1、函数及其极限函数及其极限一、函数概念一、函数概念1、变量：在某一过程中，数值不断变化的量，称为变量。、变量：在某一过程中，数值不断变化的量，称为变量。变量的变化范围称为变域变量的变化范围称为变域D，变域常常由区间组成。，变域常常由区间组成。值值的的全全体体表表示示满满足足不不等等式式：如如：xbxabax,值值的的全全体体表表示示满满足足不不等等式式：xbxabax),(例例1：从高度为：从高度为20米的楼顶落下的物体，在下落的过程中，其米的楼顶落下的物体，在下落的过程中，其距地面的高度距地面的高度h 即为一变量。显然：即为一变量。显然：0h20。20,0h或：或：2、函数概念、函数概念 设设
2、x,y 为同一变化过程中的两个变量，如果变量为同一变化过程中的两个变量，如果变量x 在其变域在其变域D内任意取定一个值，变量内任意取定一个值，变量y 都有唯一确定的值与之相对应，就称都有唯一确定的值与之相对应，就称y 是是x 的函数。的函数。x 称为自变量。函数称为自变量。函数 y 也称为因变量。也称为因变量。在例在例1中，物体的落下的高度中，物体的落下的高度h 显然是显然是 时间时间t 的函数，的函数，0h地面地面楼顶楼顶h)20(212tgth即：即：)(xfy 记为：记为：f 表示某种确定的关系。表示某种确定的关系。自变量自变量x 的变化范围的变化范围函数的定义域函数的定义域所有函数值所
3、有函数值y 的集合的集合函数的值域。函数的值域。)10(20,02,0ght取值域函数定义域：；数学函数的定义域，由数学函数表达式确定。数学函数的定义域，由数学函数表达式确定。物理函数的定义域，由具体的物理过程确定。物理函数的定义域，由具体的物理过程确定。2rS例如，对于函数：例如，对于函数：若是数学函数，其定义域为：若是数学函数，其定义域为：)(r若是物理函数，表示圆的面积若是物理函数，表示圆的面积S与半径与半径r 的关系。其定义域为：的关系。其定义域为：r0函数函数y 也可依赖于多个自变量：也可依赖于多个自变量：Nxxx21,称为多元函数，记为：称为多元函数，记为：),(21Nxxxfy例
4、如，两个点电荷例如，两个点电荷之间的静电力：之间的静电力：),(41212210rqqfrqqf二、函数的极限概念（不是数学上的严格定义）二、函数的极限概念（不是数学上的严格定义）函数的自变量函数的自变量x 趋近于（无限接近于）某一数值趋近于（无限接近于）某一数值x0 时，若函时，若函数数f(x)也趋于某一固定值也趋于某一固定值A。则称。则称A 为为x 趋于趋于x0时，函数时，函数f(x)的极限。记为：的极限。记为：0)(limxxAxf例：例：都是常数）都是常数）cbacbxaxxf,()(2cbaxfcxfxx24)(lim)(lim20)3(39)(2xxxxf6)3(lim3)3)(3
5、(lim)(lim333xxxxxfxxx从上例知，从上例知，f(x)在在 x=3 时没有意义，但时没有意义，但x3时，时，f(x)的极限可以存在。的极限可以存在。三、自变量的增量和函数的增量三、自变量的增量和函数的增量 的增量。的增量。称为函数称为函数)()()(0 xfyxfxfy在函数在函数y=f(x)的定义域中，设自变量的定义域中，设自变量x 由由x0 变到变到x，相应，相应的函数值由的函数值由f(x0)变为变为f(x)。则：。则：可正，可负。可正，可负。的增量。的增量。称为自变量称为自变量xxxxx0。有：有：由：由：xxxxxx00)()()()(000 xfxxfxfxfy则：则
6、：xbxaxaxcbxaxcxxbxxaxfxxfy2002002000)(2)()()()(则：则：cbxaxxf2)(例：例：四、函数的导数（变化率）四、函数的导数（变化率）1）、问题的引入：求函数）、问题的引入：求函数曲线在曲线在A点的切线点的切线A斜率：斜率：xyoA0 x?tan即，求：即，求：先考虑在曲线上另取一先考虑在曲线上另取一B点，作割线点，作割线AB。求求割线割线AB的斜率。的斜率。?tan即，求：即，求：由图，得割线由图，得割线AB的斜率：的斜率：xxfxxfxy)()(tan00能否以该斜率代替切线能否以该斜率代替切线的斜的斜率，即以割线率，即以割线AB代替切线代替切线
7、A？xyoA0 x以割线代替切线肯定会有误差，误差的大小和以割线代替切线肯定会有误差，误差的大小和x的大小有关。的大小有关。显然，当显然，当x0时，时，B点无限接近点无限接近A点，即割线点，即割线AB无限接近切线无限接近切线A。xyoA0 x由此，得计算切线由此，得计算切线A斜率的方法：斜率的方法：xxfxxfxyxx)()(limlimtan0000上述极限记为：上述极限记为：xxfxxfxydxdyxx)()(limlim0000可见，数学上提出了这样一种计算要求：可见，数学上提出了这样一种计算要求：计算计算函数增量函数增量y与自变量增量与自变量增量x之比之比（商），在（商），在x趋于零时
8、的极限。趋于零时的极限。物理学上，也有类似的计算要求（举例）。物理学上，也有类似的计算要求（举例）。2）导数的定义：）导数的定义：综上讨论，得出函数导数的定义，如下：综上讨论，得出函数导数的定义，如下：设函数设函数y=f(x)在在x=x0处，自变量增加处，自变量增加x，即由，即由x0 变为变为x0+x；相应的函数增量：相应的函数增量：y=f(x0+x)-f(x0)与自变量增量与自变量增量x之比，之比，在在x0时的极限，称为函数时的极限，称为函数f(x)在在x0的导数。的导数。（导数定义式）（导数定义式）即：即：xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxydxdyxxx)(
9、)(limlim00000：记为记为)()()(limlim)(0/00000/xyxxfxxfxyxfxx：或或处得导数。处得导数。在在例求：例求：02)(xxcbxaxxf解：解：x由由x0 x0+x时，时，xbxaxaxxfxxfy2000)(2)()(xxbxaxaxxyxfxx20000/)(2limlim)(得：得：baxbxaaxx0002)2(lim从上例可归纳出求函数导数的一般步骤：从上例可归纳出求函数导数的一般步骤：1）计算自变量增加）计算自变量增加x时，函数的增量时，函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)。3）计算增量比值的极限。）计算增量比值的极限。2）计算增量的比值
10、（商）计算增量的比值（商）:xyxyx0lim该极限值即称为函数该极限值即称为函数f(x)在在x0的导数。的导数。在求导数时，在求导数时，x0 可在函数的定义域内任意取值。因此，导数也可在函数的定义域内任意取值。因此，导数也是自变量是自变量x 的函数，称为导函数。记为：的函数，称为导函数。记为：dxdyxf);(/在大学物理学中，一些物理量之间的关系就是导数关系。在大学物理学中，一些物理量之间的关系就是导数关系。3）导数的几何意义：）导数的几何意义：线的斜率。线的斜率。的切的切在点在点等于函数曲线等于函数曲线，处的导数处的导数在点在点函数函数00/0)()()(xxfyxfxxfyxyoA0
11、x从导数的几何意义知：从导数的几何意义知：导数反导数反映了函数的变化快慢。映了函数的变化快慢。4）基本求导公式：）基本求导公式：0.1/ycy的任意实数）的任意实数）1(.21/xyxyxyxyeyeyxx1ln.4.3/xyxyxyxysincos.6cossin.5/5）函数的和、差、积、商的导数：）函数的和、差、积、商的导数：)()()()(.1/xvxuxvxu)()()()()()(.2/xvxuxvxuxvxu)()()(C/xCuxuCxu推论：推论：)()()()()()()(.32/xvxvxuxuxvxvxuxexxxxfcos3)(23例：例：xexxxxfsin63)(
12、2/11)(xxxf222/)1(2)1()1()1()1()1()1()1)(1()(xxxxxxxxxxf6）复合函数的导数：）复合函数的导数：的复合函数。的复合函数。是是则则，而，而设函数设函数xyxuufy);()()(xfy记为：记为：/xuxuyydxdududydxdyxy或或：的的导导数数：对对则则为大于零的常数）。为大于零的常数）。例如：例如：,(sinAtAy 的复合函数。的复合函数。和和是是txxAysintAxAxyytxtcoscos/的复合函数。和是如：4)4(2222xuuyxy的复合函数。的复合函数。和和是是又如：又如：4)4(2222xuuyxy)4(4422
13、2/xxuxxuuyyxux7）矢量函数的导数：）矢量函数的导数：是单位矢量）是单位矢量）设有矢量函数：设有矢量函数：00()()(tAtAdtdtAdttdAdttAd00)()()(则有：则有：ktAjtAitAtAzyx)()()()(若：若：，即常矢量。，即常矢量。是方向不变的单位矢量是方向不变的单位矢量而：而：kji,kdttdAjdttdAidttdAdttAdzyx)()()()(五、高阶导数五、高阶导数的导函数（导数）。的导函数（导数）。称为称为的函数。的函数。也是自变量也是自变量的导数的导数一般而言，函数一般而言，函数)()()(/xfxxfxfy 的函数的函数也是也是如：如
14、：xexxfexxfxx3/412)(3)(的二阶导数。的二阶导数。读为。读为或：或：记为：记为：)()(;)(22/xfdxxfdxf对导函数继续求导数，所得结果就是原来函数的二阶导数。对导函数继续求导数，所得结果就是原来函数的二阶导数。xexxf2/36)(如上例中：如上例中：类似可定义三阶导数、四阶导数类似可定义三阶导数、四阶导数n阶导数。二阶以上导阶导数。二阶以上导数统称为高阶导数。数统称为高阶导数。大学物理学中，一般只用到二阶导数。大学物理学中，一般只用到二阶导数。六、利用导数求极值和极值六、利用导数求极值和极值设右图为函数设右图为函数f(x)在在oxy坐标坐标上的曲线。上的曲线。曲
15、线上，曲线上，A、B点的函数值要点的函数值要比它邻近点的函数值要大，比它邻近点的函数值要大，点点A、B称为称为f(x)的极大值点，函数值的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。称为极大值。而而C点的函数值要比它邻近点的函数值要小，称为点的函数值要比它邻近点的函数值要小，称为f(x)的极小值的极小值点。点。f(xC)称为极小值。称为极小值。极大值点和极小值点统称为极值点，相应的函数值称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点，相应的函数值称为极值。从图可知，函数曲线在极值点的切线与从图可知，函数曲线在极值点的切线与x轴平行，即，极值点轴平行，即，极值点处，函数曲线切线的斜率为零。亦即处
16、，函数曲线切线的斜率为零。亦即函数在极值点的一阶导函数在极值点的一阶导数等于零。数等于零。所以，要求函数的极值点，只所以，要求函数的极值点，只需求函数的一阶导数，令其为需求函数的一阶导数，令其为零即可。零即可。yxoxysinxysin例如：例如：0cos/xy令：令：).2,1,0()21(nnx得极值点：得极值点：极大值：极大值：+1；极小值：；极小值：-1七、函数的不定积分七、函数的不定积分1、原函数概念：对于函数、原函数概念：对于函数f(x)，若有函数，若有函数F(x)存在，使得在存在，使得在x的定义域上的任一点的定义域上的任一点x。都有：。都有：的原函数。的原函数。为为。则称。则称)
17、()()()(/xfxFxfxFxxFxxfsin)(;cos)(其原函数：其原函数：例如：例如：xxxxFxxxf65.2)(;653)(232其原函数：其原函数：因常数因常数C的导数等于零。所以，若的导数等于零。所以，若F(x)是是f(x)的原函数，则的原函数，则F(x)+C也是也是f(x)的原函数（的原函数（C是任意常数）。是任意常数）。的原函数族。的原函数族。称为称为)()(xfCxFCxxFxxfsin)(;cos)(原函数族：原函数族：如：如：原函数包含无穷多个函数，这些函数彼此间相差一个常数。原函数包含无穷多个函数，这些函数彼此间相差一个常数。2、不定积分、不定积分函数函数f(x
18、)的所有原函数的全体集合称为的所有原函数的全体集合称为f(x)的不定积分。记为：的不定积分。记为：CxFdxxf)()(显然，只要找出显然，只要找出f(x)的任一一个原函数的任一一个原函数F(x)，也就求出了，也就求出了f(x)的所有原函数的整体：的所有原函数的整体：F(x)+C从不定积分的定义知，求不定积分和求导数是互为逆运算的。从不定积分的定义知，求不定积分和求导数是互为逆运算的。直接从求导数公式，可得出求不定积分公式。直接从求导数公式，可得出求不定积分公式。CdxC00.1/Cxdxxxx1/111)1().(2Cedxeeexxxx/)(.33、不定积分的性质、不定积分的性质dxxdx
19、xdxxfdxxxxf)()()()()()(.1)()()(.2为常数为常数AdxxfAdxxAf八、定积分八、定积分1、定积分的引入：计算曲边梯形面积。、定积分的引入：计算曲边梯形面积。oa0 xbx1y2yy考虑由函数：考虑由函数：y)(01xxay)(02bxxy所包围的面积。所包围的面积。轴轴和和bxaxx,)()(0201xbyaxyS显然，有：显然，有：oabxy)(xf再考虑由函数：再考虑由函数：所包围的面积。所包围的面积。轴轴和和bxaxxxfy,)(该如何计算这一面积？该如何计算这一面积？这时，可将整个曲边梯形分成许多这时，可将整个曲边梯形分成许多与与y 轴平行的小窄长条。
20、每一个小窄轴平行的小窄长条。每一个小窄长条都可近似看做长方形（右图）。长条都可近似看做长方形（右图）。任取一个小长窄条，如第任取一个小长窄条，如第i 个。个。其面积近似为：其面积近似为：iiiiiixxfxxyS)()(1oabxy)(xf1ixixiy整个曲边梯形面积近似等于所有这样的小长条面积之和，即：整个曲边梯形面积近似等于所有这样的小长条面积之和，即：niiiniinxxfSSSSS1121)(近似程度显然和每个小长条的宽度近似程度显然和每个小长条的宽度xi 有关。有关。程程度度越越高高。越越小小，误误差差越越小小，近近似似各各ix),(0nxi相应有相应有当所有的当所有的)()()(
21、lim110iiibaniiixxxxdxxfxxfi：上式记为oabxy)(xf1ixixiy),(0nxi相应有相应有当所有的当所有的niiixxxfSi10)(lim此式即得出曲边梯形的面积。此式即得出曲边梯形的面积。的的积积分分。到到从从称称为为函函数数baxfdxxfba)()(2、定积分的计算（牛顿、定积分的计算（牛顿莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）)()()()(aFbFxFdxxfbaba。的的任任一一原原函函数数只只需需求求出出即即计计算算：)()(;)(xFxfdxxfba然后，将定积分的上、下限代入原函数中，求出其差值即可。然后，将定积分的上、下限代入原函数中，求出其差值即可
22、。?)43312dxx（计算：计算：xxx44332 的一个原函数为：的一个原函数为：34)141()343(4)4333313312xxdxx（3、定积分的性质、定积分的性质bccabadxxfdxxfdxxf)()()()1oabxy)(xfcabbadxxfdxxf)()()2)()()()3baabfdxxfbaoabxy)(xf意义：曲边梯形的面积等于虚意义：曲边梯形的面积等于虚线矩形的面积线矩形的面积中值定理。中值定理。4、矢量函数的定积分计算、矢量函数的定积分计算badttA)(矢量函数的定积分：矢量函数的定积分：只能先把矢量函数沿直角坐标轴分解，然后对其坐标分量式作只能先把矢量函数沿直角坐标轴分解，然后对其坐标分量式作积分计算。积分计算。babazbayxdtktAdtjtAdtitA)()()(kdttAjdttAidttAbabazbayx)()()(该积分无法直接计算。该积分无法直接计算。bazyxbadtktAjtAitAdttA)()()()(即把一个矢量函数化为三个标量函数再作积分计算。即把一个矢量函数化为三个标量函数再作积分计算。
