1、第 1 页 共 8 页 2021 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A D B D C C C B B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13 4 146 15 + 换为其他大于1的底，只要式子正确即可给分） (注：此题两空，第一空 2 分，第二空 3 分) 16 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字
2、说明、证明过程或演算步骤) 17解：（） n aQ是等差数列，设公差为d， 16511 611 =aS 15 6 =a 2 分 28 83 =+aaQ 28 65 =+aa 13 5 =a 4 分 2=d 5 分 32 += nan 6 分 （）Q53 2 1 . 2 1 2 1 2 2 1 +=+nSSS n n )2(23 2 1 . 2 1 2 1 1 1 2 2 1 +=+ nnSSS n n 8 分 -得：()23 2 1 =nSn n 第 2 页 共 8 页 ()223=nS n n10 分 当1=n时，16 1= S 11 分 综上： = = 2,23 1,16 n n S n
3、n12 分 18解：（）证明：Q2, 1, 3 11 =CCBCBCC 3 1= BC由余弦定理可知 2 分 2 1 2 1 2 CCBCBC=+Q 1 BCBC 3 分 QAB 侧面 CCBB 11 ，且CCBBBC 11 面 BCAB 4 分 BBCAB= 1 IQ BC 侧面 1 ABC5 分 （）由（）知，以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴， 1 BC为 y 轴，BA 为 z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，6 分 则： )2 , 3, 1(),0 , 3, 1(),0 , 2 3 , 2 1 (),2 , 0 , 0( 11 ABEA ) 0 , 2 3 , 2 3 (),2 ,
4、 2 3 , 2 1 ( 1 =EBEA 设平面 1 AEB的法向量为),(zyxn = 由 = = 0 0 1 EBn EAn 得) 1 , 3, 1 (=n 8 分 同理可计算得平面 11EB A的法向量为)0 , 3, 1 (=m，10 分 5 52 ,cos= =xQ )0(0)( +，在xf上恒成立， ), 0()( +在xf上为增函数，6 分 mfxf=1)0( )( 当m10 时，即m1 时， )0(0)( +，在xf上恒成立， )0()(+，在xf上为增函数， )(xf不可能有两个零点，8 分 当01m，即1m时， 01)0( =mfQ ( )xfx + +时， 由零点存在性定
5、理知：)0()( +，在xf上有且只有一个零点 0 x， 0 e ) 1( 0 x xm+= )(xf在), 0( 0 x上为减函数，在),( 0 +x上为增函数10 分 )(xfQ)0(+，在上有两个零点， 第 4 页 共 8 页 0 000 ()e0 2 x m f xxmx=+ 01)e( 2 1 1)e(e 000 0000 xx 1 0 x 0 e ) 1( 0 x xm+=Q在),( 0 +x上为增函数， em2 综上所述，若)0()(+，在xf上有两个零点，则em2.12 分 其他解法，可依据情况酌情给分。下面的方法可供参考 解法二：由0 得 xexmxm（x） ， 当 x时，方
6、程不成立，即 x， 则 m 5 分 设 h（x）， （x0 且 x） ， 则 h（x） 7 分 x0 且 x 由 h（x）0 得 x1， 当 x1 时，h（x）0，h（x）为增函数9 分 当 0 x1 且 x时，h（x）0，h（x）为减函数 当 0 x时，h（x）0，且为减函数10 分 当 x1 时函数取得极小值，且极小值为 h（1）2e11 分 第 5 页 共 8 页 所以要使 m有两个不同的根 则 m2e 12 分 方法三：由0 得 xexmxm（x）4 分 设 g（x）xex，h（x）m（x） ， g（x）ex+xex（x+1）ex，当 x0 时，g（x）0， 则 g（x）为增函数 5
7、分 设 h（x）m（x）与 g（x）xex相切时的切点为（a，aea） ， 而切线斜率 k（a+1）ea 则切线方程为 yaea（a+1）ea（xa）6 分 当切线过（，0）时，aea（a+1）ea（a）8 分 即aa+a2a，即 2a2a10 9 分 得 a1 或 a（舍） 此时切线斜率 k（1+1）e2e ，其切线方程为 1 2 () 2 ye x= 11 分 又（，0）在 h(x)上 所以要使 g（x）与 h（x）在（0，+）上有两个不同的交点，则 m2e 12 分 20解：（）由表 1,2易得所求频率(0.021 0.0160.015) 100.52P =+= 1 分 估计该地区签约率
8、超过%35低于%60的人群的总人数为0.52 20001040=万 2 分 （）易得X)7 . 0 , 3(B 3 分 = )(iXP3 , 2 , 1 , 0,3 . 07 . 0 3 3 = iC iii P(x=0)= 027 . 0 3 . 07 . 0 300 3 =C P(x=1)= 189. 03 . 07 . 0 211 3 =C 第 6 页 共 8 页 P(x=2)= 441 . 0 3 . 07 . 0 122 3 =C P(x=3)= 343 . 0 3 . 07 . 0 033 3 =C 5 分 的分布列为X X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441
9、0.343 6 分 1 . 27 . 03)(=XE 8 分 （）应该着重提高 3150 这个年龄段的签约率10 分 由图 1，2 知， 年龄段 该地区人数（万） 签约率% 1830 0.005102000100 0.018102000360 大于 360，小于 460 30.3 3140，4150 （0.021+0.016）102000740 37.1 5160 0.015102000300 55.7 6170 0.010102000200 61.7 7180 0.00410200080 70.0 80 以上 0.010102000200 75.8 由以上数据可知这个地区在 3150 这个年
10、龄段的人为 740 万，基数较其他年齡段是最大 的，且签约率为 37.1%，比较低11 分 为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上，应该着重提高 3150 这个年龄段 的签约率12 分 （注：如果学生选择 1830 岁，从签约率最低的人群回答问题也可酌情给分；另没有 写出表格中的全部数据，但已写出要提高签约率的人群的人数与签约率即可得分） 21解： （）由题意得： 第 7 页 共 8 页 =+ += = 1 4 31 3 22 222 ba cba c 2 分 解得椭圆 C 的方程是1 4 2 2 =+ y x 4 分 （）易得：) 1 , 0(),0 , 2(),0 , 2(
11、 21 BAA 1 2 1 : 1 +=xyBA，5 分 1 2 1 : 2 +=xyBA6 分 设直线)2(: 1 +=xkyMA 0, 2 1 kk 联立 =+ += 44 )2( 22 yx xky 041616) 14( 2222 =+kxkxk得 14 16 2 2 2 + = k k xM得 14 28 2 2 + + = k k xM， 14 4 2 + = k k yM7 分 kx y k M M MA 4 1 2 2 = = 直线)2( 4 1 : 2 =x k yMA8 分 += += 1 2 1 )2( xy xky 联立得) 12 4 , 12 42 ( + k k k
12、 k Q9 分 += = 1 2 1 )2( 4 1 xy x k y 联立得) 12 2 , 12 42 ( + kk k P10 分 xPQ 轴且PQ的中点N为 24 (,1) 21 k k + xBN / 轴 BN为BPQ 的中线且 BNPQ 11 分 BPQ 为等腰三角形.12 分 (注：其他证明方法依据情况酌情给分，如文科参考答案中给出的方法) 第 8 页 共 8 页 22解：（）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：1= = = 2 , 0, 2sin2 1 联立得 12 5 12 =或3 分 所求交点的极坐标为) 12 5 , 1 () 12 , 1 ( 和.5 分 （）直线3)
13、4 sin(=+ ：l的直角坐标方程为23=+ yx，6 分 “四叶草”2sin2=极径的最大值为 2，且可于点) 4 , 2( A处取得，8 分 连接 OA 且与直线23=+ yx垂直且交于点) 4 , 3( M，9 分 所以点 A 与点 M 的距离的最小值为 1.10 分 23解：（）易得：2 2 1 )(+=xxxf 2 5 )2() 2 1 (=+xx4 分 （）易得：cbx a xxf+= 2 )(3 2 )() 2 (=+=+cb a cbx a x6 分 cba,Q均为正实数 3 2 =+cb a 7 分 () 11 4 1 ( 222 +cbaQ9) 2 ( 2 =+cb a 8 分 222 cba+4， 当且仅当cba=2，即 3 4 , 3 2 =cba时 222 cba+ 的最小值是 4.10 分
