1、高一数学竞赛选拔赛试题一、 选择题1.化简得 （ ） A B C D2已知集合，则下列正确的是（ ）A B.C. D. 3当时，则下列大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 4.设圆的方程为，直线的方程为 ()，圆被直线截得的弦长等于 ( )(A) (B) (C) (D) 与有关 5.函数是 ( )(A) 周期为的偶函数 (B) 周期为的奇函数(C) 周期为的偶函数 (D) 周期为的奇函数 6.设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）(A) (B) (C) (D) 7.已知为三条不同的直线，且平面，平面，(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，
2、则与一定不垂直；(3)若，则必有；(4)若，则必有其中正确的命题的个数是 ( )(A) (B) (C) (D) 8.函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 二、填空题9已知，则 。10已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为 。11已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合= 。12高一年级某班的部分同学参加环保公益活动-收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个。若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小
3、组共有 个学生。13代数式的最小值为 。14设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值 是 。15定义在上的函数满足：，则 16.已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为 . 17.已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是 . 18.关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是 .三解答题20. 圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值21.设函数的定义域是，且对任意都有若对常数，判断在上的单调性；22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：1 对任意的，总有；2 ；3 若，且，则有成
4、立，并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.参考答案一、选择题：AACABDCB3解：当时，。又因为。所以 。 选 C。二、 填空题90得 而10 1112设甲、已、丙三个组的人数分别为。则有，故233=，同理，均为整数，则或，检验的方可。13数型结合得 14长方体的展开图的周长为，由排序或观察得： 周长的最小值为。15. 7 16. 5 17. (-2,2) 18. 三、解答题19解：（1）正四棱锥RABCD中Q是RBC的重心，RQBC 又RO底面ABCD，
5、ROBC，RORQ=R，BC平面ROQ 平面ROQ平面RBC （2）延长RQ交BC于点M，由PQ与OM不平行且共面，所以它们必相交，设PQOM=N，则PNO为直线PQ与底面ABCD所成的角，可求得，即直线PQ与底面ABCD所成的角为 （3）在BC上取一点K，使则由此可求得PQ与BR所成的角为计算可得，20解：设，设圆的参数方程为，则，点是关于点的对称点，当=1时，有最大值|；当时，|有最小值21解：(1)对任意，由，存在使得且，又，在上是增函数20.解：（1）取得，又由，得 （2）显然在上满足1 ；2 .若，且，则有 故满足条件1、2、3，所以为友谊函数.(3)由 3知任给其中，且有，不妨设则必有：所以：所以：.依题意必有,下面用反证法证明：假设，则有或(1) 若，则，这与矛盾；-12分(2)若，则，这与矛盾； 故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有，证毕.-14分
