1、第二课时探索多边形的外角和前提测评：前提测评：2.从一个顶点出发，连结和它不相邻的顶点，可把四从一个顶点出发，连结和它不相邻的顶点，可把四边形分成（边形分成（）个三角形，）个三角形，把五边形分成（把五边形分成（）个三角形，）个三角形，把六边形分成（把六边形分成（）个三角形）个三角形把把n边形分成（边形分成（）个三角形个三角形.3.三角形的内角和等于（三角形的内角和等于（）度，四、五、六、七边）度，四、五、六、七边形的内角和分别等于（形的内角和分别等于（）度。）度。多边形的内角和等于（多边形的内角和等于（）度。）度。4.请再看一题请再看一题 1.口答并记忆口答并记忆：1平角等于（平角等于（）1周
2、角等于（周角等于（）180 234n-2(n2)180360 360 360、540、720、900从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，叫做多边形的什么呢？这个和能否求出来呢？叫做多边形的什么呢？这个和能否求出来呢？情趣引入情趣引入学习目标学习目标1.1.了解多边形了解多边形外角外角及外角和的定义及外角和的定义并并能准确找出多边形的外角能准确找出多边形的外角。2.2.探索探索利用内角和与外角和公式解决实
3、际利用内角和与外角和公式解决实际问题问题.顶点顶点内角内角边边对角线对角线内角和：多边形所有内角的和内角和：多边形所有内角的和概念了解概念了解外角外角多边形内角的多边形内角的一边一边与与 所组成的角叫做这个多边形的所组成的角叫做这个多边形的外角外角。外角和：外角和：在每个顶点处取这个在每个顶点处取这个多边形的多边形的一个外角一个外角，它们的和它们的和叫做这个多边形的外角和。叫做这个多边形的外角和。另一边的反向延长线另一边的反向延长线ABCDEF初试牛刀初试牛刀1.1.多边形内角的一边与多边形内角的一边与所组成的角叫做这个多边形的所组成的角叫做这个多边形的外角外角。2.2.多边形的每个顶点处有（
4、多边形的每个顶点处有（）个外角，）个外角，这两个外角互为（这两个外角互为（），所以（），所以（）。）。外角和是在每个顶点处取这个多边形的（外角和是在每个顶点处取这个多边形的（）个外角。个外角。ACPEFB423158679101112GHMNQD3.3.下列哪些角是多边形的外角？下列哪些角是多边形的外角？初初试试牛牛刀刀三角形的外角和三角形的外角和整体思路：整体思路：1.先求先求3个外角个外角+3个个内角的和；内角的和；2.再减去再减去3个内角的和个内角的和容易看出，容易看出，3个外角个外角+3个个内角内角=3个平角个平角而而3个个内角的和是内角的和是180 ，那么那么四边形的外角和四边形的外
5、角和就是就是3X 180-180=360总结规律总结规律 -推理法推理法ABCDEF四边形的外角和四边形的外角和整体思路：整体思路：1.先求先求4个外角个外角+4个个内角的和；内角的和；2.再减去再减去4个内角的和个内角的和容易看出，容易看出，4个外角个外角+4个个内角内角=4个平角个平角而而4个个内角的和是内角的和是360 ，那么那么四边形的外角和四边形的外角和就是就是4X 180-360=360总结规律总结规律 -推理法推理法五边形的外角和五边形的外角和整体思路：整体思路：1.先求先求5个外角个外角+5个个内角的和；内角的和；2.再减去再减去5个内角的和个内角的和容易看出，容易看出，5个外
6、角个外角+5个个内角内角=5个平角个平角而而5个个内角的和是内角的和是540 ，那么那么四边形的外角和四边形的外角和就是就是5X 180-540=360总结规律总结规律 -推理法推理法5边形外角和边形外角和 结论：五边形的外角和等于结论：五边形的外角和等于360-(5-2)180=360=5个平角个平角-5边形内角和边形内角和=5180E BCD1 2 3 4 5 A 6总结规律总结规律 -推理法推理法整体思路：整体思路：1.先求先求5个外角个外角+5个个内角的和；内角的和；2.再减去再减去5个内角的和个内角的和六边形，六边形，n边形的外角和吗？边形的外角和吗？六边形的外角和六边形的外角和就是
7、就是6X 180-720=360n边形的外角和边形的外角和就是就是nX 180-(n-2)X 180=(n-n+2)X 180=360 总结规律总结规律探究探究在在n边形的每个顶点处各取一个外角，边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做这些外角的和叫做n边形的外角和边形的外角和n边形外角和边形外角和=结论：结论：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360-(n-2)180=360 A1E BCD 2 3 4 5F nn n个平角个平角-n-n边形内角和边形内角和=n180 总结规律总结规律任意多边形的外角和为任意多边形的外角和为 。360 360 360 360(n-2)1807
8、20 540 360 n1806180=1080 5180=900 4180=720 360外角和外角和180内角和内角和3180=540 内外角内外角总和总和n6543边数边数请你完成下面的这个表格：请你完成下面的这个表格：360 360 总结规律总结规律与边数无关！与边数无关！例例1一个多边形的内角和等于它一个多边形的内角和等于它 的外角和的的外角和的3倍，它是几边形倍，它是几边形？解：设这个多边形是解：设这个多边形是n n边形，则它的内角和是边形，则它的内角和是 (n n2)2)180180,外角和等于外角和等于360360，所以：所以：(n n2)2)180=3180=3360360
9、解得：解得：n n=8=8 答答:这个多边形是八边形这个多边形是八边形.例题赏析例题赏析:中考链接：中考链接：如图如图,小亮从小亮从A A点出发点出发,沿直线前进沿直线前进1010米后米后向左转向左转30 30,再沿直线前进再沿直线前进1010米米,有向左转有向左转30 30，照这样走下去，他第一次回到出，照这样走下去，他第一次回到出发地发地A A点时，一共走了点时，一共走了_米米 。30A3030120小试牛刀，相信你能行小试牛刀，相信你能行!1440036006再接再励，祝你成功再接再励，祝你成功!AC1 1、如果一个多边形的每一个外角等于、如果一个多边形的每一个外角等于3030,则这个多
10、边形的边数是则这个多边形的边数是_。12n30=360n=12n边形外角和边形外角和=360 2 2、正五边形的每一个外角等于、正五边形的每一个外角等于_，每一，每一个内角等于个内角等于_。5X=360X=7272144解：设正五边形的每一个外角度数为解：设正五边形的每一个外角度数为x，由，由多边形的外角和等于多边形的外角和等于360度可得：度可得：所以每一个内角度数为所以每一个内角度数为108 知识盘点：知识盘点：本节课主要学习了本节课主要学习了n n边形的边形的外外角和角和公式的公式的探索与应用。运用转化思想构筑三角形是探探索与应用。运用转化思想构筑三角形是探索公式的关键。索公式的关键。1
11、.九个主要概念九个主要概念一种重要数学思想：一种重要数学思想：多边形问题应转化为多边形问题应转化为三角形三角形来解决来解决。n华罗庚：学数学而不练，犹如入宝山而空返。华罗庚：学数学而不练，犹如入宝山而空返。n教材第教材第24页页 习题习题11.3 复习巩固复习巩固拓广练习：拓广练习：1、在多边形的所有外角中最多有几个、在多边形的所有外角中最多有几个钝角？在多边形的所有内角中最多有几钝角？在多边形的所有内角中最多有几个锐角？个锐角？2、小军在进行多边形内角和计算时，、小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为求得的内角和为1125 ，当发现错了，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内之后
12、，重新检查，发现是少加了一个内角，求角，求:（1）这个多边形是几边形？）这个多边形是几边形？（2）这个内角是多少度？）这个内角是多少度？例例13.一个正多边形的一个内角和是外角和的一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍倍,则这个多边形为则这个多边形为()A.三角形三角形 B.四边形四边形 C.五边形五边形 D.六边形六边形例例14.一个正多边形的一个内角和与外角和的比一个正多边形的一个内角和与外角和的比是是7:2,则这个多边形的边数为则这个多边形的边数为()思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？思考二：一个四边形中，
13、它的内角最多可以有几个锐角？思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？3ABCDABCDEABCDEF 该图中该图中n边形共有边形共有n个三角形，故所有三角形内角个三角形，故所有三角形内角和为和为n180，但每个图中都有一个以红圈圈住的，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角点，它是一个圆周角360，因此，因此n边形的内角和为边形的内角和为 n180-360=(n
14、-2)180 能否用第三种分割方式来解决这个问题？能否用第三种分割方式来解决这个问题？多了什么？如何处理？多了什么？如何处理？多边形的外角和多边形的外角和 指出右边多边指出右边多边形的内角与外角。形的内角与外角。13572468 多边形的外角与它相邻的多边形的外角与它相邻的内角的关系内角的关系 。请你动手来实践一下，看看谁能最请你动手来实践一下，看看谁能最先找出来四边形的外角和？先找出来四边形的外角和？36036072075313608642720418087654321互补互补任意多边形的外角和为任意多边形的外角和为 。360 360 360 360(n-2)180720 540 360 n
15、1806180=1080 5180=900 4180=720 360外角和外角和180内角和内角和3180=540 内外角内外角总和总和n6543边数边数请你完成下面的这个表格：请你完成下面的这个表格：360 360 能力训练：能力训练：1、十边形的内角和是、十边形的内角和是()，外角和是，外角和是()。2、正八边形的内角和是、正八边形的内角和是()，每个内角的度数，每个内角的度数是是()。3、一多边形的每个内角都等于、一多边形的每个内角都等于120，则其每一个外，则其每一个外角是角是()，它是，它是()边形。边形。4、一多边形的内角和、一多边形的内角和1260 ，则其边数，则其边数()。5、
16、一个多边形的每个外角都是、一个多边形的每个外角都是30 ，则此多边形的，则此多边形的内角和是内角和是()。6、五边形的内角和与外角和的比值是、五边形的内角和与外角和的比值是()。1440 1440 360 360 1080 1080 135 135 60 60 六六九九1800 1800 3 3：2 2外角外角3、三角形外角与内角的关系、三角形外角与内角的关系（1）位置关系）位置关系（2）数量关系）数量关系相邻的内角相邻的内角不相邻的内角不相邻的内角1、什么是三角形的内角？其和等于多少？、什么是三角形的内角？其和等于多少？复习复习2、什么是三角形的外角？、什么是三角形的外角？思思考考三角形的外
17、角与它不相邻的内三角形的外角与它不相邻的内角之间有什么关系呢？角之间有什么关系呢？（1）三角形的一个外角等于与它不相邻）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和ABCDACD=A+BACD=A+B1、求下列各图中、求下列各图中1的度数的度数.小试身手小试身手21=901=851=952=852、如图所示：、如图所示：则则1_;2=_;3=_ .21551553731 12562118（2）三角形的一个外角大于任何一个与）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角它不相邻的内角ABCD（3）三角形的外角和等于）三角形的外角和等于3600 三角形的三个外角之比为三角形的三个外角
18、之比为2:3:4，则与它们相邻的内角分别为（则与它们相邻的内角分别为（）A.80 120 160 B.160 120 80 C.100 60 20 D.140 120 100 解：设三角形的三个外角分别为解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k，根据三角形的外角和等于根据三角形的外角和等于360 ，有，有2k+3k+4k=360 ，可解得可解得k=40,三个外角三个外角分别为分别为80 120 160 ，则相邻的内角分则相邻的内角分别为别为100 60 20 故选故选 CC探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和21、多边形内角的一边与_所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶
19、点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做_。快速反应快速反应 1.M1M5M4M3M2探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和22、快速反应快速反应 1.探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和23、三角形的外角和是_，四边形的外角和是_，五边形的外角和是_，n边形的外角和是_.1.M1M5M4M3M2快速反应快速反应 探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和24、有一个正多边形的外角是60，那么该正多边形是正_边形。1.快速反应快速反应 探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和25、有一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么该多边形的边数是_
20、.1.快速反应快速反应 探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和21、一个多边形的每个内角都比邻外角的3倍还多20度，求这个多边形的边数。1.探索多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和22、如果一个多边形的每一个外角都相等，并且小于45度，那么这个多边形的边数最少是多少？1.12n30=360n=12n边形外角和边形外角和=360 练习练习1练习练习2综合综合5X=360X=7272144解：设正五边形的每一个外角度数为解：设正五边形的每一个外角度数为x，由，由多边形的外角和等于多边形的外角和等于360度可得：度可得：所以每一个内角度数为所以每一个内角度数为108 练习练
21、习1练习练习2综合综合练习练习.已知一个多边形，它的内角和等于已知一个多边形，它的内角和等于外角和的外角和的2 2倍，求这个多边形的边数。倍，求这个多边形的边数。解：解：设多边形的边数为设多边形的边数为n n 它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)(n-2)180180，多边形外角和等于多边形外角和等于360360，(n-2)(n-2)180180=2=2 360 360。解得解得:n=6:n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6 6。练习练习1练习练习2综合综合把一个五边形分成几个三角把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？形，还有其他的分法吗？ABCDEF180 4 180=
22、540方法方法其他其他 A BCDE4 180-180 O方法方法其他其他=540例1:已知四边形ABCD，A+C=180，求B+D=？ABCD点评：四边形的一组对角互补，另一组点评：四边形的一组对角互补，另一组对角也互补。对角也互补。解解:四边形的内角和为四边形的内角和为:(4-2)180=360 B+D=360-(A+C)=180 A+C=180A+C=180 例例2 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和他相邻任意一个外角
23、和他相邻的内角有什么关系？的内角有什么关系？2.五个外角加上他们分别五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多相邻的五个内角和是多少？少？3.这五个平角和与五边形这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什的内角和、外角和有什么关系？么关系？6E BCD1 2 3 4 5 A 例例1 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？5边形外角和边形外角和 结论：五边形的外角和等于结论：五边形的外角和等于360-(5-2)180=360 6E BCD1 2 3 4
24、 5 A=5个平角个平角-5边形内角和边形内角和=5180探究探究 如果将例如果将例2中五边形换成中五边形换成n边（边（n3）可以得到同样的结果吗？可以得到同样的结果吗？n边形外角和边形外角和=结论：结论：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360-(n-2)180=360 A1E BCD 2 3 4 5F nn n个平角个平角-n-n边形内角和边形内角和=n180 n n边形内角和边形内角和=(n=(n2)2)180180n n边形外角和边形外角和=360=360n边形外角和边形外角和=n个平角个平角-n边形内角和边形内角和复习 n边形的内角和为边形的内角和为_(n-2)180 它有
25、什么作用它有什么作用呢呢?1.知道多边形的边数知道多边形的边数,可以求出多边形的度数可以求出多边形的度数.2.知道多边形的度数知道多边形的度数,可以求出多边形的边数可以求出多边形的边数.例例3.正五边形的每一个外角等于正五边形的每一个外角等于_.每一个内角等每一个内角等于于_,72144例例4.如果一个正多边形的一个内角等于如果一个正多边形的一个内角等于120,则这则这个多边形的边数是个多边形的边数是_6例例5.如果一个正多边形的一个内角等于如果一个正多边形的一个内角等于150,则这则这个多边形的边数是（个多边形的边数是（）A.12 B.9 C.8 D.7A例例6.如果一个多边形的每一个外角等
26、于如果一个多边形的每一个外角等于30,则这个则这个多边形的边数是多边形的边数是_12（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5=吗？你是怎样得到的？ABCDEACDEBO12345结论：1，2，3，4，5的和等于的和等于360?怀想一想：想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。多边形的外角和等于多边形的外角和等于360?怀想一想：（
27、1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？议一议：议一议：利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来呢？例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？随堂练习：随堂练习：1.一个多边形的外角和都等于60,这个多边形是几边形?2.下图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？例例2 如图，在五边形的每个顶点处各取如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和试问：五边形的外角和等于多少？角和试问：五边
28、形的外角和等于多少？1.任意一个外角和它相邻任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？的内角有什么关系？2.五个外角加上它们分别五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多相邻的五个内角和是多少？少？3.这五个平角和与五边形这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什的内角和、外角和有什么关系？么关系？E BCD1 2 3 4 5 A 6由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。转的各个角的和等于一个周角。即：即：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360360练习练习1练习练习2综合综合 前面我们学习前面我们学习了三角形的外角了三角形的外
29、角和是和是360，当，当时是怎样研究出时是怎样研究出来的？来的？ABCDEF1.先把三角形的三个外角和三个先把三角形的三个外角和三个内角这六个角内角这六个角的和求出来，刚好是三个平角。的和求出来，刚好是三个平角。2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下的就是三角形的外角和了！的就是三角形的外角和了！总结规律总结规律把一个五边形分成几个三角把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？形，还有其他的分法吗？ABCDEF180 4 180=540方法方法其他其他 A BCDE4 180-180 O方法方法其他其他=540把一个五边形分成几个三角把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？形，还有其他的分法吗？ABCDEF180 4 180=540方法方法其他其他
