1、高二下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）1设=（ ）（A）（B）（C）（D）2下列等于1的积分是（ ）A B C D3.用数学归纳法证明：1+时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）A. B. C. D.4. 若，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）5. 函数在点处的导数是 （ ） (A) (B) (C) ( D) 6. 已知随机变量服从正态分布,则( )(A) (B) (C) (D) 7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）的停放方法共有（A） 种 （B）种 （C）种
2、 （D）种8. 若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （ D）9. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象可能是（ ）10. 设是定义在R上的奇函数，,当时，有恒成立，则不等式的解集是（ ） （A）（，）（，） （B） （，）（，） （C）（，）（，） （D） （，）（，）11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）A16种B18种C24种D32种12. 设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（） 二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
3、13. 若，其中、，是虚数单位，则_。 14. 函数的单调增区间为_。15. 定积分的值等于_。16. 若内一点满足，则。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体内一点满足， 则 .三、解答题：（本题共6个小题，共74分）17. （本题共12分）一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.18（本题共12分）已知展开式中的系数为11，求：（1）的系数的最小值；（2）当系数取最小值时，求展开式中的奇数次幂项的系数之和。19（本题
4、共12分）某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:输入1时，输出结果是；输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.（1） 求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中）的表达式，并给出证明.20. （本题共12分）已知函数。（）求曲线在点处的切线方程；（）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：。21.（本题共12分）据统计某种汽车的最高车速为120千米时，在匀速行驶时每小时的耗油量（升）与行驶速度（千米时）之间有如下函数关系：。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（I
5、I）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22. （本题共14分）已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明参考答案(理)一、选择题：CCAAD ACBAD CB 二、填空题：13. 14. 15 % ) 16. 三解答题17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中， ，,所以X的概率分布为X1234P6分 (2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中，,.所以X的概率分布为X 1234P12分18解：（1），所以2分4分当时有最小值；5分（2）由（1），所以从而
6、，8分，10分所以，即奇数次幂项的系数之和为12分19.解：由题设条件知f(1)= ,=,;. 3分(2)猜想：（其中）5分以下用数学归纳法证明：（1） 当时，所以此时猜想成立。 6分（2） 假设时，成立 那么时，9分所以时，猜想成立。 由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。12分20解：（1）求函数的导数：。曲线在点处的切线方程为：，即。4分（2）如果有一条切线过点，则存在t，使。于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根。记，则。当变化时，的变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时
7、，解方程得，即方程只有两个相异的实数根。综上，如果过可作曲线的三条切线，即有三个相异的实数根，则即。12分21.（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时），需蚝油（升）。 所以，汽车以40千米时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油升4分. （II）当汽车的行驶速度为千米时时，从甲地到乙地需行驶小时.设耗油量为升，依题意，得 其中，. 7分 .令 ，得 .因为当时，是减函数；当时，是增函数，所以当时，取得最小值.所以当汽车以千米时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升。 12分 22.解：（1）因为，所以1分因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以2分（2）解：由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立3分令，则，4分令，则，所以函数在上单调递增5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，6分所以函数在上单调递减，在上单调递增所以7分所以故整数的最大值是38分（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，9分所以当时，10分即整理，得11分因为， 所以12分即即13分所以14分证明2：构造函数，9分则10分因为，所以所以函数在上单调递增11分因为， 所以所以12分即即即13分所以14分
