1、第六章图形的相似单元测试题一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.若，则的值为（）A. 1B. C. D. 2.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段长为（）A. 18cm；B. 5cm；C. 6cm；D. 6cm；3.已知点P是线段AB的黄金分割点（APPB），AB=4，那么AP的长是（）A. B. C. D. 4. 如图，点P在ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（ ）A. ABP=CB. APB=ABCC. D. 5.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是A. 1：16 B. 1：6 C.
2、1：4 D. 1：26. 如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）A. 4B. 7C. 3D. 127.如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（ ）A. （1，2）B. （1，1）C. （，）D. （2，1）8.如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，
3、测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米10. 如图，RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D为BC中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0t6），连接DE，当BDE是直角三角形时，t的值为A.2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5D. 2或3.5或4.5二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）11.如果在比例尺为1：1 000 000地图上，A、B两地的图上距离是3.4cm，那么A、B两地的实际距离是_km12.如图，已
4、知：l1l2l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=_13.如图，ABC与ABC是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_14.如图，点G是ABC的重心，GHBC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为_15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= 16.如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为_时，AD
5、P和ABC相似17.如图，双曲线y=经过RtBOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，SBOD=21，求k=_18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：EBG45；DEFABG；SABGSFGH；AG+DFFG其中正确的是_（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题：（本大题共10大题，共76分）19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DEAM于点E（1）求证：ADEMAB；（2）求DE的长20.如图，在ABC中，DEBC
6、，EFAB，若SADE=4cm2，SEFC=9cm2，求SABC21.如图，ABC中，CD是边AB上的高，且（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小22.已知：如图ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，2）、C（2，4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度（1）画出ABC向上平移6个单位得到的A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且A2B2C2与ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标23.如图，一位同学想利用树影测量树(AB)的高度，他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米，此时，因树靠近一幢建
7、筑物，影子不全落在地面上(有一部分影子落在了墙上CD处)，他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米，又测得地面部分的影长(BD)为2.7米，则他测得的树高应为多少米？24.如图，把ABC沿边BA平移到DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的，若AB=2，求ABC移动的距离BE的长25.如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y（x0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，ADx轴于点D（1）m ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由26.如图，在平行四边形中，对角线，交于点.
8、 为中点，连接交于点，且.（1）求的长；（2）若的面积为2，求四边形的面积.27.如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DOAB，垂足为O，点B在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB，AD（1）求证：DOBACB；（2）若AD平分CAB，求线段BD长；（3）当ABD为等腰三角形时，求线段BD长28.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也
9、停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QFAC，交BD于点F设运动时间为t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当t为何值时，AOP是等腰三角形？ （2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：SACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）1.若，则的值为（）A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，=，故选D2
10、.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段长为（）A. 18cm；B. 5cm；C. 6cm；D. 6cm；【答案】C【解析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c解：根据比例中项的概念，得c2=ab=36，c=6，又线段不能是负数，-6应舍去，取c=6，故选C“点睛”考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项这里注意线段不能是负数3.已知点P是线段AB的黄金分割点（APPB），AB=4，那么AP的长是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据黄金比的定义得： ，得 .故选A.4. 如图，点P在
11、ABC的边AC上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（ ）A. ABP=CB. APB=ABCC. D. 【答案】D【解析】试题分析：A当ABP=C时，又A=A，ABPACB，故此选项错误；B当APB=ABC时，又A=A，ABPACB，故此选项错误；C当时，又A=A，ABPACB，故此选项错误；D无法得到ABPACB，故此选项正确故选D考点：相似三角形的判定5.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是A. 1：16B. 1：6C. 1：4D. 1：2【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可【详解
12、】解：两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2，故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键6. 如图，在平行四边形ABCD中，EFAB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）A. 4B. 7C. 3D. 12【答案】B【解析】试题分析：DE：EA=3：4，DE：DA=3：7，EFAB，EF=3，解得：AB=7，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=7故选B考点：1相似三角形的判定与性质；2平行四边形的性质7.如图，OAB与OC
13、D是以点O为位似中心位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（ ）A. （1，2）B. （1，1）C. （，）D. （2，1）【答案】B【解析】【详解】OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为(1，0)，BO=1，则AO=AB=2，A(，)，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1:2，点C的坐标为：(1，1).故选B.【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.【此处有视频，请去附件查看】
14、8.如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：ABC和ADE均为等边三角形，B=BAC=60，E=EAD=60，B=E，BAD=EAF，ABDAEF，AB：BD=AE：EF同理：CDFEAF，CD：CF=AE：EF，AB：BD=CD：CF，即9：3=（93）：CF，CF=2故选B考点：1相似三角形的判定与性质；2等边三角形的性质9.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米
15、，那么路灯A的高度AB等于（）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米【答案】B【解析】试题分析：如图：根据题意可得：RtDCGRtDBA，RtFEHRtFBA，所以，CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，y=3m，解得：x=6米即路灯A的高度AB=6米考点：相似三角形的判定与性质.10. 如图，RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着ABA的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0t6），连接DE，当BDE是直角三角形时，t的值为A. 2B. 2.5或3.5C. 3.5或4
16、.5D. 2或3.5或4.5【答案】D【解析】试题分析：RtABC中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，AB=2BC=4（cm）BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，BD=BC=1（cm），BE=ABAE=4t（cm），若DBE=90，ABC=60，BDE=30BE=BD=（cm）当AB时，t=40.5=3.5；当BA时，t=4+0.5=4.5若EDB=90时，ABC=60，BED=30BE=2BD=2（cm）当AB时，t=42=2；当BA时，t=4+2=6（舍去）综上可得：t的值为2或3.5或4.5故选D二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）1
17、1.如果在比例尺为1：1 000 000地图上，A、B两地的图上距离是3.4cm，那么A、B两地的实际距离是_km【答案】34【解析】【分析】根据比例尺的定义：实际距离=图上距离:比例尺,由题意代入数据可直接得出实际距离.【详解】根据题意,厘米=34千米.即实际距离是34千米.故答案为:34.【点睛】本题考查了比例尺的定义，熟练掌握实际距离、图上距离和比例尺的关系是解决本题的关键.12.如图，已知：l1l2l3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=_【答案】15【解析】l1l2l3,所以，所以AC=15.13.如图，ABC与ABC是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_【答案】
18、（9，0）【解析】【详解】根据位似图形的定义，连接AA，BB并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)故答案为：(9，0)14.如图，点G是ABC的重心，GHBC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为_【答案】9【解析】设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，GHBC，ADEGDH，AD：GD=AE：GH=3：1，AE=3GH=33=9，故答案为9点睛：证明相似三角形：(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似(3)两边成比例且
19、夹角相等两个三角形相似.(4)三边成比例的两个三角形相似.(5)证明两个对应角相等的过程中，经常使用等腰三角形，等边三角形，特殊矩形，菱形，平行四边形构成的等角作为桥梁，成为解题的关键.15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= 【答案】5.5【解析】【详解】试题分析：在DEF和DBC中，DEFDBC，=，即=，解得BC=4，AC=1.5m，AB=AC+BC=1.5+4=5.5m考点：
20、相似三角形【此处有视频，请去附件查看】16.如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP长度为_时，ADP和ABC相似【答案】4或9【解析】当ADPACB时，需有，解得AP9当ADPABC时，需有，解得AP4当AP的长为4或9时，ADP和ABC相似17.如图，双曲线y=经过RtBOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，SBOD=21，求k=_【答案】8【解析】试题分析：解：过A作AEx轴于点E因为SOAE=SOCD，所以S四边形AECB=SBOD=21，因为AEBC，所以OAEOBC，所以=（）2=，所以SOAE=4，则k=8考点：1.相似三
21、角形的判定与性质；2.反比例函数的性质.【此处有视频，请去附件查看】18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC10，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：EBG45；DEFABG；SABGSFGH；AG+DFFG其中正确的是_（把所有正确结论的序号都选上）【答案】【解析】试题解析：BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，1=2，CE=FE，BF=BC=10，在RtABF中，AB=6，BF=10，AF=8，DF=AD-AF=10-8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，
22、在RtDEF中，DE2+DF2=EF2，（6-x）2+22=x2，解得x=，ED= ，ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，3=4，BH=BA=6，AG=HG，2+3=ABC=45，所以正确；HF=BF-BH=10-6=4，设AG=y，则GH=y，GF=8-y，在RtHGF中，GH2+HF2=GF2，y2+42=（8-y）2，解得y=3，AG=GH=3，GF=5，A=D，ABG与DEF不相似，所以错误；SABG=63=9，SFGH=GHHF=34=6，SABG=SFGH，所以正确；AG+DF=3+2=5，而GF=5，AG+DF=GF，所以正确正确【此处有视频，请去附件查看】三、解答题
23、：（本大题共10大题，共76分）19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DEAM于点E（1）求证：ADEMAB；（2）求DE的长【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：利用矩形角相等的性质证明DAEAMB.试题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，DAE=AMB，又DEA=B=90，DAEAMB.（2）由（1）知DAEAMB，DE：AD=AB：AM，M是边BC的中点，BC=6，BM=3，又AB=4，B=90，AM=5，DE：6=4：5，DE=20.如图，在ABC中，DEBC，EFAB，若SADE=4cm2，SEFC=9cm2，求SABC【答案
24、】25cm2【解析】试题分析：利用平行证明三角形相似，再利用相似的性质求三角形面积.试题解析：解：DEBC，EFAB，A=FEC，AED=C，ADEECF；SADE：SECF=（AE：EC）2，SADE=4cm2，SEFC=9cm2，（AE：EC）2=4：9，AE：EC=2：3，即EC：AE=3：2，（EC+AE）：AE=5：2，即AC：AE=5：2DEBC，C=AED，又A=A，ABCADE，SABC：SADE=（AC：AE）2，SABC：4=（5：2）2，SABC=25cm221.如图，ABC中，CD是边AB上的高，且（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小【答案】（1）证明见试题解
25、析；（2）90【解析】试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACDCBD；（2）由（1）知ACDCBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A=BCD，然后由A+ACD=90，可得：BCD+ACD=90，即ACB=90试题解析：（1）CD是边AB上的高，ADC=CDB=90，ACDCBD；（2）ACDCBD，A=BCD，在ACD中，ADC=90，A+ACD=90，BCD+ACD=90，即ACB=90 考点：相似三角形的判定与性质【此处有视频，请去附件查看】22.已知：如图ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，2）、C（2，4），正方形网格中，每个小正方形
26、的边长是1个单位长度（1）画出ABC向上平移6个单位得到的A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且A2B2C2与ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；A2坐标（2，2）【解析】试题分析(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出.试题解析:如图所示: A1B1C1,即为所求；如图所示A2B2C2，即为所求；A2坐标(2，2) 23.如图，一位同学想利用树影测量树(AB)的高度，他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米，此时，
27、因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上(有一部分影子落在了墙上CD处)，他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米，又测得地面部分的影长(BD)为2.7米，则他测得的树高应为多少米？【答案】测得的树高为4.2米【解析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可24.如图，把ABC沿边BA平移到DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的，若AB=2，求ABC移动的距离BE的长【答案】 【解析】试题分析：证明平移前后图象的相似，再根据相似的性质定理求BE长.试题解析：解：把ABC沿边BA平移到DEF的位置，EFA
28、C，BEGBAC，=AB=2，BE=25.如图，点A（1，4）、B（2，a）在函数y（x0）的图象上，直线AB与x轴相交于点C，ADx轴于点D（1）m ；（2）求点C的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）4；（2）C的坐标为（3，0）；（3）（2，0）【解析】试题分析：（1）把点代入求值.(2)先利用反比例函数求出A，B，点坐标，再利用待定系数法求直线方程.(3)假设存在E点，因为ACD是直角三角形，假设ABE也是直角三角形，利用勾股定理分别计算A,B，C,是直角时AB长度，均与已知矛盾，所以不存在
29、.试题解析：解：（1）点A（1，4）在反比例函数y=（x0）的图象上，m=14=4，故答案为4（2）点B（2，a）在反比例函数y=的图象上，a=2，B（2，2）设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b，解得：，过点A、B的直线的解析式为y=2x+6当y=0时，有2x+6=0，解得：x=3，点C的坐标为（3，0）（3）假设存在，设点E的坐标为（n，0）当ABE=90时（如图1所示），A（1，4），B（2，2），C（3，0），B是AC的中点，EB垂直平分AC，EA=EC=n+3由勾股定理得：AD2+DE2=AE2，即42+（x+1）2=（x+3）2，解得：x=2，此时点E的坐标为（2，0）；当BA
30、E=90时，ABEACD，故EBA与ACD不可能相似；当AEB=90时，A（1，4），B（2，2），AB=，2，以AB为直径作圆与x轴无交点（如图3），不存在AEB=90综上可知：在x轴上存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与ACD相似，点E的坐标为（2，0）26.如图，在平行四边形中，对角线，交于点. 为中点，连接交于点，且.（1）求的长；（2）若的面积为2，求四边形的面积.【答案】（1）6；（2）5.【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到
31、DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；(2)由相似三角形相似比为1：2，得到SMND：SCND=1：4，可得到MND面积为1，MCD面积为3，由S平行四边形ABCD=ADh，SMCD=MDh=ADh，=4SMCD，即可求得答案【详解】(1)平行四边形ABCD，ADBC，AD=BC，OB=OD，DMN=BCN，MDN=NBC，MNDCNB，M为AD中点，所以BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x1，x+1=2（x1），解得：x=3,BD=2x=6；(2)、MNDCNB，且相似比为1：2，MN：CN=1：
32、2，SMND：SCND=1：4，DCN的面积为2，MND面积为1，MCD面积为3，设平行四边形AD边上的高为h，S平行四边形ABCD=ADh，SMCD=MDh=ADh，S平行四边形ABCD=4SMCD=12，SABD=6，S四边形ABNM= SABD- SMND =6-1=5【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟悉相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.27. 如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DOAB，垂足为O，点B在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB，AD（1）求证：DOBACB；（2）若
33、AD平分CAB，求线段BD的长；（3）当ABD为等腰三角形时，求线段BD的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）5；（3）【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BDx，CD，BD，BO用x表示出来，所以可得BD长.(3)同（2）原理，BDBDx,AB，BO，BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.试题解析：（1）证明:DOAB，DOB90，ACBDOB90,又BBDOBACB（2）AD 平分CAB，DCAC,DOAB,DODC,在 RtABC 中，AC6，BC,8，AB10,DOBACB,DOBOBDACBCAB345,设BDx，则DODCx
34、，BOxCDBD8，xx8，解得x,5，即：BD5（3）点B 与点B关于直线DO 对称，BOBD，BOBOx，BDBDx,B 为锐角，OBD 也为锐角，ABD 为钝角,当ABD 是等腰三角形时，ABDB,ABBOBO10，xxx10，解得x，即BD，当ABD 为等腰三角形时，BD.点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.垂两边：如图（1），已知平分，过点作，则.截两边：如图（2），已知平分，点上，在上截取，则.角平分线+平行线等腰三角形：如图（3），已知平分，则；如图（4），已知平分，则. (1) (2) (3) (4)三线合一（利用角平分线+垂线等腰三角形）： 如图（5），已知平分，且，
35、则，.(5)【此处有视频，请去附件查看】28.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QFAC，交BD于点F设运动时间为t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当t为何值时，AOP是等腰三角形？ （2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：SACD=9：16？若存在，求出
36、t的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）或5；（2）；（3）；（4）2.88. 【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，当AP=PO=t，如图1，过P作PMAO，根据相似三角形的性质得到AP=t=，当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EHAC于H，QMAC于M，DNAC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得
37、到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论试题解析：（1）在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，AC=10，当AP=PO=t，如图1，过P作PMAO，AM=AO=，PMA=ADC=90，PAM=CAD，APMADC，AP=t=，当AP=AO=t=5，当t为或5时，AOP是等腰三角形；（2）作EHAC于H，QMAC于M，DNAC于N，交QF于G，在APO与CEO中，PAO=ECO，AO=OC，AOP=COE，AOPCOE，CE=AP=t，CEHABC，EH=，DN=，QMDN，CQMCDN，即，QM=，DG=，FQAC，DFQDOC，FQ=，S五边形OECQF=SOEC+S四边形OCQF=，S与t的函数关系式为；（3）存在，SACD=68=24，S五边形OECQF：SACD=（）：24=9：16，解得t=，t=0，（不合题意，舍去），t=时，S五边形S五边形OECQF：SACD=9：16；（4）如图3，过D作DMAC于M，DNAC于N，POD=COD，DM=DN=，ON=OM=，OPDM=3PD，OP=，PM=，解得：t15（不合题意，舍去），t2.88，当t=2.88时，OD平分COP
