1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊特殊到到一般一般）类比类比（特殊特殊到到特殊特殊）三段论三段论（一般一般到到特殊特殊）复习复习 合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.例例1 1：已知：已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc.2abc.又因为又因为c c2
2、 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2)2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)4abc.4abc.证明证明:1。综合法。综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合
3、法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特点:“由因导果”综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法.例例2 2：在：在中，三个内角、对应的边分中，三个内角、对应的边分别为别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成成等比数列，求证等比数列，求证为等边三角形为等边三角形证明：由证明：由A,B,C成等差数列，有成等差数列，有2B=A+C，-因为因为A,B,C是三角形的内角，所以是三角形的内角，所以A+B+C=180o，-所以所以B=60o。-由由a,b,c成等
4、比数列，有成等比数列，有b2=ac,-则则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有再有得得a2+c2-ac=ac，即，即(a-c)2=0 因此因此a=c。从而有。从而有A=C-则由则由 得得A=B=C=60o。所以三角形所以三角形ABC是等边三角形。是等边三角形。利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q
5、表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q小结小结综合法的定义综合法的定义:回顾基本不等式：回顾基本不等式：(a0,b0)(a0,b0)的证明的证明.a a+b ba a b b2 2证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba ab b 2a a+b ba ab b a a+b ba ab b2 2证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立 a a+b ba ab b
6、2 2 2a a+b ba ab b 20a a+b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a+b ba ab b2 2 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的
7、思考过程、特点.1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论分析法又叫执果索因法或叫逆推证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例例3:求证求证372 5证明：因为证明：因为 都是正数，都是正数，372 5和所以为了证明所以为了证明 372 5只需证明只需证明 22(37)(2 5)展开得展开得102 2120即即215只需证明只需证明2125，因为，因为2125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。372 52 22 22 22 22 2例例.已已 知知 ,k k+(k kZ Z),且且2 2 s si in n+c co os s=2 2s
8、 si in n s si in n c co os s=s si in n 1 1-t ta an n 1 1-t ta an n 求求 =.1 1+t ta an n 2 2(1 1+t ta an n )证证:例例4 41PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述过程可用框图表示上述过程可用框图表示:看课本第看课本第88页，例题页，例题3。见89页 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做出所要证明的结论成
9、立，这种证明方法叫做综合法综合法。特点:“由因导果”小结小结综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法.1.1.综合法的定义综合法的定义:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做明的方法叫做分析法分析法 2.2.分析法的定义分析法的定义:分析法又叫执果索因法或叫逆推
10、证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法特点:“执果索因”2.2.2 2.2.2 思考？思考？将将9 9个球分别染成红色或白色个球分别染成红色或白色.那么无论怎那么无论怎样染样染,至少有至少有5 5个球是同色的个球是同色的,你能证明这个你能证明这个结论吗结论吗?分析分析:假设有某种染法使红色球和白假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是这与球的总数是9矛盾矛盾.因此因此,无论怎无论怎样染样染,至少有至少有5个球是同色的个球是同色的.反证法的证明过程：反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯
11、定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理，得出得出矛盾矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反例例5:已知直线已知直线a,b和平面和平面 ,如果如果 且且ab,求
12、证求证:a ba,abP看课本第看课本第9090页，例题页，例题4 4。把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法（归谬法）。（归谬法）。理论理
13、论归纳总结：归纳总结：三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。练习练习 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax
14、=bax=b有且只有且只有一个根。有一个根。1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 0 a a 0 012120,即 x-xx=xx-xx=x12与与xx 矛xx 矛盾盾故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现,是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不
15、只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2)是是方程的两个根方程的两个根.（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一”（3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构
