1、西城区高三统一测试数学2020.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1.设，则=（ ）A. B. C. D.2.若复数，则=（ ）A. B. C. D.203.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）A. B. C. D.4.设等差数列的前n项和为，若，则=（ ）A.10 B.9 C.8 D.75.设，则以线段为直径的圆的方程是（ ）A. B.C. D.6.设为非零实数，且，则（ ）A. B. C. D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则A. B.C. D.8.设为非零向量，则
2、“”是“共线”的（ ）A.充分二不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ）绕着轴上一点旋转180；沿轴正方向平移；以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A. B. C. D.10.设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，常数项为 .（用数字作答）12.若向量满足，则实数的取值范围是 .13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该上去西安的离
3、心率为 .14.函数的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为 .15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分1
4、4分） 如图，在四棱锥中，平面，底面满足.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本小题满分14分） 已知满足 ，且，求的值及的面积.从这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（）从选出
5、的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）19.（本小题满分14分）设函数，其中aR（）若曲线在点（2，）处切线的倾斜角为，求a的值；（）已知导函数在区间（1，e）上存在零点，证明:当x（1，e）时， 20.（本小题满分15分）设椭圆，直线经过点M（m，0），直线经过点N（n，0），直线直线，且直
6、线、分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。（）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积；（）若直线的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0；（）在（）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。21.（本小题满分14分）对于正整数n，如果个整数a1，a2，ak满足1a1a2akn，且a1+a2+ak=n，则称数组（a1，a2，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，ak 均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。（）写出整数4的所有“正整数分拆”；（）对于给定的整数n（n4），设（a1，a2，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；（）对所有的正整数n，证明:fngn；并求出使得等号成立的n的值。（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，ak）与（b1，b2，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）
