1、导数与函数的零点问题测试题含答案一.选择题：本大题共12小题，第1到11小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，第12题为多选题，全部选对为正确.1. 函数的零点所在的区间是( )A B C D2. 已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程的近似解可取为（精确度为）（ ）A B C D3. 函数的零点个数为（ ）A. B. C. D.4. 已知函数，在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）A B C D5. 已知函数.若没有零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D6. 若方程则其解的个数为（ ）A3 B4 C6 D57. 设函数，若关于的方
2、程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）A B C D8. 已知定义在上的奇函数满足，当时，则当函数在上有三个零点时，实数的取值范围是（ ）A B C D9. 设函数（），则方程在区间上的解的个数是（ ）A B C D10. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）A4 B6 C8 D1011. 已知函数若函数恰有8个零点，则的值不可能为（ ）A8 B9 C10 D1212.（多选题）若关于的一元二次方程有实数根，且，则下列结论中正确的说法是（ ）A当时， BC当时， D当时，二.填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上13. 方程的解为_.14. 若函数的图像是连续不断的，有如下的对
3、应值表：123456则函数在上的零点至少有_个.15. 关于的方程有两根，且，则实数的取值范围是_16. 已知函数有唯一零点，则_三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知函数，为的导函数.（）求函数在处的切线方程；（）求证：在上有且仅有两个零点.18.已知函数,.（）求函数的单调区间； （）令两个零点，证明：.19.已知函数（）若试讨论函数的单调性;（）当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.参考数据:20.已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若函数有三个零点，求实数的取值范围.21.已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）讨论函数零点
4、的个数；（）若函数存在两个不同的零点，求证：.22.已知函数，（）当时，求函数的最小值；（）若，证明：函数有且只有一个零点；（）若函数有两个零点，求实数的取值范围导数与函数的零点问题答案一.选择题：1. C因为，所以在上存在零点故选：C.2. B由表知函数零点在区间 ,所以近似解可取为,选B.3. C，当时，；当时，单调递减且 ，故函数有且仅有一个零点故选：4. B在是连续的增函数， 函数一定有零点,且在区间上.故选:B5. A当时，令则恒成立，无解，即无零点.故选：A.6. C方程，即，令 ，易知它们都是偶函数，分别画出它们的图像，由图可知它们有个交点.故选：.7. B作出函数的图象如下图所
5、示：可得：，所以，因为，所以，所以，所以的范围是，故选：B.8. D因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，令，得，又，所以，当时，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当经过点时，当过点时，当经过点时，所以当函数在上有三个零点时，或.故选：D.9. A由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A10. C因为，所以，因为，所以函数零点有偶数个，两两关于对称.当时， ，且单调递减； ，且在上有两个周期，因此当时， 与有4个不同的交点；从而所有零点之和为，选C.11. A
6、易知，当时，方程只有1个实根，从而不可能有8个零点，则的实根为.令，则，则数形结合可知，直线与的图象有2个交点，直线与的图象有3个交点，所以由题意可得直线与的图象有3个交点，则必有，又，所以.故选：12. ABD当时，故A对；方程化为，由方程有两个不等实根得，故B对；当时，画出函数和函数的图象如图，由得，函数和函数的交点横坐标分别为，由图可知， ，故C错，D对；故选：ABD二.填空题：13. 设,即转化为求方程的正实数根由得或(舍)，所以，则故答案为：14. 2由表得，因为函数的图像是连续不断的，所以函数在（1,2）内至少有一个零点，在（4,5）内至少有一个零点，所以函数在上的零点至少有两个.
7、故答案为：215. .设，的零点为，且，需满足 或，解得 或，实数的取值范围是.故答案为:16. 设，则，定义域为，所以为偶函数，所以的图像关于成轴对称，要使有唯一零点，则只能，即，解得，故答案为：.三.解答题：17.解：（），又，所以切点为.故在处的切线方程为； （）因为为偶函数，且，则只需证明在上有且仅有一个零点即可.因为，当时，故在上单调递减，因为，由零点存在定理，可知存在使得，所以在上有且仅有一个零点，因此在上有且仅有两个零点.18.解：（）由题意，函数，则，且，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以函数在上单调递减，在上单调递增. （）由有两个零点可知由且可知，当时，函数单调递
8、减；当时，函数单调增；即的最小值为，因此当时，可知在上存在一个零点；当时，可知在上也存在一个零点，因此，即.19. 解：（）对于函数 当时，则在单调递减；当时，令，则，解得 在单调递减；令，解得，所以在单调递增（）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程即方程在只有一个根令，则令，则在单调递减，在上单调递增，故注意到在无零点，在仅有一个变号的零点在 单调递减，在单调递增，注意到根据题意为 的唯一零点即消去，得：令，可知函数在上单调递增，20.解：（）当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递增；当时，时，即在和上单调递增；时，即在上单调递减；综上：当时， 在上单调递增；当时， 在和上单调递增；在上单调
9、递减；（）因为单调函数至多一个零点，所以，因为所以因为而在和上单调递增；在上单调递减；所以在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点（即1），在上有且仅有一个零点，所以当时，函数有三个零点.21.解：（）函数的定义域为,令,得或,因为,当或时,单调递增；当时,单调递减，所以的增区间为,；减区间为（）取,则当时,所以；又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；下面讨论的情况：当时,因为在单调递减,单调递增,且,根据零点存在定理,有两个不同的零点；当时,由在单调递减,单调递增,且，此时有唯一零点；若,由在单调递减,单调递增,此时无零点；综上,若,有两个不同的零点；若,有唯
10、一零点；若,无零点（）证明：由（2）知,且,构造函数,则,令,因为当时,所以又,所以恒成立,即在单调递增,于是当时,即 ,因为,所,又,所以,因为,且在单调递增,所以由,可得,即22.解：（）当时，所以， 令，得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以当时，有最小值 （）由，得所以当时，函数在上单调递减，所以当时，函数在上最多有一个零点 因为当时， ，所以当时，函数在上有零点综上，当时，函数有且只有一个零点 （）由（2）知，当时，函数在上最多有一个零点因为函数有两个零点，所以 由，得，令因为，所以函数在上只有一个零点，设为当时，；当，时，所以函数在上单调递减；在，上单调递增要使得函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即又因为，所以，又因为函数在上是增函数，且，所以，得又由，得，所以 以下验证当时，函数有两个零点当时，所以因为，且所以函数在上有一个零点又因为（因为，且所以函数在上有一个零点所以当时，函数在内有两个零点综上，实数的取值范围为 下面证明：设，所以，令，得当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以当时，有最小值所以，得成立
