1、北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择、填空题1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知正项等比数列中，为其前项和，,则_ .2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列的前n项和为若，则= ， 3、（朝阳区2017届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列的前项和为.若，则 ， 4、（东城区2017届高三上学期期末）数列表示第天午时某种细菌的数量细菌在理想条件下第天的日增长率()当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是5、（丰台区2017
2、届高三上学期期末）在等比数列中，9，则等于（A）9（B）72（C）9或72（D） 9或726、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列的前项和，则_.7、（石景山区2017届高三上学期期末）等差数列中，公差不为零，且，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 8、（通州区2017届高三上学期期末）设Sn为等差数列an的前n项和，若，则9、（西城区2017届高三上学期期末）设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则_；_二、解答题1、（朝阳区2017届高三上学期期末）设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”（）当时，（）若数
3、列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？（）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：2、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列. （）求数列的通项公式； （）设数列的前项和为，求证:.3、（朝阳区2017届高三上学期期中）设是正奇数，数列（）定义如下：，对任意，是的最大奇约数数列中的所有项构成集合（）若，写出集合； （）对，令表示中的较大值），求证：；（）证明集合是有限集，并写出集合中的最小数4、（东城区2017届高三上学期期末）已知是等比数列，满足，数列是首项为，公差为的等差数列
4、（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和5、（海淀区2017届高三上学期期末）对于无穷数列,，若，则称是的“收缩数列”其中，,分别表示中的最大数和最小数已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”()若，求的前项和；()证明：的“收缩数列”仍是；()若，求所有满足该条件的6、（丰台区2017届高三上学期期末）已知无穷数列满足. （）若，写出数列的前4项； （）对于任意，是否存在实数M，使数列中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由； （）当为有理数，且时，若数列自某项后是周期数列，写出的最大值.（直接写出结果，无需证明）7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知
5、数列是公差为2的等差数列，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）求取得最小值时的值.8、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列是无穷数列，满足（）.（）若，求的值；（）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；（）求证：在数列中,使得. 9、（通州区2017届高三上学期期末）已知数列对任意的满足：，则称数列为“T数列”.（）求证：数列是“T数列”；（）若，试判断数列是否是“T数列”，并说明理由；（）若数列是各项均为正的“T数列”， 求证：.10、（西城区2017届高三上学期期末）数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合集合任意整数，都有；集合任意整数，都有
6、（）用列举法表示集合，；（）求集合的元素个数；（）记集合的元素个数为证明：数列是等比数列参考答案一、选择、填空题1、622、3、，4、B5、D6、247、48、369、；二、解答题1、解：（）（） ，或；数列：也是一个“好数列” 3分（）由（）可知，数列必含两项，若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，有种；若取，则，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，另一项可从中任取一个，有种；若取，则，“好数列”必超过项，不符合；若取，则，符合条件，若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；综上，共有66种不同的取值 7分（）证明：由（）易知，一个“好数列”
7、各项任意排列后，还是一个“好数列”又“好数列”各项互不相同，所以，不妨设把数列配对：，只要证明每一对和数都不小于即可用反证法，假设存在，使，因为数列单调递增，所以，又因为“好数列”，故存在，使得，显然，故，所以只有个不同取值，而有 个不同取值，矛盾所以，每一对和数都不小于，故，即13分2、解：（）设的公差为因为成等比数列，所以 即 化简得，即又，且，解得 所以有 7分（）由（）得：所以 因此， 13分3、解：（）数列为：9，15，3，9，3，3，3， 故集合 3分（）证明：由题设，对，都是奇数，所以是偶数从而的最大奇约数， 所以，当且仅当时等号成立 所以，对有，且 所以，当且仅当时等号成立9分
8、（）由（）知，当时，有 所以对，有 又是正奇数，且不超过的正奇数是有限的， 所以数列中的不同项是有限的 所以集合是有限集集合中的最小数是的最大公约数 14分4、解：（）设等比数列的公比为由题意，得，所以 3分又数列是首项为，公差为的等差数列，所以从而 6分（）由（）知数列的前项和为 9分数列的前项和为 12分 所以，数列的前项和为 13分5、解：（）由可得为递增数列，所以，故的前n项和为.-（）因为，所以所以.又因为，所以，所以的“收缩数列”仍是.（）由可得当时，；当时，即，所以；当时，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得，所以同号，这与矛盾；若，则，由（*）可
9、得.猜想：满足的数列是：.经验证，左式=，右式=.下面证明其它数列都不满足（）的题设条件.法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.假设是首次不符合的项，则，由题设条件可得（*），若，则由（*）式化简可得与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以同号，这与矛盾；所以，则，所以由（*）化简可得.这与假设矛盾.所以不存在数列不满足的符合题设条件.法2：当时，所以，即，由可得又，所以可得，所以，即所以等号成立的条件是，所以，所有满足该条件的数列为.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）6、解：（） .4分（）存在满足题意的实数, 且的最小值为1.解法一：猜想，下面用数学归纳法进行证明.
10、（1）当时,，结论成立. （2）假设当时结论成立，即， 当时, ,所以, 即,所以, 故. 又因为, 所以, 所以时结论也成立. 综上,由（1）,（2）知,成立 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1 故的最小值为1. 解法二：当时，若存在满足,且. 显然，则 时，与矛盾； 时，与矛盾； 所以 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1 故的最小值为1. 10分 （） 13分7、解析：（I）（II）8、解析：（III）9、解：()，.3分 ()解得，故数列不是T数列.7分 ()要证只需证.8分下面运用数学归纳法证明。()当n=1时，成立.9分()假设当n=k时，不等式成立，即那么当
11、n=k+1时，是T数列，将上述式子相加，得所以当n=k+1时不等式成立，根据()和()可知，对于任意不等式均成立.14分10、解：（），3分（）考虑集合中的元素由已知，对任意整数，都有，所以，所以由的任意性可知，是的单调递增排列，所以5分又因为当，时，对任意整数，都有所以，所以7分所以集合的元素个数为18分（）由（）知，因为，所以当时，考虑中的元素（1）假设由已知，所以，又因为，所以依此类推，若，则， 若，则满足条件的的排列有1个 若，则，所以此时满足条件的的排列有1个 若，只要是的满足条件的一个排列，就可以相应得到的一个满足条件的排列此时，满足条件的的排列有个10分（2）假设，只需是的满足条件的排列，此时满足条件的的排列有个综上，因为，且当时，12分所以对任意，都有所以成等比数列13分
