1、2012010 0 江苏江苏 一、填空题一、填空题 1、设集合 2 1,1,3,2,4,3ABaaAB ，则实数a_ 解析 3B，23a，1a 2、设复数 z 满足 z(23i)64i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为_ 解析 z(23i)2(32 i)，23i 与 32 i 的模相等，z 的模为 2 3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率 是_ _ 解析 31 62 p 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量， 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指 标），所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方
2、图如图 所示，则其抽样的 100 根中，有_根在棉花纤维的长度 小于 20mm 解析 100（000100010004）530 5、 设函数 f(x)x(exae x)(xR) R)是偶函数， 则实数 a_ 解析 g(x)exae x 为奇函数，由 g(0)0，得 a1 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x 2 4 y2 121 上一点 M 的横坐标是 3，则点 M 到此双曲线 的右焦点的距离为_ 解析 法一 x3 代入x 2 4 y2 121， 得 y 15， 不妨设 M(3， 15)， 右焦点 F(4， 0) 故 MF 115 4 法二 由双曲线第二定义知， M 到右焦点 F 的
3、距离与 M 到右准线 xa 2 c 1 的距离比为离心率 ec a 2，故 MF 312，MF4 7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_ 解析 24 1 2223133,输出 25 122263S 8、函数 yx2(x0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为 ak1，k 为正整数，a116， 则 a1a3a5_ 解析在点(ak，ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa当0y 时，解得 2 k a x ，故 1135 ,164121 2 k k a aaaa 9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆4 22 yx上有且仅有四个点到直线 12x5yc0
4、 的距离 为 1，则实数 c 的取值范围是_ 解析圆半径为 2， 圆心 （0， 0） 到直线 12x5yc0 的距离小于 1，| | 1 13 c ，c的取值范围是 （ 13，13） 10、定义在区间(0, ) 2 上的函数 y6cosx 的图像与 y5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 ysinx 的图像交于点 P2，则线段 P1P2的长为_ 解析线段 P1P2的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx5tanx，解得 sinx 2 3 线段 P1P2的长 为 2 3 11、已知函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x
5、，则满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的 x 的范围是_ 解析 2 2 12 ( 1,21) 10 xx x x 12、设实数 x，y 满足 3xy28，4x 2 y9，则 x3 y4的最大值是 解析 解法一：由 3xy28，4x 2 y 9，可知 x0，y0，且1 8 1 xy2 1 3，16 x4 y281，由性质 6，得 2x 3 y427，故 x3 y4的最大值是 27 解二：设x 3 y4( x2 y )m(xy2)n，则 x3y 4x2mny2nm，所以 2mn3， 2nm4， 即 m2， n1. 又16 (x 2 y) 281，1 8(xy 2)11 3，2 x3 y427，
6、故 x3 y4的最大值为 27 13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，6cos ba C ab ，则 tantan tantan CC AB _ 解析（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边和边 a、b 具有轮换性具有轮换性 当当 AB 或或 ab 时满足题意，此时有：时满足题意，此时有： 1 cos 3 C ， 2 1 cos1 tan 21cos2 CC C ， 2 tan 22 C ， 1 tantan2 tan 2 AB C ， tantan 4 tantan CC AB （方法二）（方法二） 22 6cos
7、6cos ba CabCab ab ， 2222 2222 3 6, 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由 正 弦定理，得：上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cC ab ab 14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2 ( S 梯形的周长） 梯形的面积 ，则 S 的最小值是_ 解析设设剪成的小正小正三角形的边长为x，则
8、： 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx （方法一）利用导数求函数最小值（方法一）利用导数求函数最小值 2 2 4(3) ( ) 13 x S x x ， 22 2 2 4(26) (1)(3)( 2 ) ( ) (1)3 xxxx S x x 22 2 22 2 4(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3) (1)(1)33 xxxxxx xx 1 ( )0,01, 3 S xxx，当 1 (0, 3 x时，( )0S x，递减；当 1 ,1) 3 x时，( )0,S x递增； 故当 1 3 x 时，S 的最小值是 32 3 3 （方
9、法二）利用函数的方法求最小值（方法二）利用函数的方法求最小值 令令 11 1 3,(2,3),( , ) 3 2 xt t t ，则：，则： 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt ,故当 131 , 83 x t 时，S 的最小值是 32 3 3 二、解答题二、解答题 15、在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)、B(2，3)、C(2，1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(OCtAB)OC0，求 t 的值 解析（1） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则(2,6),(4,4).A
10、BACABAC 故| 2 10,| 4 2.ABACABAC故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10 （法二）（法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E 为 B、C 的中点，E（0， 1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，故 D（1，4），故所求的两条对角线的长分 别为 BC4 2、AD2 10；（2）由题设知：OC(2，1)， (32 ,5)ABtOCtt 由 (OCtAB) OC 0 ， 得 ： (32 ,5) ( 2, 1)0tt ， 从 而511,t 故 11 5 t 或 者 ： 2 A B O Ct O C，(3,5),AB 2 11 5| AB
11、OC t OC 16、如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD 900 (1)求证：PCBC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 （1）证明：因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD，故 PDBC由BCD900，得 CD BC，又 PDDCD，PD、DC平面 PCD，故 BC平面 PCD因为 PC平面 PCD，故 PCBC （2）（方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC
12、的距离的 2 倍 由（1）知：BC平面 PCD，故平面 PBC平面 PCD 于 PC， 因为 PDDC，PFFC，故 DFPC，故 DF平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 （方法二）体积法：连结 AC设点 A 到平面 PBC 的距离为 h因 为 ABDC，BCD900，故ABC900从而 AB2，BC1，得ABC的面积1 ABC S由 PD 平面 ABCD 及 PD1， 得三棱锥 PABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD平面 ABCD， DC 平面 ABCD， 故 PDDC 又 PDDC1， 故 22 2PCPDDC 由 PCB
13、C， BC1， 得PBC 的面积 2 2 PBC S由 A PBCP ABC VV ， 11 33 PBC ShV，得2h，故点 A 到平面 PBC 的 距离等于2 17、 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m） ， 如示意图， 垂直放置的标杆 BC 的高度 h4m， 仰角ABE，ADE (1)该小组已经测得一组、的值，tan124，tan120，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使与之 差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时，最大？ 解析 （1）tan tan HH A
14、D AD ， 同理： tan H AB ， tan h BD ADABDB，故得 tantantan HHh ，解得： tan4 1.24 124 tantan1.24 1.20 h H 因此，算出的电视塔 的高度 H 是 124m （2）由题设知dAB，得tan,tan HHhHh dADDBd ， 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd H HhH Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ，（当且仅当()125 12155 5dH Hh时，取等号） 故当55 5d 时，tan()最大因为0 2 ，则0 2 ，故当55
15、5d 时， 最大故所求的d是55 5m 18、 在平面直角坐标系xOy中， 如图， 已知椭圆1 59 22 yx 的左、 右顶点为A、B， 右焦点为F 设 过点( ,)T t m的直线TA、TB与椭圆分别交于点 11 ( ,)M x y、),( 22 yxN，其中0m， 1 0y ， 2 0y 设动点P满足4 22 PBPF，求点P的轨迹； 设 1 2x ， 2 1 3 x ，求点T的坐标； 设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其 坐标与m无关) 【 解 】 设 点( , )P x y， 则 ：(2,0)F、(3,0)B、( 3,0)A 由4 22 PBPF得 ， 2222 (2)(3)
16、4xyxy，化简得 9 2 x 故所求点P的轨迹为直线 9 2 x 将 1 2x ， 2 1 3 x 分别代入椭圆方程，以及 1 0y ， 2 0y 得： 5 (2, ) 3 M、 120 ( ,) 39 N，直 线 MTA 方程为： 03 5 23 0 3 yx ，即 1 1 3 yx， 直 线NTB 方 程 为 ： 03 201 03 93 yx ， 即 55 62 yx联立方程组，解得： 7 10 3 x y ，故点T的坐标为 10 (7,) 3 点T的坐标为(9,)m，直线 MTA 方程为： 03 093 yx m ，即(3) 12 m yx，直线 NTB 方程 为： 03 093 y
17、x m ，即(3) 6 m yx分别与椭圆1 59 22 yx 联立方程组，同时考虑到 12 3,3xx ，解得： 2 22 3(80)40 (,) 8080 mm M mm 、 2 22 3(20)20 (,) 2020 mm N mm 法一：当 12 xx时，直线 MN 方程为： 2 22 22 22 22 203(20) 2020 4020 3(80)3(20) 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm ， 令0y ， 解得：1x 此时必过点(1,0)D； 当 12 xx时， 直线MN方程为：1x ， 与x轴交点为(1,0)D 故 直线MN必过 x 轴上的一定点(1,
18、0)D 法二：若 12 xx，则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及0m，得2 10m ，此时直线MN的方程为 1x ， 过点(1,0)D 若 12 xx， 则2 1 0m ， 直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m ， 直线 ND 的斜率 2 22 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m ， 得 M DN D kk， 故直线MN过 D 点 因此， 直线MN 必过x轴上的点(1,0)D 19设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，已知 2a2a1a3，数列 Sn是
19、公差为 d 的等差数 列 求数列an的通项公式(用 n，d 表示)； 设 c 为实数，对满足 mn3k 且 mn 的任意正整数 m，n，k，不等式 SmSncSk都成 立，求证：c 的最大值为9 2 【解】由题意知，d0， Sn S1(n1)d a1(n1)d又 2a2a1a3，故 3a2S3，即 3(S2S1)S3，故 3( a1d)2a1( a12d)2，整理得，a12 a1 dd20，故 a1d，a1d2， Snd(n1)dnd，Snn2d2当 n2 时，anSnSn1n2d2(n1)2d2(2n1)d2，适合 n 1 情形故所求 an(2n1)d2； (法一法一) 由 SmSncSk，
20、得 m2d2n2d2c k2d2，即 m2n2c k2，cm 2n2 k2 恒成立又 mn 3k 且 mn，故 2(m2n2)(mn)29k2，即m 2n2 k2 9 2，故 c 9 2故 c 的最大值为 9 2 (法二法二)由 a1d 及 Sn a1(n1)d 得，d0，Snn2d2于是，对满足题设的 m，n，k，mn， 有SmSn(m2n2)d21 2(mn) 2d29 2k 2d29 2Sk 故c的最大值cmax 9 2 另一方面， 任取实数a 9 2 设 k 为偶数，令 m3 2k1，n 3 2k1，则 m，n，k 符合条件，且 SmSn(m 2n2)d2d2(3 2k1) 2 (3
21、2k1) 21 2d 2(9k24) 于是， 只要 9k242ak2， 即当 k2(2a9)1 2时， SmSn 1 2d 22ak2aS k 故 满足条件的 c9 2，从而 cmax 9 2因此c 的最大值为9 2 20设)(xf是定义在区间), 1 ( 上的函数，其导函数为)( xf如果存在实数a和函数)(xh，其 中)(xh对任意的), 1 ( x都有( )0h x ，使得) 1)()( 2 axxxhxf，则称函数)(xf具有 性质)(aP 设函数 2 ( )ln(1) 1 b f xxx x ，其中b为实数 (i)求证：函数)(xf具有性质)(bP； (ii)求函数)(xf的单调区间
22、 已知函数)(xg具有性质)2(P 给定 1212 ,(1,),x xxx， 设m为实数， 12 (1)mxm x， 21 )1 (mxxm，且1, 1，若 12 | ( )( )| | ( )()|ggg xg x，求m的取值范围 解析(i) 2 2 1 ( )(1) (1) fxxbx x x ，因1x 时， 2 1 ( )0 (1) h x x x 恒成立，故函数)(xf 具有性质)(bP； (ii) (法一)：设 2 2 ( )()1 24 bb xx ，( )x与)( xf的符号相同当 2 10, 22 4 b b 时， ( )0x，( )0fx ， 故此时)(xf在区间), 1 (
23、 上递增； 当2b 时， 对于1x ， 有 ( ) 0fx ， 故此时)(xf在区间), 1 ( 上递增；当2b时，( )x图像开口向上，对称轴1 2 b x ，而 (0)1，对于1x ，总有( )0x，( )0fx ，故此时)(xf在区间), 1 ( 上递增； (法二)：当2b时，对于1x ， 222 ( )121(1)0xxbxxxx ，故( )0fx ，故此 时)(xf在区间), 1 ( 上递增；当2b时，( )x图像开口向上，对称轴1 2 b x ，方程( )0x 的两根为： 22 44 , 22 bbbb ，而 22 2 442 1,(0,1) 22 4 bbbb bb ，当 2 4
24、 (1,) 2 bb x 时，( )0x，( )0fx ，故此时)(xf在区间 2 4 (1,) 2 bb 上递减；同理 得：)(xf在区间 2 4 ,) 2 bb 上递增综上所述，当2b时，)(xf在区间), 1 ( 上递增； 当2b时，)(xf在 2 4 (1,) 2 bb 上递减；)(xf在 2 4 ,) 2 bb 上递增 (法一)：由题意得： 22 ( )( )(21)( )(1)g xh x xxh x x，又)(xh对任意的), 1 ( x都 有( )0h x ，故对任意的), 1 ( x都有( )0g x，( )g x在(1,)上递增又 12 xx， 12 (21)()mxx 当
25、 1 ,1 2 mm时， 且 112 (1 )( 1)xmxmx ， 2 x 12 (1)(1)m xmx，故 22 1212 ()()(1) ()0xxmxx ，则 12 xx或 1 x 2 x， 若 12 xx， 则 12 ( )( )()( )ff xf xf， 故 12 | ( )( )| | ( )()|ggg xg x 不合题意 故 12 xx， 即 112 122 ( 1) , ( 1) xm xm x m xm xx ， 解得1m， 故 1 1 2 m 当 1 2 m 时， ， 12 0 | ( )( )| | ( )()|ggg xg x，符号题意当 1 2 m 时，且 2
26、xm 12112 (),()xxxm xx ，同理有 12 xx，即 112 122 (1), (1) xm xmx mxm xx ，解得0m， 故 1 0 2 m，综合以上讨论得：所求m的取值范围是(0,1) (法二)由题设知，( )g x的导函数 2 ( )( )(21)g xh x xx，其中函数( )0h x 对于任意的 ), 1 ( x都成立 故当1x 时， 2 ( )( )(1)0g xh x x， 从而( )g x在区间), 1 ( 上单调递增 当(0,1)m时，有 12111122 (1)(1),(1)(1mxm xmxm xxmxm xmx 22 )m xx， 得 12 (
27、,)x x， 同理可得 12 ( ,)x x， 故由( )g x的单调性知， 1 ( ), ( )( ( )ggg x， 2 ()g x，从而有 12 | ( )( )| | ( )()|ggg xg x，符合题设 当0m时， 12222121 (1)(1),(1)(1)mxm xmxm xxm xmxm x 11 mxx，于是由1,1及( )g x的单调性知， 12 ( )( )()( )gg xg xg，故|( )g 12 ( )| | ( )()|gg xg x，与题设不符 当1m时，同理可得 12 ,xx，进而得， 12 | ( )( )| | ( )()|ggg xg x，与题设不
28、符 因此综合、得，所求的m的取值范围是(0,1) A 选修 42：矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设 k 为非零实数，矩阵 M k 0 0 1 ， N 0 1 1 0 ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1，A1B1C1的面积是 ABC 面积的 2 倍，求 k 的值 解 由题设得，MN k 0 0 1 0 1 1 0 0 k 1 0 ，由 0 k 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 k 0 2 2 ，可知 A1(0,0)、B1(0，2)、C1(k，2)计算得ABC 的面积是 1，A1B1C1的面积
29、是|k|，则由题设知： |k|212所以 k 的值为 2 或2 B 选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 2cos 与直线 3cos 4sin a0 相切，求实数 a 的值 解析 将极坐标方程化为直角方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0由题设知，圆心(1，0)到直线的距离为 1，即有|3 14 0a| 3242 1，解得 a8 或 a 2，故 a 的值为8 或 2 22 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率 为 90%，二等品率为 10%生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4
30、万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元设生产各种产 品相互独立 （1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； （2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解析（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，3，且 P（X10）0809072， P（X5）0209018， P（X2）0801008， P（X3）0201002 由此得 X 的分布列为： X 10 5 2 3 P 072 018 008 002 （2）设生产的 4 件甲产品中一等品有n件，
31、则二等品有4n件由题设知4(4)10nn，解 得 14 5 n ，又nN，得3n，或4n所求概率为 334 4 0.80.20.80.8192PC 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 08192 已知ABC 的三边长都是有理数 (1)求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数 n，cos nA 是有理数 解析解析 证明 (1)设三边长分别为 a，b，c，cos Ab 2c2a2 2bc ，因 a，b，c 是有理数，b2c2a2 是有理数，分母 2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，故b 2c2a2 2bc 必为有理数，故 cos A 是有理数
32、(2)当 n1 时，显然 cos A 是有理数；当 n2 时，因 cos 2A2cos2A1，因为 cos A 是有理数， 故 cos 2A 也是有理数； 假设当 nk(k2)时，结论成立，即 cos kA、cos(k1)A 均是有理数 当 nk1 时，cos(k1)Acos kAcos Asin kAsin Acos kAcos A1 2cos(kAA)cos(kAA) cos kAcos A1 2cos(k1)A 1 2cos(k1)A，解得：cos(k1)A2cos kAcos Acos(k1)A，因 cos A， cos kA， cos(k1)A 均是有理数， 故 2cos kAcos Acos(k1)A 是有理数， 故 cos(k1)A 是有理数 即 当 nk1 时，结论成立 综上所述，对于任意正整数 n，cos nA 是有理数
