1、2018-2019学年江西省南昌市高一下学期期末数学试题一、单选题1数列的一个通项公式为（ ）ABCD【答案】C【解析】利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.2已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】D【解析】解一元二次不等式与分式不等式,可分别得集合A与集合B,由集合交集的运算即可得解.【详解】集合,集合解不等式可得,由交集运算可得即故选:D【点睛】本题考查了一元二次不等式与分式不等式的解法,集合交集的简单运算,属于基础
2、题.3执行下图所示的程序框图，若输出的，则输入的x为（ ）A0B1C0或1D0或e【答案】C【解析】根据程序框图,分两种情况讨论,即可求得对应的的值.【详解】当输出结果为时.当,则,解得 当,则,解得 综上可知,输入的或故选:C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,指数方程与对数方程的解法,属于基础题.4在中，则的外接圆半径为（ ）A1B2CD【答案】A【解析】由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.【详解】中,由同角三角函数关系式可得 由正弦定理可得 所以,即的外接圆半径为1故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.
3、5若各项为正数的等差数列的前n项和为，且，则（ ）A9B14C7D18【答案】B【解析】根据等差中项定义及条件式,先求得.再由等差数列的求和公式,即可求得的值.【详解】数列为各项是正数的等差数列则由等差中项可知所以原式可化为,所以 由等差数列求和公式可得故选:B【点睛】本题考查了等差中项的性质,等差数列前n项和的性质及应用,属于基础题.6在锐角中，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由同角三角函数关系式,先求得,再由余弦定理即可求得的值.【详解】因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得又因为,由余弦定理可得 代入可得所以 故选:D【点睛】本题考查了同角三角函数关系式应用,余弦定理求三角形的
4、边,属于基础题.7中国数学家刘微在九章算术注中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】设出圆的半径,表示出圆的面积和圆内接正六边形的面积,即可由几何概型概率计算公式得解.【详解】设圆的半径为则圆的面积为 圆内接正六边形的面积为 由几何概型概率可知,在圆内任取一点,则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为 故选:C【点睛】本题考查了圆的面积及
5、圆内接正六边形的面积求法,几何概型概率的计算公式,属于基础题.8已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据等比数列前n项和的性质可知、成等比数列,即可得关于的等式,化简即可得解.【详解】等比数列的前n项和为,若,根据等比数列前n项和性质可知,、满足：化简可得故选：D【点睛】本题考查了等比数列前n项和的性质及简单应用,属于基础题.9一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（ ）AB中位数为17C众数为17D日销售量不低于18的频率为0.5【答案】B【解析】由统计图,可计算出总数、中位数、众数,算得销量不低于18
6、件的天数,即可求得频率.【详解】由统计图可知,总数,所以A正确;从统计图可以看出,从小到大排列时,中间两天的销售量的平均值为,所以B错误;从统计图可以看出,销量最高的为17件,所以C正确;从统计图可知,销量不低于18的天数为,所以频率为,所以D正确.综上可知,错误的为B故选:B【点睛】本题考查了统计中的总数、中位数、众数和频率的相关概念和性质,属于基础题.10已知则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据条件式,判断出,且.由不等式性质、基本不等式性质或特殊值即可判断选项.【详解】因为所以可得,且对于A,由对数函数的图像与性质可知,所以A错误;对于B,由基本不等式可知,即由于,则,所以B正确;对于
7、C,由条件可得,所以C错误;对于D,当时满足条件,但,所以D错误.综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了不等式性质的综合应用,根据基本不等式求最值,属于基础题.11张丘建算经中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出，则输入m的值为（ ）A240B220C280D260【答案】A【解析】根据程序框图,依次循环计算,可得输出的表达式.结合,由等比数列求和公式,即可求得的值.【详解】由程序框图可知, 此时输出.所以即由等比数列前n项和公式可得解得故选:A【点睛】本题考查了循环结构程序框图的应用,等比数列求和的应用,属于中
8、档题.12若，则的最小值为（ ）A2BCD【答案】D【解析】根据所给等量关系,用表示出可得.代入中,构造基本不等式即可求得的最小值.【详解】因为,所以变形可得 所以 由基本不等式可得当且仅当时取等号,解得 所以的最小值为 故选:D【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用,注意构造合适的基本不等式形式,属于中档题.二、填空题13已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为_.【答案】【解析】先根据平均数计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差.【详解】依题意.所以方差为.故答案为：.【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题.14如图，在中
9、，点D为BC的中点，设，.的值为_.【答案】【解析】在和在中,根据正弦定理,分别表示出.由可得等式,代入已知条件化简即可得解.【详解】在中,由正弦定理可得,则在中,由正弦定理可得,则点D为BC的中点,则所以因为,由诱导公式可知代入上述两式可得所以故答案为: 【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.15若不等式的解集为空集，则实数的能为_.【答案】【解析】根据分式不等式,移项、通分并等价化简,可得一元二次不等式.结合二次函数恒成立条件,即可求得的值.【详解】将不等式化简可得即的解集为空集所以对于任意都恒成立将不等式等价化为即恒成立由二次函数性质可知 化简不等式可得 解得 故答案为:【点
10、睛】本题考查了分式不等式的解法,将不等式等价化为一元二次不等式,结合二次函数性质解决恒成立问题,属于中档题.16已知数列的通项公式为，则该数列的前1025项的和_.【答案】2039【解析】根据所给分段函数,依次列举出当时的值,即可求得的值.【详解】当时, 当时, ,共1个2.当时, ,共3个2.当时, ,共7个2.当时, ,共15个2.当时, ,共31个2.当时, ,共63个2.当时, ,共127个2.当时, ,共255个2.当时, ,共511个2.当时, ,共1个2.所以由以上可知 故答案为:2039【点睛】本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题.三、解答题1
11、7已知中，点D在AB上，并且.（1）求BC的长度；（2）若点E为AB中点，求CE的长度.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据所给条件,结合三角函数可先求得.再由即可求得,进而得的值. 在中由余弦定理即可求得的值.（2）由（1）可知,而,且E为AB中点,可得,.在可由勾股定理求得,再在由勾股定理求得即可.【详解】（1）由,可知,又,可得,所以.在中,由余弦定理可得,所以；（2）由（1）可知,又点E为AB中点,可得,在直角中,在直角中,所以.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,线段关系及勾股定理求线段长的应用,属于基础题.182021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选
12、，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用列举法,列举出偏理方向和偏文方向的所有情况,即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率.（2）利用列举法,列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能,即可求得两人选课相同的概率.【详解】（1）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,
13、生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六种选择.由以上可知共有12种选课模式.小明选择偏理方向又选择生物的概率为.（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三种选择,同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：（物,政,生）,（物,政,生）、（物,政,生）,（物,地,生、（物,政,生）,（物,化,生）、（物,地,生）,（物,政,生）、（物,地,生）,（物,地,生）（物,地,生）,（物,化,生）、（物,化,生）,（物,政,生）、（
14、物,化, 生）,（物,地,生）（物,化,生）,（物,化,生）由以上可知共有9种选课法,两人选课相同有三种,所以两人选课相同的概率.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能即可求解,属于基础题.19在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.（1）求角A的大小；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据三角形面积公式,结合平面向量数量积定义,分别表示出,联立即可求得,进而得的值.（2）由,结合余弦定理即可表示出,由（1）可得.即可联立表示出,进而求得周长.【详解】（1）因为,所以,则而,可得,所以即化简可得所以；（2）因为,所以由余弦定理可得,即,由（1
15、）知,则,所以,所以的周长为.【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理解三角形,平面向量数量积的定义及应用,属于中档题.20某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：售价（元）45678周销量（件）9085837973（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？参考公式：，.参考数据：，【答案】（1）；（2）14元【解析】（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.（2）设售价为元,代入（1）中的回归
16、方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.【详解】（1）由表可得,因为,由参考数据,所以代入公式可得,则,所以线性回归方程；（2）设售价为元,由（1）知周销量为,所以利润,解得,因为,则.所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题.21已知数列的首项，其前n项和为满足.（1）数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和表达式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据等差数列性质,由可知为等差数列,结合首项与公差即可求得的表达式,由即可求得数列的
17、通项公式;（2）代入数列的通项公式可得数列的通项公式.结合错位相减法,即可求得数列的前n项和.【详解】（1）由,可知是等差数列,其公差又,得,知首项为,得,即当时,有当,也满足此通项,故；（2）由（1）可知,所以可得由两式相减得整理得.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法,的应用,错位相减法求数列的前n项和,属于中档题.22已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.（1）证明；（2）若，当且仅当时，取得最小值，求首项的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形
18、后结合不等式性质即可证明.（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.【详解】（1）证明:等差数列的前n项和为,则所以,故为等差数列,因为,所以,解得,因为,得故,从而.（2）而.由条件又由等差数列性质知：所以,因为,所以,那么.等差数列,当且仅当时,取得最小值.,所以.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题.第 19 页 共 19 页
