1、2.3.1 数学归纳法数学归纳法 归纳推理是合情推理归纳推理是合情推理，它可以帮助我们，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。自然数相关的命题。1数学归纳法数学归纳法:对于某些与自然数对于某些与自然数n有关的有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0时命题成立；然后时命题成立；然后假设当假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，证明时命题成立，证明当当n=k+1时命
2、题也成立这种证明方法就叫做时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法数学归纳法2数学归纳法的基本思想：数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当，如果当n=n0时，命题成立，再假设当时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立时，命题成立(这时命题这时命题是否成立不是确定的是否成立不是确定的)。根据这个假设，。根据这个假设，如能推出当如能推出当n=k+1时，命题也成立，时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于那么就可以递推出对所有不小于n0的正整的正整数数n0+1，n0+2，命题都成立，命题都成立.例如在本章例如在本章
3、2.1节的练习中，同学们用归节的练习中，同学们用归纳推理猜想到纳推理猜想到 223333(1)123(*)4n nn 这个猜想是一个与自然数相关的命题，这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（其正确性有待证明。要证明公式（*）成）成立，原则上要对每一个正整数立，原则上要对每一个正整数n实施证明。实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：（1）当）当n=1时，（时，（*）式左端等于）式左
4、端等于1，右端，右端也等于也等于1，因此（，因此（*）式对）式对n=1成立；成立；（2）假设当）假设当n=k时，（时，（*）式成立，即假设）式成立，即假设223333(1)1234kkk在此前提下，可推出在此前提下，可推出22333333(1)123(1)(1)4kkkkk而而22232(1)(1)(1)(1)44kkkkkk22(1)(2)4kk 由此可见在假设（由此可见在假设（*）式对）式对n=k成立的前成立的前提下，推出（提下，推出（*）式对）式对n=k+1成立。成立。于是可以断定（于是可以断定（*）式对一切正整数）式对一切正整数n成立成立.由步骤（由步骤（1），可知（），可知（*）式对
5、）式对n=1成立；成立；由（由（*）式对）式对n=1成立及步骤（成立及步骤（2），可知对），可知对n=1+1=2，（，（*）式成立；再由（）式成立；再由（*）式对）式对n=2成立及步骤（成立及步骤（2），可知对），可知对n=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，n=(k1)+1=k，都成立。都成立。于是（于是（*）式对一切正整数）式对一切正整数n成立。成立。数学归纳法：数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果一个与自然数相关的命题，如果 那么可以断定，这个命题对那么可以断定，这个命题对n取第一个取
6、第一个值后面的所有正整数成立。值后面的所有正整数成立。（1）当）当n取第一个值取第一个值n0时命题成立；时命题成立；（2）在假设当）在假设当n=k(kN+，且，且kn0)时命时命题成立的前提下，推出当题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也时命题也成立，成立，例例1用数学归纳法证明：如果用数学归纳法证明：如果an是一是一个等差数列，公差是个等差数列，公差是d，那么，那么an=a1+(n1)d对一切对一切nN+都成立。都成立。证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=a1，右边，右边=a1,等式是成立的；等式是成立的；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即ak=a1+
7、(k1)d，那么那么ak+1=ak+d=a1+(k1)d+d=a1+kd，这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立，由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。例例2用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2.证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；等式成立；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2.那么那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1 =k2+2(k+1)1=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当这就是
8、说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立，由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。例例3用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：21 42 73 10(31)(1)nnn n 证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=4，右边，右边=4，因为左边因为左边=右边，所以等式是成立的；右边，所以等式是成立的；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即 21 42 73 10(31)(1)kkk k 21 4 2 7 3 10(31)(1)3(1)1 (1)(1)(34)k kkkk kkk 22(1)(34)(1)(2)kk
9、kkkk这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立，由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。思考思考1 1：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？学得到的结论正确吗？解解:设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+
10、1)+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何nNnN*都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何下，就断言等式对任何nNnN*都成立，为时尚早都成立，为时尚早证明：证明：当当n=1时，左边时，左边,21右边右边,212111 假假设设n=k时，时，等式成立，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1时时 1322121212
11、121kk等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考2 2：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132 练习：练习：1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明2)1()13(1037241nnnn2.用数学归纳法证明等差数列的前用数学归纳法证明等差数列的前n项和项和公式公式1(1)2nn nSnad2假设n=k（kn0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，课堂小结：（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题.（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立由1和2对任意的nn0,nN*命题成立
