1、2019年贵州省贵阳市中考数学试卷一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分1（3分）32可表示为（）A32B222C33D3+32（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）ABCD3（3分）选择计算（4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）A运用多项式乘多项式法则B运用平方差公式C运用单项式乘多项式法则D运用完全平方公式4（3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，ABC60，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A1cmB2 cmC3cmD4cm5（3分）如图，在33的正
2、方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）ABCD6（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD则CBD的度数是（）A30B45C60D907（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（）A甲比乙大B甲比乙小C甲和乙一样大D甲和乙无法比较8（3分）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）A3B4.5C
3、6D189（3分）如图，在ABC中，ABAC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E若AE2，BE1，则EC的长度是（）A2B3CD10（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线yx+上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）Aa2BaC1a或a2D2a二、填空题：每小题4分，共20分。11（4分）若分式的值为0，则x的值是 12（4分）在平面直角坐标系内，一次函数yk1x+b1与yk2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组
4、的解是 13（4分）一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是 14（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA2，则四叶幸运草的周长是 15（4分）如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 三、解答题：本大题10小题，共100分.16（8分）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为
5、1，且底边在矩形对边上的平行四边形（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a3，b2时，求矩形中空白部分的面积17（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88（1）根据上述数据，将下列表格补充完整整理、描述数据：成绩/分8889909
6、19596979899学生人数21 321 21数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表平均数众数中位数93 91得出结论：（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为 分数据应用：（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由18（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DEAD，连接BD（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DADB2，cosA，求点B到点E的距离19（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、
7、历史学科教师的专业化队伍建设某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率20（10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元（1）求A，B两款毕业纪念册
8、的销售单价；（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册21（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中若阀门的直径OBOP100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OAOB（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角CAB67.5，若此时点B恰好与下水道的水平面齐
9、平，求此时下水道内水的深度（结果保留小数点后一位）（1.41，sin67.50.92，cos67.50.38，tan67.52.41，sin22.50.38，cos22.50.92，tan22.50.41）22（10分）如图，已知一次函数y2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y的图象相切于点C（1）切点C的坐标是 ；（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y2x+8的图象向左平移m（m0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y的图象上时，求k的值23（10分）如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：
10、OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径24（12分）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x1对称，点A的坐标为（1，0）（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15，求线段CP的长度；（3）当axa+1时，二次函数yx2+bx+c的最小值为2a，求a的值25（12分）（1）数学理解：如图，ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图，在任意直角ABC内，找一点D，
11、过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若ABBE+AF，求ADB的度数；（3）联系拓广：如图，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系2019年贵州省贵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共30分1（3分）32可表示为（）A32B222C33D3+3【分析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案【解答】解：32可表示为：33故选：C【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确把握有理数的乘方定义是解题关键2（3分）如图是由4个相
12、同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）ABCD【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2【解答】解：如图所示：它的主视图是：故选：B【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键3（3分）选择计算（4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）A运用多项式乘多项式法则B运用平方差公式C运用单项式乘多项式法则D运用完全平方公式【分析】直接利用平方差公式计算得出答案【解答】解：选择计算（4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式故选：B【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键4（3分）如图，菱形ABCD的周
13、长是4cm，ABC60，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A1cmB2 cmC3cmD4cm【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据ABC60，而ABBC，易证BAC是等边三角形，从而可求AC的长【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC是对角线，ABBCCDAD，ABC60，ABC是等边三角形，ABBCAC，菱形ABCD的周长是4cm，ABBCAC1cm故选：A【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明ABC是等边三角形5（3分）如图，在33的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被
14、涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）ABCD【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案【解答】解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：故选：D【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键6（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接BD则CBD的度数是（）A30B45C60D90【分析】根据正六边形的内角和求得BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：在正六边形ABCDEF中，BCD120，BCCD，CBD（180120）30，故选
15、：A【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键7（3分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（）A甲比乙大B甲比乙小C甲和乙一样大D甲和乙无法比较【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15（15+30+10+5）25%，所以甲党员的百
16、分比比乙党员的百分比大故选：A【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小8（3分）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）A3B4.5C6D18【分析】根据题意列方程即可得到结论【解答】解：数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，9a2a9，解得：a6，故选：C【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离也考查了数轴9（3分）如图，在ABC中，ABAC，以点C
17、为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E若AE2，BE1，则EC的长度是（）A2B3CD【分析】利用基本作图得到CEAB，再根据等腰三角形的性质得到AC3，然后利用勾股定理计算CE的长【解答】解：由作法得CEAB，则AEC90，ACABBE+AE2+13，在RtACE中，CE故选：D【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）10（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1
18、）都在直线yx+上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）Aa2BaC1a或a2D2a【分析】分a0，a0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围【解答】解：抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令x+ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：C【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键二、填空题：每小题4分，共20分。11（4分）若分式的值为0，则x的值是2【
19、分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案【解答】解：分式的值为0，x22x0，且x0，解得：x2故答案为：2【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键12（4分）在平面直角坐标系内，一次函数yk1x+b1与yk2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解【解答】解：一次函数yk1x+b1与yk2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），关于x，y的方程组的解是故答案为【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标13（4分）一个袋中装有m个红球，10个黄球，n
20、个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m与n的关系是m+n10【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案【解答】解：一个袋中装有m个红球，10个黄球，n个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，m与n的关系是：m+n10故答案为：m+n10【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键14（4分）如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA2，则四叶幸运草的周长是8【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为4
21、个半圆的弧长2个圆的周长，四叶幸运草的周长2228；故答案为：8【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长2个圆的周长是解题的关键15（4分）如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE的长；由已知条件可以推导出DEE是直角三角形，且DEE30，在RtADE中，求出DE即可求解【解答】解：E的运动路径是EE的长；AB4，
22、DCA30，BC，当F与A点重合时，在RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当F与C重合时，EDC60，EDE90，DEE30，在RtDEE中，EE；故答案为【点评】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键三、解答题：本大题10小题，共100分.16（8分）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a3，b2时，求矩形中空白部分的面积【分析】（1）空白区域面积矩形面积两个阴影平行四边形面积+中间
23、重叠平行四边形面积；（2）将a3，b2代入（1）中即可；【解答】解：（1）Sabab+1；（2）当a3，b2时，S632+12；【点评】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键17（10分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 9
24、0 95 88（1）根据上述数据，将下列表格补充完整整理、描述数据：成绩/分888990919596979899学生人数215321321数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表平均数众数中位数939091得出结论：（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为91分数据应用：（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由【分析】（1）由题意即可得出结果；（2）由2050%10，结合题意即可得出结论；（3）由2030%6，即可得出结论【解答】解：（
25、1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；出现次数最多的是90分，众数是90分；故答案为：5；3；90；（2）2050%10，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；故答案为：91；（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：2030%6，估计评选该荣誉称号的最低分数为97分【点评】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、用样本估计总体是解题的关键18（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DEAD，连接BD（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）若DADB2，cosA，求点
26、B到点E的距离【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ADBC，ADBC，等量代换得到DEBC，DEBC，于是得到四边形BCED是平行四边形；（2）连接BE，根据已知条件得到ADBDDE2，根据直角三角形的判定定理得到ABE90，AE4，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DEAD，DEBC，DEBC，四边形BCED是平行四边形；（2）解：连接BE，DADB2，DEAD，ADBDDE2，ABE90，AE4，cosA，AB1，BE【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得ABE90是解题的关键19（
27、10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是：（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历
28、史本科生的结果有2个，即可得出结果【解答】解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；故答案为：；（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键20（10分）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20
29、本，B款销售数量是10本，销售总价是280元（1）求A，B两款毕业纪念册的销售单价；（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本A款毕业纪念册【分析】（1）直接利用第一周A款销售数量是15本，B款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周A款销售数量是20本，B款销售数量是10本，销售总价是280元，分别得出方程求出答案；（2）利用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，得出不等式求出答案【解答】解：（1）设A款毕业纪念册的销售为x元，B款毕业纪念册的销售为y元，根据题意可得：，解得：，答：A款毕业纪念册的销售为10元，B款毕业纪念册的销售
30、为8元；（2）设能够买a本A款毕业纪念册，则购买B款毕业纪念册（60a）本，根据题意可得：10a+8（60a）529，解得：a24.5，则最多能够买24本A款毕业纪念册【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键21（8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中若阀门的直径OBOP100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OAOB（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河
31、水关闭过程中POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角CAB67.5，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度（结果保留小数点后一位）（1.41，sin67.50.92，cos67.50.38，tan67.52.41，sin22.50.38，cos22.50.92，tan22.50.41）【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据余角的定义得到BAO22.5，根据等腰三角形的性质得到BAOABO22.5，由三角形的外角的性质得到BOP45，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB
32、的取值范围为：90POB0；（2）如图，CAB67.5，BAO22.5，OAOB，BAOABO22.5，BOP45，OB100，OEOB50，PEOPOE1005029.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用22（10分）如图，已知一次函数y2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y的图象相切于点C（1）切点C的坐标是（2，4）；（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y2x+8的图象向左平移m（m0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y
33、的图象上时，求k的值【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值【解答】解：（1）一次函数y2x+8的图象与反比例函数y的图象相切于点C2x+8x2，点C坐标为（2，4）故答案为：（2，4）；（2）一次函数y2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，点B（4，0）点M为线段BC的中点，点M（3，2）点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2m，4），（3m，2）k4（2m）2（3m）m1k4【点评】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式
34、可解决问题23（10分）如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到AOPPOCAOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出ABCAOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到APOCOP，由AOPCOP，等量代换可得出APO
35、AOP，再由OAOP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60得到AOP为60，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出OBCAOP60，再由OBOC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出COB为60，利用平角的定义得到POC也为60，再加上OPOC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角OCP为60，可求出PCD为30，在直角三角形PCD中，利用30所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB4PD4【解答】（1）
36、证明：A关于OP的对称点C恰好落在O上AOPCOP，AOPAOC，又ABCAOC，AOPABC，POBC；（2）解：连接PC，CD为圆O的切线，OCCD，又ADCD，OCAD，APOCOP，AOPCOP，APOAOP，OAAP，OAOP，APO为等边三角形，AOP60，又OPBC，OBCAOP60，又OCOB，BCO为等边三角形，COB60，POC180（AOP+COB）60，又OPOC，POC也为等边三角形，PCO60，PCOPOC，又OCD90，PCD30，在RtPCD中，PDPC，又PCOPAB，PDAB，AB4PD4【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30直角三角形
37、的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键24（12分）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x1对称，点A的坐标为（1，0）（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15，求线段CP的长度；（3）当axa+1时，二次函数yx2+bx+c的最小值为2a，求a的值【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案；（3）分对称轴x1在a到a+1范围的右侧、
38、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得【解答】解：（1）点A（1，0）与点B关于直线x1对称，点B的坐标为（3，0），代入yx2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为yx22x3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，3），则OBOC3，OBC45，若点P在点C上方，则OBPOBCPBC30，OPOBtanOBP3，CP3；若点P在点C下方，则OBPOBC+PBC60，OPOBtanOBP33，CP33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+11，即a0，则函数的最小值为（a+1）22（a+1）32a，解得a1（正值舍去）；若a1a+1，即0a1，则函数的最小值为1232a，
39、解得：a2（舍去）；若a1，则函数的最小值为a22a32a，解得a2+（负值舍去）；综上，a的值为1或2+【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用25（12分）（1）数学理解：如图，ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图，在任意直角ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若ABBE+AF，求ADB的度数；（3）联系拓广：如图，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于
40、点M，N，求MN，AM，BN的数量关系【分析】数学理解：（1）由等腰直角三角形的性质可得ACBC，AB45，ABAC，由正方形的性质可得DEDFCE，DFCDEC90，可求AFDFCE，即可得AB（AF+BE）；问题解决：（2）延长AC，使FMBE，通过证明DFMDEB，可得DMDB，通过ADMADB，可得DACDABCAB，ABDCBDABC，由三角形内角和定理可求ADB的度数；联系拓广：（3）由正方形的性质可得DEAC，DFBC，由平行线的性质可得DABADM，NDBABD，可得AMMD，DNNB，即可求MN，AM，BN的数量关系【解答】解：数学理解：（1）AB（AF+BE）理由如下：AB
41、C是等腰直角三角形ACBC，AB45，ABAC6四边形DECF是正方形DEDFCECF，DFCDEC90AADF45AFDFCEAF+BEBCACAB（AF+BE）问题解决：（2）如图，延长AC，使FMBE，连接DM，四边形DECF是正方形DFDE，DFCDEC90BEFM，DFCDEB90，DFEDDFMDEB（SAS）DMDBABAF+BE，AMAF+FM，FMBE，AMAB，且DMDB，ADADADMADB（SSS）DACDABCAB同理可得：ABDCBDABCACB90，CAB+CBA90DAB+ABD（CAB+CBA）45ADB180（DAB+ABD）135联系拓广：（3）四边形DECF是正方形DEAC，DFBCCADADM，CBDNDB，MDNAFD90DACDAB，ABDCBDDABADM，NDBABDAMMD，DNNB在RtDMN中，MN2MD2+DN2，MN2AM2+NB2，【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全
