）若x（1，+）时，f（x）0，则f（x）在（1，+）上是减函数考点：函数的单调性及单调区间。专题：证明题
24、。分析：（1）由题意令a=b=1代入f（ab）=f（a）+f（b），解得（1）=0；（2）由题意令a=xR+，b=代入f（ab）=f（a）+f（b），再利用（1）的结论，即证出等式成立；（3）利用定义法证明函数单调性，即取值作差变形判断符号下结论，再利用（2）的结论和题意进行变形以及判断符号解答：证明：（1）由题意知，任意a、bR+，有f（ab）=f（a）+f（b），令a=b=1代入上式得，f（1）=f（1）+f（1），f（1）=2f（1），f（1）=0（2）令a=xR+，b=代入f（ab）=f（a）+f（b），得f（1）=f（x）+f（），f（1）=0，f（x）=f（）（3）设x1x21，由
25、（2）得f（x2）=f（），f（x1）f（x2）=f（x1）+f（）=f（），x1x21，1，又x（1，+）时，f（x）0，f（）0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在（1，+）上是减函数点评：本题考查了抽象函数的单调性，反复利用恒等式f（ab）=f（a）+f（b），即根据需要给a和b适当的值，并且前两问是第三问的基础，这需要特别注意的地方，考查逻辑推理能力24判断函数f（x）=x3+1在（，+）上的单调性；考点：函数单调性的判断与证明。专题：证明题。分析：用定义法证明单调性，先设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，再对两个函数值作差，判断f（x1）f（x2）的符号
26、，做题时，对差进行合理的形式变换有利于函数值的符号的判断解答：解：设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2则f（x1）f（x2）=x13+1（x23+1）=x23x13=（x2x1）（x22+x1x2+x12）=（x2x1）（x22+）2+）x1，x2是R上任意两个值，且x1x2（x2x1）0，（x22+）2+frac34x_12）0f（x1）f（x2）y=f（x）是R上的减函数点评：本题考查字数的单调性的证明，本题用的定义法证明，作题时要注意做题步骤一取，二作差整理，三判号，四得出结论，本题为了判断符号的方便对差式进行变形的技巧很重要25已知函数（1）求f（f（2）的值；（2）判断函数在（1
27、，+）上单调性，并用定义加以证明考点：函数单调性的判断与证明；函数的值。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据函数，先用代入法求出f（2），代入可得f（f（2）的值；（2）任取区间（1，+）上两个实数x1，x2，且x1x2，判断f（x1）f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义可得答案解答：解：（1）函数f（2）=f（f（2）=f（）=（2）函数在（1，+）上单调递增，理由如下：任取区间（1，+）上两个实数x1，x2，且x1x2，则x1x20，x1+1，x2+10则f（x1）f（x2）=0即f（x1）f（x2）故函数在（1，+）上为增函数点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的
28、值，（1）中要注意嵌套求值要从内到外去括号，（2）中要注意证明函数单调性的方法和步骤26用函数单调性定义证明，函数f（x）=x3+在1，+）上是增函数考点：函数单调性的判断与证明。专题：计算题。分析：利用原始的定义进行证明，在1，+）上任取x1，x2且x1x2，只要证f（x2）f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f（x）=x3+进行证明解答：证明：在1，+）上任取x1，x2且x1x2则f（x2）f（x1）=x23x13+=（x2x1）（x12+x1x2+x22）+x1x2，x2x10当x1x20时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2x1x20；当x1x20时，有x12+x1x2+x220；f（x2）f（x1=（x2x1）（x12+x1x2+x22）+0即f（x2）f（x1）所以，函数f（x）=x3+在1，+）上是减函数点评：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题
