1、小热身小热身数学家：欧拉莱昂哈德欧拉（1707年4月15日1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理等都成为数学界中的经典著作。欧拉喜欢音乐、生活丰富多彩，结过两次婚，生了13个孩子，存活5个，据说工作时往往儿孙绕膝。他去世的那天下午，还给孙女上数学课，跟朋友讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”，说完就倒下，停止了生命和计算。让微积分成长成人全才数学家多产数学家18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将
2、河中的两个岛和河岸连结（如左图）。城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是数学史上著名的七桥问题。小热身 七桥问题1836年，瑞士著名的数学家欧拉，欧拉发现了这个问题的本质：这个问题与岛的形状和大小无关，与河岸的形状长短无关、与桥的形状、长短无关，重要的是桥、河岸、岛之间的位置关系。把两岸和小岛缩成一个点，桥当作连接这些点的一条线。小热身 七桥问题问题转化为：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的图形，不允许重复任何一条线，这样的图形简称为“一笔画”小热身 七桥问题小热身 七桥
3、问题一笔画能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次，不能重复。但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。有奇数条边相连的点叫奇点。如：有偶数条边相连的点叫偶点。如：小热身 七桥问题一笔画 欧拉定理欧拉定理：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。其他情况的图，都不能一笔画出。小热身 七桥问题一笔画 欧拉定理 小练习下列图形中，你能一笔画成吗？若能，请画出路径。小热身 七桥问题一笔画 欧拉定
4、理 小练习画一画下图是国际奥委会的会标，你能把它一笔画出来吗？案例：西北大学的洒水车要给主要路案例：西北大学的洒水车要给主要路面洒水，该如何确定行车路线？面洒水，该如何确定行车路线？小热身 七桥问题一笔画 欧拉定理小练习画一画拓展下列图形最少能几笔画成？有什么规律？ABCDABCDEFGHIJKL有N个奇点的图形，要N2笔才能画成。透过现象看本质透过现象看本质 一列火车在穿过一座横跨山谷的大桥时，火车上的一个旅客从窗口丢下一块石头，请问，这块石头的落点会在哪里？正确答案是呈抛物线坠落，除了重力外，石头同时还有与火车同向的初始速度需要考虑。透过现象看本质透过现象看本质 聪明的人在他们的脑海中有一
5、个更科学、精密、高效的“抽象地图”，这个地图里面存储的不是地标、边界、线路，而是概念、知识、事实和程序。他们跟普通人的最大区别就是既拿着一张信息又多又全的好地图，又特别会从这些地图中高效提取与组合信息透过现象看本质透过现象看本质 在世界地图里面找“北京”，你需要先找到“中国”的大概位置。在心理地图里面，找“产前抑郁症”相关的问题，聪明人不会第一反应就把知识体系和上面提到的整体表征直接定位到“气象学”去，相应的，他们会直接定位到“心理学”，甚至能直接精确定位到“临床心理学”，进而增加解决问题的效率。这就是考验你头脑里心理地图的信息量、精度、自己对自己的心理地图理解程度的时候了。在实验过程中，有的
6、学生看了题目的前几个字就能意识到这道题是要考“重力加速度”这一概念，进而在读题解题的过程中刻意地关注与重力加速度有关的信息，甚至主动地间接寻找缺失信息。同时，还有一些学生直到读完了全题，才激活了相关的心理地图。思路清晰，善抓关键点！思路清晰，善抓关键点！根据王珞丹的微博，推测其住址根据王珞丹的微博，推测其住址第一步，信息获取第一步，信息获取 第一，楼体外观和窗框难擦干净的痕迹，说明这是第一，楼体外观和窗框难擦干净的痕迹，说明这是已经建成一段时间的西式小区。已经建成一段时间的西式小区。第二，王珞丹家在顶层。第二，王珞丹家在顶层。第三，小区内有三个在一条直线上大小一样的正方第三，小区内有三个在一条
7、直线上大小一样的正方形花坛。形花坛。第二步，区域筛选第二步，区域筛选 王珞丹微博王珞丹微博1：“四环堵死了，联排迟到了。四环堵死了，联排迟到了。”她家她家在四环外。在四环外。王珞丹微博王珞丹微博2：“演出这么多年，还没有在北京中心地带买演出这么多年，还没有在北京中心地带买一套房子。一套房子。”说明她家不在市中心。说明她家不在市中心。王珞丹微博王珞丹微博3：“爸爸送我和小爸爸送我和小6去给无人驾驶去给无人驾驶(影评影评)配配音，光顾着看微博留言，忘记给老爸指路，车都开到中关音，光顾着看微博留言，忘记给老爸指路，车都开到中关村了！村了！(爸爸开始唠叨我说开导航吧爸爸开始唠叨我说开导航吧)”她家不在
8、中关她家不在中关村及进城路过中关村的地方。村及进城路过中关村的地方。王珞丹微博王珞丹微博4：“患了严重的痢疾，患了严重的痢疾，20分钟后赶到了附近的分钟后赶到了附近的一所小医院。一所小医院。”她家周边无大医院。她家周边无大医院。剩下区域中排除开发晚、多为新建高层小区的南城区域。剩下区域中排除开发晚、多为新建高层小区的南城区域。分析排除至此，只剩下一个区域被锁定。分析排除至此，只剩下一个区域被锁定。第三步，网络筛选第三步，网络筛选 网友在电子地图上截取锁定区域俯视图，放大局部网友在电子地图上截取锁定区域俯视图，放大局部寻找王珞丹照片中有寻找王珞丹照片中有标志性花坛标志性花坛的小区，很快就找的小区
9、，很快就找到目标。到目标。第四步，实地核对第四步，实地核对 该网友亲身前往这个小区，现场拍摄照片，与王珞该网友亲身前往这个小区，现场拍摄照片，与王珞丹所发的照片进行比较，确认推理正确。丹所发的照片进行比较，确认推理正确。透过现象看本质透过现象看本质 在把在把36道简单数学题（加减乘除）做道简单数学题（加减乘除）做完后并加以分类的一组学生，比单独完后并加以分类的一组学生，比单独做完这些题目的学生最终在类似数学做完这些题目的学生最终在类似数学题的测验中成绩要好。题的测验中成绩要好。及时复习，善于归纳和总结。及时复习，善于归纳和总结。拓扑学 当我们不考虑图形的大小和角度时，只研究图形各部分相对的位置
10、关系，这样的研究分支在数学上叫拓扑学。拓扑学最早就是由欧拉奠基的。拓扑学-神奇的莫比乌斯带拓扑学-神奇的莫比乌斯带拓扑学-神奇的莫比乌斯带拓扑学-神奇的莫比乌斯带 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成莫比乌斯带的形状。拓扑学中的有趣例子拓扑学中的有趣例子拓扑学中的有趣例子拓扑学中的有趣例子能否把左图连续地变为右图？能否把左图连续地变为右图？我们假设所有物体都是用我们假设所有物体都是用橡胶橡胶做成的，可以随意地做成的，可以随意地拉伸、拉伸、挤压、弯曲挤压、弯曲，但不允许，但不允许切断、粘连切断、粘连等任何改变图形本质等任何改变图形本质结构的操作。结构的操作。拓扑学中的有趣例子拓扑学中的有趣例子能否把左图连续地变为右图？能否把左图连续地变为右图？我们假设所有物体都是用我们假设所有物体都是用橡胶橡胶做成的，可以随意地做成的，可以随意地拉伸、拉伸、挤压、弯曲挤压、弯曲，但不允许，但不允许切断、粘连切断、粘连等任何改变图形本质等任何改变图形本质结构的操作。结构的操作。
