1、2011年高考数学第一轮复习综合测试（导数)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1设f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图1所示，则导函数yf(x)的图象可能是()图1解析：由f(x)的图象知x0时，f(x)单调递减，f(x)0时，f(x)先增后减，再增，则f(x)为正、负、正只有D满足答案：D2在曲线yx3x2的切线中，与直线4xy1平行的切线方程是()A4xy0B4xy40C2xy20D4xy0或4xy40解析：y3x21，又4xy1的斜率为4，设曲线yx3x2的切线中与4xy1平行的切线的切点为M(x0，y0)，则3x14，x01或x01.切点为M(1,
2、0)、N(1，4)均不在4xy1上有两条直线与4xy1平行答案：D3已知曲线yx2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A4B3C2 D.解析：yx2得yx，则x2，故选C.答案：C4一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒 B1秒末C2秒末 D1秒末和2秒末解析：根据导数的物理意义，st23t2，令s0，得t1或t2.答案：D5函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是()A1，1 B1，17C3，17 D9，19解析：令f(x)3x230，得x1，f(3)17，f(1)3，f(0)1.故最大值，最小值分别为3，17.
3、答案：C6对函数f(x)x42x23有()A最大值4，最小值4B最大值4，无最小值C无最大值，最小值4D既无最大值也无最小值解析：f(x)4x34x，令f(x)0，得x0或x1，列表如下：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极大值4极小值3极大值4xR，故无最小值，最大值为4.答案：B7若mR，方程x33xm0在区间0,1上不等的实根()A有3个 B有2个C没有 D至多有一个解析：设f(x)x33xm，则f(x)3x23.所以f(x)在区间0,1上是单调减函数，函数f(x)在图象与x轴至多有一个交点应选D.答案：D8已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)内的解析式
4、为f(x)x3x，则下列区间中使f(x)单调递增的区间是()A(0,1) B(1,0)C(，1) D(1,1)解析：在0，)内时，f(x)x21，由f(x)0可得1x1，故f(x)在(0,1)内单调递减，又因为f(x)是偶函数，所以，f(x)在区间(1,0)内单调递增答案：B9已知f(x)x22f(1)x，则f(x)0的解集为()Ax|0x4 Bx|0x2Cx|2x0 Dx|4x0解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2.f(x)x24x0.0x4.答案：A10(2010河南焦作一检)曲线yx2|x|1上以点(1，1)为切点的切线方程是()Ayx2 ByxCy2x1 Dy
5、2x3解析：当x1的解集为()图1A(2,3)(3，2)B(，)C(2,3)D(，)(，)解析：由图知，f(x)在(，0)上单调增，在(0，)上单调减，又f(2)1，f(3)1，所求不等式等价于2x263，解得2x3或3x2.答案：A12(2010河南四校联考)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf()，cf(3)，则()Aabc BcabCcba Dbca解析：f(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，f(3)f(1)，当x1时，由(x1)f(x)0，函数f(x)在(，1)上是增函数f(3)f(1)f(0)0
6、.a6或a6或a0在(，)上恒成立f(x)单调递增答案：至多1个三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17(12分)若直线ykx与yx33x22x相切，试求k的值解：y3x26x2，设切点为(x0，y0)，则ky|xx03x6x02.切线方程为yy0(3x6x02)(xx0)又y0x3x2x0，y(3x6x02)x(3x6x02)x0(x3x2x0)，即y(3x6x02)x(2x3x)又切线是ykx，则由得x00或x0，代入知k2或k.18(12分)已知函数f(x)ax3bx2经过点M(1,4)，在点M处的切线恰与直线x9y50垂直(1)求
7、a，b的值；(2)若函数f(x)在区间m1，m1上单调递增，求实数m的取值范围解：(1)f(x)ax3bx2，f(x)3ax22bx.由已知得即a1，b3.(2)由(1)知f(x)x33x2，f(x)3x(x2)令f(x)0，解得x2或x0，f(x)在区间(，2和0，)上单调递增若f(x)在m1，m1上单调递增，则m1，m1(，2或m1，m10，)，m12或m10.m3或m1.m的取值范围是m3或m1.19(12分)已知函数f(x)kx33(k1)x2k21(k0)(1)若f(x)的单调减区间为(0,4)，求k的值；(2)当xk时，求证：230.解：(1)f(x)3kx26(k1)x0的解集为
8、(0,4)，故4，k1.(2)要证230，只需证4x3(3x1)2(x1)令g(x)4x3(3x1)24x39x26x1，则当x1时，g(x)6(2x23x1)6(2x1)(x1)0，g(x)在(1，)上递增，g(x)g(1)0，即g(x)0成立，原不等式得证20(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x(百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数y12x214x(百万元)来计算；每投入x(百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2x32x25x(百万元)来计算现该公司准备共投入3(百万元)
9、，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益(注：收益销售额投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：1.414，1.732)解：设3百万元中技术改造投入为x(百万元)，广告费投入为3x(百万元)，则广告收入带来的销售额增加值为2(3x)214(3x)(百万元)，技术改造投入带来的销售额增加值为x32x25x(百万元)，所以，投入带来的销售额增加值F(x)2(3x)214(3x)x32x25x.由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候整理上式得F(x)x33x24，因为F(x)x23，令F(x)0，解得x或
10、x(舍去)，当x0，)，F(x)0，当x(，3时，F(x)0，所以，x1.73时，F(x)取得最大值所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益21(12分)(2009浙江高考)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b0，又f(x)3x22(1a)xa(a2)，f(x)在原点处的切线斜率是3，则a(a2)3，所以a3，或a1.(2)由f(x)0，
11、得x1a，x2.又f(x)在(1,1)上不单调，即或解得或所以a的取值范围是(5，)(，1)22(14分)(2010南昌调研)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)(a23)x1(a0)至多有两个解，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x22ax30，x1，a(x)当x1时，(x)是增函数，其最小值为(11)0，a0.(2)令h(x)f(x)(a23)x1，h(x)3x22axa20，得xa或x，a0，有x(，)(，a)a(a，)h(x)00h(x)a31a31x时f(x)有极大值，h(x)极大值h()a31.xa时f(x)有极小值，h(x)极小值h(a)a31，若方程f(x)(a23)x1(a0)至多有两个解，f(a)0或f()0，a310或a310(舍)，解得0a1.
