1、第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C（小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果（其中m与n为互质的自然数）, 那么m+n的值是（ ）. （A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029解答：B。 在考试中，选择恰当的方法很重要。这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一
2、定是，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=31161，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是所以选B！如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013
3、.具体过程是这样的：这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m与n为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D。2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:再加入50克含糖率20%的糖水. 再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.最终,（ ）得到的糖水最甜.（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙解答：C。根据题意和我们所学过的公式，可以分别求出三人得到的糖水的最终浓度！(1) 甲配得的糖水含糖率：;(2) 乙配得的糖水含糖率：;(3) 丙配得的糖水含糖率：.所以，丙最甜！其实我们
4、还可以用另一种方法来解答，如果对概念理解的比较清晰的话，我们可以知道，向共同的糖水中加另一种糖水，加的糖水的浓度越大，糖水质量越多就越甜。甲又加入的是浓度为：20%的糖水50克乙又加入的是浓度为20（20+30）=40%的糖水50克丙又加入的是浓度为2（2+3）=40%的糖水100克很明显，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A）22 （B）
5、20 （C）17 （D）16解答：A。无论上还是下，每一米所用的时间都是一样的，根据题意，每向上爬3米会下降1米，我们列一个表格。青蛙实际高度325476989111012向上爬303030301202向下滑010101010010从上表可以看出，当第二次到达了离井口3的地方的时候，青蛙运动了，34+1+14=17米。而当这只青蛙跳出井口的时候共走了35+2+15=22米。根据题意171722=22分钟。4. 已知正整数A分解质因数可以写成, 其中、 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 的最小值是（ ）.（A）10
6、（B）17 （C）23 （D）31解答：D。根据“A的二分之一是完全平方数”可以知道，（-1）、都是2的倍数。根据“A的三分之一是完全立方数”可以知道，、（-1）、都是3的倍数。根据“A的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道，、（-1）都是5的倍数。同时满足三个条件的的最小值恰好是3,5=15；的最小值恰好是2,5=10；的最小值恰好是2,3=6。所以， 的最小值是15+10+6=31。5. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开.
7、 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）12解答：C。可以把所有的情况都画出来然后通过比较找出三角形最多的图形，再仔细的数一下，发现有11个，所有的图如下：还有一种办法，如果没有三角形内部的两条线捣乱的话，那么这个题就简单多了，我们从简单的情况入手！当没有三角形内部的两条线时，这两个三角形在移动的过程中，最多可以有8个三角形（如图1），在这种情况下再按照题中条件，再填两条线，在不与已有边重合的情况下，至少多2个三角形（如图2），而最多只能多3个（如图3）。6. 从111这1
8、1个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个. 其中必有两个数互质; 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0解答：B。对于“任意必有”这样的语句，应该考虑到“抽屉原理”。如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于6的！看题：第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于6的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造（1,2,3）（4,5）（6,7）（8,9）（10,11）其实构造的方法不是唯一的，还有很多构造方法
9、如：【（1,3,4）（2,9）（8，11）（5，6）（7,10）】；第二句很容易举出反例，（6、7、8、9、10、11）最大的六个数就没有倍数关系，同样的还有：（4、5、6、7、9、11）；第三句，根据第二句话的反例，可以看出，第三句话是成立的，那么就要严谨的证明一下，还是要构造抽屉，按照什么构造呢，可以按照1到11中的5个质因数来构造5个抽屉，1放在哪个抽屉里都可以,（1,2,4,8）（3,6,9）（5,10）（7）（11）这五个抽屉中，要任意取6个数，必有两个数在同一个抽屉中，就必满足其中一个数的2倍是另一个数的倍数。所以有两句是正确的，最后的答案是B。二、填空题 (每小题 10 分, 满
10、分40分)7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_种书.解答：7。从简单的情况思考，若只有两个人，那么为了符合题意，一定有6本不同的书，我们可以给这6本数编号为1、2、3、4、5、6，那么设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6.这时候又来了第三个人，我们称呼他为丙，这是丙为了符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为3、4、5、6也符合题意，这时要注意的是，当三个人，只买6本书的时候，当甲、乙买的书确定之后，丙购买的编号是唯一的，就是丙不能买甲、乙都买的书，如果他买了一本甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的
11、书！列一个表格让我刚才说的更清晰：123456甲乙丙把3个人的情况弄明白之后，看四个人的，这时丁来了，站在刚才丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书了，所以4个人的时候至少是7本，可以给出构造如下：1234567甲乙丙丁即甲买的书编号为（1, 2, 3, 4）, 那么乙买的书的编号为（1, 2, 5, 6）, 为使种数最少, 丙买的书的编号为（3, 4, 5, 6）, 此时丁可以买（1, 3, 5, 7）.8. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC 和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4.
12、 那么小明上学与放学回家所用的时间比是 .解答：。简单的赋值法可以计算出结果，设AB是100米，那么BC的路程就是200米，CD的路程就是100米；设小明平路的速度是3米/秒，那么他上坡路、下坡路上的速度就分别是2米/秒、4米/秒.根据赋值来计算，小明上学的时间是：小明放学回家的时间是：所以时间比为！如果觉得赋值法不够严谨的话，那么可以设, 则, ; 设 , 则 , . 可以计算这些算式得：,所以.9. 黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2
13、个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是 .解答：12。仔细阅读题中所说的操作，会发现无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加3和减3三种情况！（比如说1和2的个数，无论怎样操作，对于这两个数的个数只有3类情况，要么同时减少一个；要么1的个数加2个，2的个数少一个；要么1的个数少1个，2的个数加2个）。那么继续，看1的个数和2的个数，用2的个数减去1的个数，他们的差是22-11=11，11除以3的余数是2，那就是说当数字2的个数比1的个数多时，他们的差一定是除以3余2的；但如果数字1的个数比2多的话，那么这个差除以3的余数
14、一定是1，（可以试着操作几次，让1的个数多与2的个数）。这样都算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现1的个数和4的个数，它们的差是33，正好是3的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的1的个数和4的个数要么一样多，要么个数差3。再根据题意，最后只剩下3个数，如果1的个数为3，那么2的个数必然为2，不合题意。如果的个数为3，而1和2不可能都为0个，所以操作到最后时1的个数和4的个数都只能为0，而2的个数一定是2，那么3的个数就是1，所以剩下的三个数是2个2和1个3，他们乘积是12.这个题，说了好多，其实就是考察模3同余的问题。同余是数论问题中比较难的一部分，而华杯中的数论问题是不可
15、缺少的，看完答案的同学，如果你可以走进决赛，那就一定要在数论中再下一番功夫，功夫的重点在用代数式的形式解决数论问题，还有就是同余的应用等。10. 如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是 .解答：64。题中只给出了一个具体数据DG=5，要求出正方形的面积，我们可以用一个未知数x作为过渡，找到DG和正方形边长的关系，关系有了，就可以求出边长，进而求出面积。设边长是8x。 所以BI=AH，若整个正方形的面积是8份的话，ADH的面积是1份，AH是AB的，即AH=BI=2x，HI=4x，如果连接CH，那么CHI的面积是CBI的2倍，就是2份，
16、而FHI的面积是1份，所以CF=FI，进行不下去了，要向DG靠拢，所以做条辅助线：延长FG交DH于N, DA于M（如右图） 根据燕尾模型，DN=NH，在梯形CDHI中，CF=FI,DN=NH，所以FN与CD、HI平行（平行线分线段成比例），所以DM=MA平行后，FG与HI之间的距离相等，而所以FG=HI=4x又因为三角形FDG的面积是三角形DGN面积的2倍, 所以GN=2x根据对称性可知, NM = (8x6x)2 = x, 所以GM = 3x.在直角三角形GDM中, DG = 5x. 又因为 DG = 5所以 x = 1.最终, 正方形的面积为88 = 64.最后一题的难度比较大，考察了很多图形类的知识，里面有很多5年级秋季班学过的几何模型。还用到了平行线分线段的比例关系。作为高年级的试题，与比相关的试题是必不可少的，本次初赛中，已经有3道题涉及到了比，而且难度各不相同，相比较，初赛的行程题简单了一些，那么在复赛中，同学们要小心了，强烈建议多复习一些与比例相关的行程问题！
