1、上一页下一页目 录退 出 第八章第八章 玻色统计与费米统计玻色统计与费米统计8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚8.4 8.4 光子气体光子气体8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体8.6 8.6 白矮星白矮星8.7 8.7 二维电子气体与量子霍尔效应二维电子气体与量子霍尔效应上一页下一页目 录退 出 对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观对于简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。微观粒子全同性原理带来的量子统计关联
2、对简并气体的宏观性质将产粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。条件）的近独立粒子系统的平衡性质。12232 hmkTNVe非简并条件：非简并条件：或：或：122323 mkThVNn一、非简并气体和简并气体一、非简并气体和简并气体上一页下一页目 录退 出二、热力学量的统计表达式（首
3、先考虑玻色分布）二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）llllleaN1引入巨配分函数：引入巨配分函数：llle)1ln(lnllllle 1 系统的平均总粒子数：系统的平均总粒子数：取对数得：取对数得：lnN系统的平均总粒子数：系统的平均总粒子数：8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式llllealn1lnlnlnlnNllllllllalnlnNlnlnNllla上一页下一页目 录退 出 llllllleaU1yeayYlllllll 1 lnU内能：内能：广义力：广义力：ln1yY特例：特例：ln1VP8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页
4、下一页目 录退 出)ln(ln)ln()(ddyydNdYdydU 因因为为：dyyddd lnlnlnln而而：三、熵的统计表达式三、熵的统计表达式 lnlnln)(dNdYdydU比比较较可可得得：与与热热力力学学公公式式dSNdYdydUT )(1)lnln(ln kddS所以：所以：ln)(ln)lnln(lnkUNkkS积分得：8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式)lnln(lnkS上一页下一页退 出目 录证明：证明：lnkS玻色系统的微观状态数：玻色系统的微观状态数：lllllllllaaaalnlnlnln lllllaa)!1(!)!1(lllllaa!ln
5、)!1ln()!1ln(ln取对数得：取对数得：1,1 lla设：设：1ln!ln mmm则则8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式llllllllllaaaalnln上一页下一页目 录退 出 lllllaekSl)1ln(可得：可得：代入代入)(lnUNkS lnlnlnkaaaakllllllllll8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式可得：可得：由由1 lllea;1-11llael llla1ln 上一页下一页目 录退 出四、费米系统四、费米系统费米系统，巨配分函数为：费米系统，巨配分函数为：前面得到的热力学量的表达式完全适用：前面得到的热力学量的
6、表达式完全适用：其对数为：其对数为：llllle1 llle)1ln(ln lnN lnU ln1yY lnkS8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式上一页下一页目 录退 出lnln)lnln(lnlnkTkTNTSUJ的的函函数数、即即的的函函数数、是是VTy,ln 五、巨热力学势五、巨热力学势8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式lnkTJ（3）代入热力学统计公式求热力学量）代入热力学统计公式求热力学量量子力学的理论计算获得量子力学的理论计算获得分析光谱数据获得分析光谱数据获得小结：求量子体系热力学函数的一般步骤小结：求量子体系热力学函数的一般步骤l（1
7、）写出）写出 及相应简并度及相应简并度 l（2）求粒子的巨配分函数）求粒子的巨配分函数llelll1 上一页下一页目 录退 出 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体1 1、弱简并气体：、弱简并气体：虽虽小小，或或3ne 但不可忽略的玻色气体和费米气体。但不可忽略的玻色气体和费米气体。以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度：以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度：)(21222zyxpppm dmhVgdD21233)2(2)(0212331)2(2edmhVgN在体积在体积V V内，在内，在到到+d+d范围内可能的微观状态数：范围内可能的微观状态数：系统的总
8、分子数：系统的总分子数：0232331)2(2edmhVgU上一页下一页退 出目 录 xxxxxeeeeee 11111只只取取头头两两项项：展展开开，是是一一个个小小量量，可可将将小小的的情情形形下下，在在 0212331)2(2xedxxkTmkThVgN 0232331)2(2xedxxkTmkThVgU被积函数的分母可表为：被积函数的分母可表为：）（xxxeee 1111 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体引入变量：引入变量：x 则上述两式可写为：则上述两式可写为：上一页下一页目 录退 出2411 23eNkTU 利用零级近似结果：利用零级近似结果
9、：gmkThVNe1)2(232 2411 231)2(2411 233232ngNkTgmkThVNNkTU 可得：可得：两式相除可得：两式相除可得：211)2(23232eVehmkTgN 代入上式可得：代入上式可得：211)2(2325232eVkTehmkTgU 8.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是有微观粒子全通性原理引起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下，玻色气起的量子统计关联所致的附加内能。并且可以看到在弱简并情形下
10、，玻色气体和费米气体出现了差异。体和费米气体出现了差异。即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的即：量子统计关联使费米子间出现等效的排斥作用，玻色子间则出现等效的吸引作用。吸引作用。上一页下一页目 录退 出8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚一、理想玻色气体的性质一、理想玻色气体的性质11 kTllllleea二、化学势二、化学势 与基态粒子数与基态粒子数000 al，则则都都不不能能取取负负值值，若若取取因因为为任任一一能能级级的的粒粒子子数数化学势由下式决定：化学势由下式决定：nVNeVlkTll 11nT,密度的函数：化学势为温度和粒子数上一页下一
11、页目 录退 出8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚值值越越高高。低低则则给给定定的的情情形形下下，温温度度愈愈在在nnedmhkTl0212331)2(2将求和改为积分：将求和改为积分：;随随温温度度的的降降低低而而升升高高当当粒粒子子数数一一定定时时，。将将趋趋于于时时，度度当当温温度度降降到到某某一一临临界界温温0 TC上一页下一页目 录退 出nedmhVclkT 0212331)2(2nedxxmkThkTxxCc 0212331)2(2,可得：可得：令：令：612.221021edxxx积积分分：32223)612.2(2nmkhTc 为为给给定定的的条条件件矛矛盾盾。，
12、与与，左左边边小小于于仍仍趋趋于于时时，当当VNnnTTC 08.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚讨论：讨论：上一页下一页退 出目 录 )(1 230CTTnTn 关键在用积分代替求和时，关键在用积分代替求和时，的项被弃掉了。的项被弃掉了。0 当当 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略。CTT nedmhTnkT 02/12/330122230212330)(1)2(2CkTTTnedmhn 三、矛盾的原因分析三、矛盾的原因分析 的的粒粒子子数数密密度度，时时处处在在能能级级是是温温度度为为第第一一项项00 TTn。的粒子数密度的
13、粒子数密度第二项是第二项是00 n8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出nn0CTT1.01.00:00随随温温度度的的变变化化如如图图所所示示有有相相同同的的数数量量级级，与与以以下下在在nnnTC8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚 ，作作图图：根根据据)(1230CTTnTn 上一页下一页目 录退 出8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出四、玻色四、玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚凝凝聚聚。能能级级时时有有宏宏观观量量级级的的粒粒子子在在在在0 TTC23)(770.01)2(20
14、23233CkTTTNkTedmhVU 聚聚体体。的的粒粒子子集集合合称称为为玻玻色色凝凝为为凝凝聚聚温温度度，凝凝聚聚在在0TC熵熵均均为为零零。凝凝聚聚体体的的能能量量、动动量量和和的的粒粒子子能能量量是是处处在在能能级级时时理理想想玻玻色色气气体体的的内内能能在在0 TTC定容热容量为：定容热容量为：23)(925.125CVVTTNkTTUTUC 的的统统计计平平均均值值：8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页退 出目 录 气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体凝聚成液体需要依靠分子之间的相互作用力。对于理想气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如
15、何发生凝聚？爱因斯坦气体，粒子之间的相互作用已被忽略，如何发生凝聚？爱因斯坦自己已意识到这一点，他写到自己已意识到这一点，他写到“这个公式间接地表达了一个确定这个公式间接地表达了一个确定的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响的假设，即认为分子以暂时还完全难以捉摸的方式相互影响着，着，”由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源由于历史条件，当时还不知道全同多粒子系存在（量子起源的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因的）统计关联：对玻色子是有效吸引；而费米子是有效排斥。因此，即使没有动力学相互作用，仍可在一定条件下由于有效相互此，即使没有动力学相互作用，
16、仍可在一定条件下由于有效相互作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。作用而发生凝聚现象。这是一种纯粹量子起源的相变。爱因斯坦的理论为什么当年受批评？爱因斯坦的理论为什么当年受批评？8.3 8.3 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚上一页下一页目 录退 出 8.4 8.4 光子气体光子气体一、紫外灾难一、紫外灾难 根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔根据能量均分定理来讨论平衡辐射问题，从经典的电磁理论，空腔辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表达式：辐射场可分解为无穷多个单色平面波的叠加，单色波的表达式：)(0trkieEE zzyyxxekekekk
17、,2,1,0,2,2,1,0,2,2,1,0,2 zzzyyyxxxnnLknnLknnLkzzyyxxdkLdndkLdndkLdn222 因此，具有一定波矢因此，具有一定波矢k k和一定偏振的单色平面波可以看作是和一定偏振的单色平面波可以看作是辐射场的一个以辐射场的一个以 为圆频率的振动自由度。计算体系该自为圆频率的振动自由度。计算体系该自由度的数目就可以利用能量均分定理。由度的数目就可以利用能量均分定理。上一页下一页目 录退 出代入波动方程，得：代入波动方程，得：将将)(0trkieEE 012222 EtcEck zyxzyxzyxdkdkdkVdkdkdkVdndndn334)2(2
18、 ，可可得得：，代代替替采采用用球球极极坐坐标标，用用zyxkkkk,kkkkkkzyxcossinsincossin ddkdkdkdkdkzyxsin2 8.4 8.4 光子气体光子气体上一页下一页目 录退 出积分：积分：令令20:,0:dDdcVdkkVdndndnzyx)(23222 dd4sin020 kTdcVkTdDdU232)(此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式瑞利金斯曲线瑞利金斯曲线实验曲线实验曲线vv0 8.4 8.4 光子气体光子气体上一页下一页退 出目 录二、波动观点推导普朗克公式二、波动观点推导普朗克公式将空间辐射场看作线性谐振子的集合，能量是量子化：将空间辐射场看
19、作线性谐振子的集合，能量是量子化：iiiinnhni 玻耳兹曼统计配分函数：玻耳兹曼统计配分函数：nnnneeez 11)(001振子的平均能量：振子的平均能量：ehzNU 1ln11 1、推导过程、推导过程 8.4 8.4 光子气体光子气体上一页下一页目 录退 出光子的量子态数：光子的量子态数：dcVdD232)(dPPcVdPPD238)(，代入可得：，代入可得：，将将mEPE22 8.4 8.4 光子气体光子气体decVdDdTUkT1)(),(332 辐射场的内能为：辐射场的内能为：此即为此即为普朗克公式普朗克公式上一页下一页目 录退 出2 2、讨论：、讨论：kTdcVdTU232),
20、(（1 1）在）在 的低频范围内，的低频范围内，上式可近似为：上式可近似为：1 kTkTekT 1此即为瑞利金斯公式此即为瑞利金斯公式（2 2）在）在 的高频范围内，的高频范围内，上式可近似为：上式可近似为：1 kT1 kTedecVdTUkT 332),(此即为维恩公式此即为维恩公式 8.4 8.4 光子气体光子气体上一页下一页目 录退 出三、光子气体的统计分布三、光子气体的统计分布 1 1、光子：、光子：自旋量子数为自旋量子数为1 1，为玻色子。遵守，为玻色子。遵守B-EB-E分布，光子数不固定。分布，光子数不固定。11 kTllilleeN decVelll 02321ln1lnln所以
21、所以B-EB-E分布中的分布中的=0=0，于是：，于是：332145cV 光子气体的内能为：光子气体的内能为：4334215lnTcVkU 光子气体的压强为：光子气体的压强为：4334245ln1TckVP VUP31 8.4 8.4 光子气体光子气体上一页下一页目 录退 出 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体一、电子气体的性质一、电子气体的性质 模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子模型：金属中的价电子为所有原子实所共有，而并非固定在某一原子的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚在所有原子实形成的范围内，因此，可以近似地把这些价电子看成束缚
22、在所有原子实形成的平均场内，就像这的平均场内，就像这N N个电子在体积为个电子在体积为V V的箱中的自由粒子一样。的箱中的自由粒子一样。电子的自旋量子数为电子的自旋量子数为1/21/2，简并度为：，简并度为：2120 s 根据费米分布，处于温度根据费米分布，处于温度T T、能量、能量的一个量子态上的平均电子数为：的一个量子态上的平均电子数为：11 kTef上一页下一页退 出目 录 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 1 1、T=0KT=0K时电子的分布时电子的分布 可得：可得：时电子气体的化学势，时电子气体的化学势，表示表示以以K00 0,1f 0,0f f01(1)(1
23、)、费米动量、费米动量P PF F NdmhV 002/12/3324 2/322320 VNm 可得：可得：表示。令表示。令称为费米能级，以称为费米能级，以mPFFF202 3/123nPF 上一页下一页目 录退 出UTSUF （2 2）、）、0k0k时电子的内能为：时电子的内能为：f01 053240002/32/33NdmhVU （3 3）、）、0k0k时电子气体的压强为：时电子气体的压强为：FFnVNVUVFP5253 与玻色气体在与玻色气体在0K0K时能量、动量和压强完全不同，费米气体时能量、动量和压强完全不同，费米气体在在0K0K时有很高的能量、动量，并产生很大的压强。时有很高的能
24、量、动量，并产生很大的压强。8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体上一页下一页目 录退 出弱简并条件：弱简并条件：1,1 ee或或2411231)2(2411233232ngkTgmkThVNkTNU 金属中的自由电子气体是高度简并的。金属中的自由电子气体是高度简并的。而对自由电子气体：而对自由电子气体：eVJ0.71012.1018或或铜铜的的 远远高高于于通通常常的的温温度度。,102.84KTF 1 kTee 8.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体上一页下一页目 录退 出 8.6 8.6 白矮星白矮星 中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，
25、热核反中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，热核反应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到整个恒星质量的整个恒星质量的10%10%15%15%时，靠时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升
26、。恒星温度很高，巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高，其粒子的平均热能为其粒子的平均热能为10103 3eVeV，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态-白矮星。白矮星。一、白矮星一、白矮星上一页下一页目 录退 出以天狼星伴
27、星（白矮星）为例：以天狼星伴星（白矮星）为例：KTcmggM7373310.1010 ，倍太阳质量倍太阳质量4.1242 ppeNmmNNmM 每个粒子的平均热能每个粒子的平均热能kTkT=10=103 3eVeV，比氦原子的电离能，比氦原子的电离能50eV50eV大得大得多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，则白矮星总质量为：则白矮星总质量为：8.6 8.6 白矮星白矮星上一页下一页退 出目 录质子质量。质子
28、质量。白矮星质量，白矮星质量，电子密度：电子密度：:102/2/330pppmMcmmMmMVNn JVNm133/222105.0320 费米能量：费米能量：。，远高于白矮星的温度，远高于白矮星的温度相应的费米温度相应的费米温度KkTF91030 1 1、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体 8.6 8.6 白矮星白矮星 说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光滑的。滑的。上一页下一页
29、目 录退 出 Jsmkgmc132283020101.103101 3/522/322352 VNmP性的，则：性的，则：如果电子气是非相对论如果电子气是非相对论2 2、白矮星电子气的简并压、白矮星电子气的简并压 具具有有相相同同的的数数量量级级，与与00与电子静止质量相应的能量：与电子静止质量相应的能量：因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。3/43/18341 VNchP子气的简并压为：子气的简并压为：极端相对论性情形下电极端相对论性情形下电 8.6 8.6 白矮星白矮星上一页下一页目 录退 出213 MRnRMnVN：，可得非相对
30、论情形下，可得非相对论情形下和和由于由于dRRPdEdR24 时，其内能改变为：时，其内能改变为：当星体半径改变当星体半径改变3 3、白矮星的半径、白矮星的半径dRRGMadRdRdEdEdRRGMaEggg222 时时，引引力力势势能能的的改改变变：当当星星体体半半径径改改变变，白白矮矮星星的的引引力力势势能能：上式说明质量越大的白矮星半径越小。上式说明质量越大的白矮星半径越小。假设星体是球形的，由于简并压的存在：假设星体是球形的，由于简并压的存在：424RGMaP 之和为零，故有：之和为零，故有：平衡时两式的能量改变平衡时两式的能量改变 8.6 8.6 白矮星白矮星上一页下一页目 录退 出
31、 当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：二、中子星二、中子星 中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍缩。中子星的极端物理条件：超高密度缩。中子星的极端物理条件：超高密度超高温、超高压、超强磁超高温、超高压、超强磁场和超辐射，在地球上无法实现，所以中子星就成了极端物理条件场和超辐射，在地球上无法实现，所以中子星就成了极端物理条件的实验室，帮助人们了解物质在极端条件下的运动变化规律。的实验室，帮助人们了解物质在极端条件下的运动变化规律。成为中子星。成为中子星。简并中子气成为主导，简并中子气成为主导，数，数，星体中子数超过电子，星体中子数超过电子，当，当3111.103 cmgAeAZZ 8.6 8.6 白矮星白矮星上一页下一页目 录退 出中子星的内部结构中子星的内部结构固体外壳液态中子固体核心 8.6 8.6 白矮星白矮星上一页下一页退 出目 录上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出上一页下一页退 出目 录上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出上一页下一页目 录退 出上一页下一页退 出目 录
