1、平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中的基本公式一一.两点间的距离公式两点间的距离公式 当当AB不平行于坐标轴，也不在坐标轴不平行于坐标轴，也不在坐标轴上时，从点上时，从点A和点和点B分别向分别向x轴，轴，y轴作垂线轴作垂线AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线其中直线BB1和和AA2相交于点相交于点C。C在直角在直角ACB中，中，|AC|=|A1B1|=|x2x1|，|BC|=|A2B2|=|y2y1|，C由勾股定理得由勾股定理得|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2x1|2+|y2y1|2
2、，由此得到计算两点间距由此得到计算两点间距离的公式：离的公式：d(A，B)=|AB|222121)()xxyy（当当AB平行于平行于x轴时，轴时，d(A，B)=|x2x1|；当当AB平行于平行于y轴时，轴时，d(A，B)=|y2y1|；当当B为原点时，为原点时，d(A，B)=2211xy求两点距离的步骤求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外）计算
3、两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即两个变量，即x=x2x1，y=y2y1.（3）计算）计算 d=22xy（4）给出两点的距离）给出两点的距离 d.通过以上步骤，对任意的两点，只通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离最后算出两点的距离.例例1.已知已知A(2，4)，B(2，3)，求，求d(A，B)。解：解：x1=2，x2=2，y1=4，y2=3，x=x2x1=4，y=y2y1=7，d(A，B)=2265xy例例2已知点已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0),求证：求证：ABC是等腰三角形。是等腰三角形。
4、证明：因为证明：因为 d(A，B)=22(3 1)(42)8d(A，C)=225 10220（）（）d(B，C)=22530420（）（）因为因为|AC|=|BC|，且，且A，B，C不共线，不共线，所以所以ABC是等腰三角形。是等腰三角形。二二.坐标法坐标法 坐标法：坐标法：就是通过就是通过建立坐标系建立坐标系（直线坐标系或者是直（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题角坐标系），将几何问题转化转化为代数问题，再通过一为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的用坐标法证题的步骤步骤（1）根据题设条件，在适当位置）根据题设条件，在适当位置建立坐标系
5、建立坐标系（直线（直线坐标系或者是直角坐标系）；坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，未知点的坐标，进而进而推导推导结论结论.例例3已知已知ABCD，求证：，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明：取证明：取A为坐标原点，为坐标原点，AB所在的直线为所在的直线为x轴，建轴，建立平面直角坐标系立平面直角坐标系xOy，依据平行四边形的性质可设点依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，所以所以 AB2=a2，AD2=(ba)2+c2
6、，AC2=b2+c2，BD2=(b2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，所以所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).三三.中点坐标公式中点坐标公式 已知已知A(x1，y1),B(x2，y2)两点，两点，M(x，y)是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有 121222xxxyyy（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以
7、研究，确定解题策略。中点特征加以研究，确定解题策略。（2）若已知点）若已知点P(x，y)，则点，则点P关于点关于点M(x0，y0)对称的点坐标为对称的点坐标为P(2x0 x，2y0y).例例4已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。解：因为平行四边形的解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。所以它们的坐标也相同。设设D点的坐标为点的坐标为(x，y)，则则235122202122xy 解得解得 04xy所以点所以点D的坐标是的坐标是(0，4).例例5 已知点已知点A(1，3)，B(
8、3，1)，点，点C在在坐标轴上，坐标轴上，ACB=90，则满足条件的点，则满足条件的点C的个数是（的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：若点解：若点C在在x轴上，设轴上，设C(x，0)，由，由ACB=90，得，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，(13)2+(31)2=(x+1)2+32+(x3)2+12，解得解得x=0或或x=2,若点若点C在在y轴上，设轴上，设C(0，y)，由，由ACB=90得得|AB|2=|AC|2+|BC|2，可得可得y=0 或或y=4，而其中原点而其中原点O(0，0)计算了两次，计算了两次，故选故选C.例例6ABD和和BCE是在直线是在直线AC同侧的
9、同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CD|.证明：如图，以证明：如图，以B点为坐标原点，取点为坐标原点，取AC所在的直线为所在的直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.设设ABD和和BCE的边长的边长分别为分别为a和和c，则则A(a，0)，C(c，0)D ，E ，3(,)22aa3(,)22cc于是于是|AE|=22222344ccaacaacc|CD|=22223()(0)22acaaacc 所以所以|AE|=|CD|.例例7.求函数求函数y=的最小值的最小值.22148xxx 解：函数的解析式可化为解：函数的解析式可化为 2222(0)(0 1)
10、(2)(02)xx22148xxx 令令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在则问题转化为在x轴上求一点轴上求一点P(x，0)，使，使得得|PA|+|PB|取最小值取最小值.A(0，1)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为A(0，1)，min(|)|13PAPBA B即函数即函数y=的最小值为的最小值为1322148xxx 代数代数几何几何课堂练习课堂练习1 如果一条线段的长是如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点，另一个端点B的横坐标是的横坐标是1，则端点，则端点B的纵的纵坐标是（坐标是（）（A）3 （B）5 （C）3或或5
11、（D）1或或3C2设设A(1，2)，在，在x轴上求一点轴上求一点B，使得，使得|AB|=5，则，则B点的坐标是（点的坐标是（）（A）(2，0)或或(0，0)（B）(，0)（C）(，0)（D）(，0)或或(，0)121121121121D3若若x轴上的点轴上的点M到原点及点到原点及点(5，3)的距离相等，的距离相等，则则M点的坐标是（点的坐标是（）A (2，0)B (1，0)C(1.5，0)D (3.4，0)D4若点若点M在在y轴上，且和点轴上，且和点(4，1)，(2，3)等距离，等距离，则则M点的坐标是点的坐标是 .1(0,)25若点若点P(x，y)到两点到两点M(2，3)和和N(4，5)的距
12、离相等，的距离相等，则则x+y的值等于的值等于 .76已知点已知点A(x，5)关于点关于点C(1，y)的对称点是的对称点是B(2，3)，则点，则点P(x，y)到原点的距离是到原点的距离是 。197已知已知ABC的两个顶点的两个顶点A(3，7)，B(2，5)，若，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则的中点都在坐标轴上，则C点的坐标点的坐标是是 。(2，7)或或(3，5)8 已知已知A(1，2)，B(3，b)两点间的距离等于两点间的距离等于4 ，则则b=。26或或2 本节课总结：本节课总结：一、知识点：二、题型：三、数学思想方法：1.两点间的距离公式2.中点坐标公式1.求两点间的距离2.应用距离关系研究几何性质3.中点公式与中心对称1.特殊到一般2.方程与化归的思想3.坐标法（几何与代数的转化几何与代数的转化）
