1、2.5 2.5 几种重要的连续型分布几种重要的连续型分布 一、均匀分布一、均匀分布 二、指数分布二、指数分布 三、正态分布三、正态分布1一、均匀分布一、均匀分布2 1,().0,axbXU a bf xba 其其它它,bxa fx ,.U a b 0,(),1,.xaxaF xaxbbaxb 分分布布函函数数)(xfxab13 ,(,),m na bc d dP.dcxdccXdbaba 所谓所谓“均匀均匀”，是指落在区间，是指落在区间a a，b b中的任中的任一小区间的概率等于该小区间的长度与区间一小区间的概率等于该小区间的长度与区间a a，b b的长度之比，而与小区间的位置无关即：的长度之
2、比，而与小区间的位置无关即：许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如，许多随机现象都可以用均匀分布刻画，例如，数值计算中保留到小数点后第一位，四舍五数值计算中保留到小数点后第一位，四舍五入引起的误差服从入引起的误差服从-0.05-0.05，0.050.05上的均匀分布；上的均匀分布；向区间向区间aa，bb上等可能地投点，落点坐标上等可能地投点，落点坐标服从区间服从区间aa，bb上的均匀分布上的均匀分布 如果一个人无预期地来到公共汽车站，那如果一个人无预期地来到公共汽车站，那 0,ll么他候车时间服从么他候车时间服从上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中是公共汽车站发车的时间间隔是公共汽车站发车的时
3、间间隔.汽车遇到红灯时，等待时间服从区间汽车遇到红灯时，等待时间服从区间 0,ll上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中是红灯持续的时间长度是红灯持续的时间长度 5例例2.212.21 某长途汽车站每隔某长途汽车站每隔1 1小时发一班车，小时发一班车，某人随机地来到始发站试求他等车时间少于某人随机地来到始发站试求他等车时间少于1515分钟的概率分钟的概率解解 设为乘客来到车站的时间，则设为乘客来到车站的时间，则其概率密度为其概率密度为 0,60,XU1,060,()600,xf x 其其它它.“等车时间少于等车时间少于1515分钟分钟”是指该乘客在区间是指该乘客在区间(45(45，60)60)内
4、到达车站，故所求概率为内到达车站，故所求概率为 604514560d0.25.60PXx 二、指数分布二、指数分布6)(xfx,0()().0,0 xexXEf xx 1,0,().0,0.xexF xx ().E 与几何分布一样，指数分布也有与几何分布一样，指数分布也有“无记忆性无记忆性”：().XEP Xst XsP Xt 7 ,P Xs XstP Xst XsP Xs 证明如下：证明如下：.s ttsP XsteeP XtP Xse 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命，则上式表明：在该元件已工作了作的寿命，则上式表明：在该元件已工
5、作了s s小时的小时的条件下，它还能继续工作条件下，它还能继续工作t t小时的概率与已经工作过的小时的概率与已经工作过的时间时间s s无关换句话说，如果元件在时刻无关换句话说，如果元件在时刻s s还还“活着活着”，则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布，而与它则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布，而与它已工作了多长的时间无关所以有时又称指数分布是已工作了多长的时间无关所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的的8因为概率密度中的非零部分是一个指数函数，因为概率密度中的非零部分是一个指数函数，所以称这种分布为所以称这种分布为“指数分布指数分布”指数分布常可指数分布常可作为各种作为各种“寿命寿
6、命”分布的近似：分布的近似：电子元件的寿命；电子元件的寿命；动物的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间；电话问题中的通话时间；随机服务系统中的服务时间；随机服务系统中的服务时间；顾客要求某种服务顾客要求某种服务(到银行取钱，到车站售到银行取钱，到车站售票处购买车票等票处购买车票等)需要排队等待的时间需要排队等待的时间 三、正态分布三、正态分布9先证明先证明概率积分公式概率积分公式:2.xedx 事实上，事实上，2222xxyedxedxedy 22222xyredxdyerdrd RR2200.rdredr 2,N 10 22221,()20.xXNf xe )(xfx 一般认为，正态分布始
7、于一般认为，正态分布始于17331733年法国数学家年法国数学家棣莫佛棣莫佛对大量对大量抛硬币出现正面次数分布逼近的抛硬币出现正面次数分布逼近的研究研究 1919世纪初，世纪初，高斯高斯在研究测量误差时，从另一个角度引进在研究测量误差时，从另一个角度引进它由于这个原因，文献中也常把正态分布称为它由于这个原因，文献中也常把正态分布称为高斯分布高斯分布“正态正态”意谓意谓“正常的状态正常的状态”，就是说若在观察或试验中不出，就是说若在观察或试验中不出现重大的失误，则结果应遵从正态分布这个看法有大量经验现重大的失误，则结果应遵从正态分布这个看法有大量经验事实作为支持，也有理论上的依据，这大概就是事实
8、作为支持，也有理论上的依据，这大概就是“正态分布正态分布”这个名称的由来这个名称的由来轴对称函数轴对称函数11 221(),2txxxt dtedtx R标准正态分布标准正态分布 2210,1()2xXNxe (),().xx 专专有有符符号号分分别别表表示示标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函数数与与分分布布函函数数 00.5,1,61.xx 性性质质：待待证证 3=0.998650.12)(x x)(xx(0)0.5.)(x x)(xx()x ()1.xx (6)1.13()x 我们先研究标准正态密度我们先研究标准正态密度的性质：的性质：1 1是偶函数；是偶函数；()x 在在上上()x
9、 ,0 单调递增单调递增，在在上上()x 0,单调递减单调递减；3 3()yx 0y 的渐近线；的渐近线；是曲线是曲线是曲线是曲线4 4 1,1 ()yx 的两个拐点的两个拐点)(x)(x 14第五章的中心极限定理表明：第五章的中心极限定理表明：一个变量一个变量如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠如果是由大量独立起微小作用的随机因素的叠加结果，那么这个变量一定是正态变量因此加结果，那么这个变量一定是正态变量因此很多随机变量可以用正态分布描述或近似描很多随机变量可以用正态分布描述或近似描述，例如：述，例如：射击目标的水平或垂直测量误差；射击目标的水平或垂直测量误差；成年男成年男(女女)子的身
10、高、体重；子的身高、体重；加工零件的尺寸；加工零件的尺寸；某市一次统考的考生成绩；某市一次统考的考生成绩；一个地区的年降雨量一个地区的年降雨量15 0,1,XN例例2.22 设设 求求 1.5P X 和和 12.PX 解解 1.511.5P X 10.93320.0668.1231PXPX 13131 0.84130.9986510.83995.16现在，我们研究一般正态分布现在，我们研究一般正态分布性质性质2.5 2,0,1.XXNN 证证 先求先求 YXFyP YyPy 2221.2xyP Xyedy 的分布函数，的分布函数，XY 上式两边求导得上式两边求导得Y Y的概率密度，的概率密度，
11、17 22212yYYfyFye 221,2yey 这说明服从标准正态分布这说明服从标准正态分布.具体有：具体有：由此可见：由此可见：正态变量归结为标准正态变量。正态变量归结为标准正态变量。.baP aXb 2,XN 18 11.511.522XP XP 11.2511.252XP 例例2.23 设设 21,2,XN 求求 1.5P X 和和 12.PX 解解10.89440.1056.12212PXPX 111112XP 2112 0.841310.6826.192(,),XN u 若若则则 0.6826,1,210.9545,2,0.9973,3.kPXkkkk 从上式中可以看出：尽管正态变量的取值范从上式中可以看出：尽管正态变量的取值范概率高达概率高达99.73，这个结果被实际工作者称作是，这个结果被实际工作者称作是但它落在区间但它落在区间,R 3,3 内的内的围是围是”原则原则3 正态分布的正态分布的“20 x 2 2 3 3 68.26%68.26%95.44%95.44%99.74%99.74%
