1、 第 1 页 （共 6 页） 绝密本科目考试启用前 20172017 北京理北京理 【试卷点评】 2017 年北京高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知 识、基本技能以及数学思想方法的考查我先说一说 2017 年总体试卷的难度，2017 年文科也好、 理科也好，整个试卷难度较 2015、2016 年比较平稳，北京高考应该是从 2014 年以前和 2014 年以 后，2015、2016 年卷子难度都比较低，今年延续了前两年，整体难度比较低今天我说卷子简单 在于第 8 题和第 14 题，难度下降了，相比 2014、2015、2016，整体都下降了 1体现新课标理念，
2、实现平稳过渡试卷紧扣北京考试大纲，新增内容的考查主要是对基本 概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度 创新，符合北京一贯的风格 2关注通性通法，试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方 法为依托，题目没有偏怪题，以能力考查为目的的命题要求 3体现数学应用，联系实际，例如理科第17 题考查了样本型的概率问题，第三问要求不必证 明、直接给出结论(已经连续6年)，需注重理解概念的本质原理，第8 题本着创新题的风格，结合生 活中的实际模型进行考查，像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题，都是由生活中的实际模型 转化来的，对推动
3、数学教学中关注身边的数学起到良好的导向 第一部分第一部分( (选择题选择题 共共4040分分) ) 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1若集合 Ax|2x1，Bx|x1 或 x3，则 AB( ) Ax|2x1 Bx|2x3 Cx|1x1 Dx|1x3 【解析】利用数轴可知 ABx|2x1，故选 A 2若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 【解析】z(1i)(ai)(a1)(1a)i，因对应的点在第二象限，故 a10，1a0，解得，
4、a1 3执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( ) A2 B3 2 C 5 3 D 8 5 【解析】k0 时，03 成立，第一次进入循环 k1，S2，13 成立， 第二次进入循环，k2，S3 2，23 成立，第三次进入循环，k3，S 5 3，33 不成立，输出 S 5 3，故选 C 4若 x，y 满足 x3， xy2， yx， 则 x2y 的最大值为( ) A1 B3 C5 D9 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点 A(1， 1)，B(3，3)，C(3，1)为顶点的三角形及其内部 当直线 zx2y 经过点 B 时，x2y 取得最大值，故 zmax3239，故选 D
5、第 2 页 （共 6 页） 5已知函数 f(x)3x(1 3) x，则 f(x) ( ) A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数 【解析】f(x)3 x(1 3) x(1 3) x3xf(x)，故函数是奇函数，并且 3x是增函数，(1 3) x是减函数， 根据增函数减函数增函数，故函数是增函数，故选 A 6设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn”是“m n0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 存在负数 ，使得 mn，则 m n
6、n n|n|20，因而是充分条件，反之 m n0，不能推 出 m，n 方向相反，则不是必要条件 7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( ) A3 2 B2 3 C2 2 D2 【解析】根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 PABCD)如图 所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体 中由图可知该四棱锥的最长棱为 PD，PD 2222222 3 8根据有关资料，围棋状态空间复杂度 的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物 质的原子总数N约为1080 则下列各数中与M N 最接近的是(参考数据：lg3048)( ) A1033 B1053 C1073 D1093 【解析】
7、 M3361， N1080， M N 3361 1080， 则 lg M Nlg 3361 1080lg 3 361lg1080361lg 38093 故M N10 93 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9若双曲线 x2y 2 m1 的离心率为 3，则实数 m_ 【解析】由题意知1m 1 e23，则 m2 10若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则a 2 b2_ 【解析】 an为等差数列， a11， a48a13d13d， 故 d3， 故 a2a1d132 bn 为等比数列，b11，b48b1 q3q3，故 q2，故 b2b1 q2则a 2 b2 2
8、 21 11在极坐标系中，点 A 在圆 22cos 4sin 40 上，点 P 的坐标为(1，0)，则|AP| 的最小值为_ 【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 x2y22x4y40，整理为(x1)2(y2)21 ， 圆心 C(1，2)，点 P 是圆外一点，故|AP|的最小值就是|AC|r211 12在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin 1 3，则 cos()_ 【解析】 与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，kZ，故 2k，kZ故 cos( )cos(2k)cos 2(12sin2)(121 9) 7 9 13能够说明“设 a，
9、b，c 是任意实数若 abc，则 abc”是假命题的一组整数 a，b， 第 3 页 （共 6 页） c 的值依次为_ 【解析】123，1(2) 33 相矛盾，故验证是假命题 14三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标 分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工 作时间和加工的零件数，im1，2，3 记 Q1为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q2，Q3中最大的是_ 记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则 p1，p2，p3中最大的是_ 【解析】作图可得，A1B
10、1中点纵坐标比 A2B2，A3B3中点纵坐 标大，故第一位选 Q1，分别作 B1，B2，B3关于原点的对称点 B1，B2，B3，比较直线 A1B1，A2B2，A3B3斜率，可得 A2B2 最大，故选 p2 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分分解答应写出文字说明，演算解答应写出文字说明，演算 步骤或证明过程步骤或证明过程 15(本小题 13 分)在ABC 中，A60，c3 7a 求 sinC 的值； 若 a7，求ABC 的面积 【解析】在ABC 中，因 A60，c3 7a，故由正弦定理得，sin C csin A a 3 7 3 2 3 3 14 ； 因 a7，故 c3 7
11、73，由余弦定理得，a 2b2c22bccos A 得，72b2322b31 2， 解得，b8 或 b5(舍)，故ABC 的面积 S1 2bcsin A 1 283 3 2 6 3 16(本小题 14 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD平面 ABCD， 点 M 在线段 PB 上，PD/平面 MAC，PAPD 6，AB4 (I)求证：M 为 PB 的中点； (II)求二面角 BPDA 的大小； (III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 【解析】(I)设 ACBDO，连接 OM因 PD平面 MAC 且平面 PBD平面 MACMO，故 PD MO
12、因 O 为 BD 中点，故 M 为 PB 中点 (II)取 AD 中点 E，连接 PE因 PAPD，故 PEAD，又因平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD 平面 ABCDAD，PE平面 PAD，故 PE平面 ABCD，建立如图所示空间直角坐标系， 第 4 页 （共 6 页） 则 B(2，4，0)，P(0，0， 2)，D(2，0，0)，A(2，0，0)，则DP (2，0， 2)，DB (4，4， 0) 易知平面 PDA 的一个法向量 m(0， 1， 0) 设平面 BPD 的一个法向量 n(x0， y0， z0)， 则 n DP (x0，y0，z0) (2，0， 2)2x0 2z00，n D
13、B (x0，y0，z0) (4，4，0)4x04y00， 故可取 n(1，1， 2)设二面角 BPDA 的平面角为 (易知为锐角)，则 cos |cosm，n| m n |m|n| 1 1 1212（ 2）2 1 2，故 3，即二面角 BPDA 的大小为 3 (3)解 由(2)可知 M(1，2， 2 2 )，C(2，4，0)，MC (3，2， 2 2 )设直线 MC 与平面 BDP 所成 的角为 ， 则有 sin |cos MC ， n | MC n |MC | |n| |321| 11（ 2）23222 2 2 2 2 6 9 故 直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为2 6 9 17
14、(本小题 13 分)为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一 组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其 中“*”表示服药者， “”表示未服药者 (1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； (2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 17 的人数， 求 的分布列和数学期望 E()； (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小(只需写 出结论) 【解析】(1)由题图知，在服药
15、的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，故从服药的 50 名患 者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为15 50 3 10 (2)由题图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 17 的有 2 人：A 和 C故 的所有可能取 值为 0，1，2P(0)C 2 2 C24 1 6，P(1) C12C12 C24 2 3，P(2) C22 C24 1 6故 的分布列为 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 E()01 61 2 32 1 61 第 5 页 （共 6 页） (3)由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的
16、方差大 18(本小题 14 分) 已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)过点(0，1 2)作直线 l 与抛物线 C 交于 不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 ()求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； ()求证：A 为线段 BM 的中点 【解析】(1)把 P(1，1)代入 y22px，得 p1 2，故抛物线 C 的方程为 y 2x，焦点坐标为(1 4，0)，准 线方程为 x1 4 (2)当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，故直线 MN(也 就是直线 l)斜率存在且不为零由
17、题意，设直线 l 的方程为 ykx1 2(k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)由 ykx1 2， y2x， 消去 y 得 4k2x2(4k4)x10考虑 (4k4)244k2 16(12k)，由题可知有两交点，故判别式大于零，故 k1 2则 x1x2 1k k2 ，x1x2 1 4k2因点 P 的坐标为(1，1)，故直线 OP 的方程为 yx，点 A 的坐标为(x1，x1)直线 ON 的方程为 yy2 x2x，点 B 的坐标为(x1，y2x1 x2 )因 y1y2x1 x2 2x1y1x2y2x12x1x2 x2 kx11 2 x2 kx21 2 x12x1x
18、2 x2 （2k2）x1x21 2（x2x1） x2 （2k2） 1 4k2 1k 2k2 x2 0 故 y1y2x1 x2 2x1 故 A 为线段 BM 的中点 19(本小题 13 分)已知函数 f(x)excos xx (1)求曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0， 2上的最大值和最小值 解 (1)因 f (x)ex cos xx，故 f (0)1，f (x)ex(cos xsin x)1，故 f (0)0，故 yf (x)在(0，f (0)处的切线方程为 y10 (x0)，即 y1 (2)f (x)ex(cos xsin x)1，令 g(
19、x)f (x)，则 g(x)2sin x ex0 在0， 2上恒成立，故 g(x)在 0， 2上单调递减，故 g(x)g(0)0，故 f(x)0 且仅在 x0 处等号成立，故 f (x)在0， 2上单调 递减，故 f (x)maxf (0)1，f (x)minf( 2) 2 20 (本小题 13 分)设an和bn是两个等差数列， 记 cnmaxb1a1n， b2a2n， ， bnann(n 1，2，3，)，其中 maxx1，x2，xs表示 x1，x2，xs这 s 个数中最大的数 (1)若 ann，bn2n1，求 c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列； (2)证明：或者对任意正数 M，存在
20、正整数 m，当 nm 时，c n nM；或者存在正整数 m，使得 第 6 页 （共 6 页） cm，cm1，cm2，是等差数列 【解析】(1)c1b1a1110，c2maxb12a1，b22a2max121，3221，c3 maxb13a1，b23a2，b33a3max131，332，5332当 n3 时，(bk1 nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0，故 bknak关于 kN*单调递减故 cn maxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n故对任意 n1，cn1n，于是 cn1cn 1，故cn是等差数列 (2)证明：设数列an和bn的公差分别为 d1，d2，则
21、 bknakb1(k1)d2a1(k1)d1n b1a1n(d2nd1)(k1)故 cn b1a1n（n1）（d2nd1），当d2nd1时， b1a1n，当d2nd1时. 当 d10 时，取正整数 md2 d1，则当 nm 时，nd1d2，因此 cnb1a1n此时，cm，cm1， cm2，是等差数列 当 d10 时，对任意 n1，cnb1a1n(n1)maxd2，0b1a1(n1)(maxd2，0 a1)此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列 当 d10 时，当 nd2 d1时，有 nd1d2故 cn n b1a1n（n1）（d2nd1） n n(d1)d1 a1 d2 b1d2 n n( d1) d1 a1 d2 |b1 d2| 对 任 意 正 数 M ， 取 正 整 数 m max M|b1d2|a1d1d2 d1 ，d2 d1 ，故当 nm 时，cn nM
