1、1一、对数留数一、对数留数1.定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分:1()d2()fzzif z().f z称为关于曲线 的对数留数说明说明:1)对数留数即函数对数留数即函数 f(z)的对数的导数的对数的导数)()(zfzf 2)函数函数 f(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是)()(zfzf 的奇点的奇点.在 内弧立奇点处的留数的代数和22.引理引理6.4()(1)(),(),fzaf znaf z设 为的 阶零点 则 必为的一阶极点 并且()Re;()z afzsnf z()(2)(),(),fzbf zmbf z设 为的 阶极点 则 必为的一阶极点 并且()Re.()z
2、 bfzsmf z 证明证明(1)(),af zna若 为的 阶零点 则在点 的邻域内有()()(),nf zzag z(),()0.g zag a 其中在点 的邻域内解析 且于是31()()()()(),nnfzn zag zzag z()();()()fzng zf zzag z(),()g zag z由于在点 的邻域内解析()()fzaf z故 必为的一阶极点,且()Re.()z afzsnf z(2)(),bf zmb若 为的 阶极点 则在点 的邻域内有()(),()mh zf zzb()()(),nf zzag z4(),()0.h zbh b 其中在点 的邻域内解析 且于是1()(
3、)(),()()mmmh zh zfzzbzb()();()()fzmh zf zzah z(),()h zbh z由于在点 的邻域内解析()()fzbf z故 必为的一阶极点,且()Re.()z bfzsmf z()(),()mh zf zzb53.定理定理6.9,()Cf z设 是一条周线符合条件(1)(),f zC 在 的内部是亚纯的(),f zC(2)在 上解析且不为零1()2()Cfzdzif z 则有则有()f zC在 内的零点个数()f zC在 内的极点个数(,)N f C(,).P f C注意注意:m阶零点或极点算作阶零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点.6证明证明由第五章
4、习题由第五章习题(二二)14可知可知,(),f zC在 的内部至多只有有限个零点和极点(1,2,)(),;kka kpf zCn设为在 内部的不同零点 其阶相应地为(1,2,)(),;jjbjqf zCm设为在 内部的不同极点 其阶相应地为由引理由引理6.4可知可知,()()(1,2,)(1,2,),kjfzCCCf za kpbjq在 的内部及 上除去在 内部有一阶极点及外均解析7故由留数定理及引理故由留数定理及引理6.4得得,1()2()Cfzdzif z 1()Re()kpz akfzsf z1()Re()jqz bjfzsf z1pkkn1()qjjm(,)N f C(,).P f C
5、8例例1 计算积分计算积分91041.21zzdziz解解10()1,f zz设()4,f zz 则在上解析且不等于零()4,10,f zz 在内部解析 有个零点故故9104121zzdziz1010411(1)10 21zzdziz1(,)(,)10N f CP f C1100101.9二、辐角原理二、辐角原理()wf z经变换的像为Cz)(zfw .wArg()wf z1.对数留数的几何意义对数留数的几何意义:()()(),C ztt 围线:()()()();wfttt 101()d2()Cfzzif z 12,2,0.iwi由于沿任意一条围绕原点的周线正向积分为负向积分为任意一不围绕原点
6、的周线积分为1()()dt2()fttift1()dt2()tit12dwiw 12dwiw 从而为 围绕原点的正向圈数与负向圈数的代数和 绕原点的圈数.arg()(),Cf zzCf z用表示当 沿 一周时的辐角改变量 则1arg().2Cf z112辐角原理辐角原理6.9,(),arg()arg()2,Cf zCzCf zf z在定理条件下在周线 内部的零点个数与极点个数之差 等于当 沿 正向绕行一周后的改变量除以即1(,)(,)arg().2CN f CP f Cf z注注(),(),f zCCf zC若在 上及 内解析 且在 上不为零 则1(,)arg().2CN f Cf z12例例
7、2试验证辐角原理试验证辐角原理.2()(1)(2)(4):3f zzzzCz设解解(),f zz在 平面解析C且在 内有1,2,zz一阶零点二阶零点(,)3,N f CzC当 沿 转一周时,有arg()f zC2arg(1)arg(2)arg(4)zzz CCC22 2 06.则则arg()2f zC623(,)N f C012zyx34C13注注(),()0,f zCC f z 若定理6.9条件(2)减弱为连续到边界且沿则辐角原理仍成立,(),CC Cf zC在 内取内含在 内部全部零点和极点 则(,)(,)N f CP f C(,)(,)N f CP f Carg()2Cf zarg()2
8、f zC14例例3n设 次多项式1010()(0)nnnP za za zaa,Re0Z 在虚轴上无零点 试证它的零点全在左半平面内的充要条件是()arg().yP iyn,().2zP zn即当点自下而上沿虚轴从点 走向点 的过程中绕原点转圈15()Re0P zz 于是的零点全在左半平面内的充要条件是(,)0,RN f CR 成立故故0limarg()RCRP z()limarg()limarg()RRRRRP zP iy而而arg()RP z0arg(1()Rna zg z 0argRna z arg(1()Rg z证明证明RC令周线由:22iRzRe,RiRi及虚轴上从到的有向线段所构成
9、xyRiRRiR016所以所以limarg(1()0,RRg z0argRna z另一方面又有另一方面又有022argnina R e,n故故()arg()yP iy().RRg z 在时沿一致趋于零110(),nnna zag za z其中()limarg()limarg()0RRRRRP zP iylimarg()RRP z,n从而从而,n17三、儒歇三、儒歇(Rouche)定理定理1定理定理6.10,()()Cf zz设 是一条周线 函数及满足条件(1),;CC它们在 的内部均解析 且连续到()()()f zf zzC则函数与在 的内部有同样多(几阶算几个 的零点,即(2)()();Cf
10、 zz在 上(,)(,).N fCN f C证明证明()()(),f zf zzC由假设知,及在 内解析,C且连续到()();Cf zz且在上满足条件C故在 上有()0,f z()()f zz()()0,f zz18()()()6.9,f zf zz从而及满足定理及注条件,C由于这两个函数在 内解析于是由辐角原理于是由辐角原理1arg()()2Cf zz(,),N fC1arg()2Cf z(,);N f C而而arg()()Cf zzarg()Cf z()arg(1),()Czf z由条件由条件(2),zC当 沿 变动时()1()zwzf z 将 平面上的,Cw周线 变成 平面上的闭曲线由于
11、19()11,()zwf z11,w故 在圆周的内部0w 而原点不在0,ww 即 不会绕原点绕行 故()arg(1)0,()Czf z,此圆周的内部arg()()Cf zz即即arg()Cf z 故故(,)(,).N fCN f CC0zargw0ww21()1()zwf z 20如如742()514.P zzzzzz在内有 个根证明证明4()5,f zz 令72(),zzzz()(),f zzz则及在 平面解析1z 且在上72()3zzzz4()55,f zz(,)(,)N P CN f C4.一般情况下有一般情况下有21例例4n设 次多项式10110()0(0)nnnnP za za za
12、zaa符合条件符合条件011tttnaaaaa()1.P zznt则在单位圆内有个零点证明证明(),n ttf za z取11011(),nttttnza zazaza1z 则在上有11011()nttttnza zazaza011ttnaaaata(),f z,Rouche由定理()()1,.P zf zznt与在内有相同零点个数 即个22例例5,RneaR如果试证方程(zneazn为正整数).zRn在圆内恰有 个根证明证明 令(),(),nzf zazze()(),f zzz则及在 平面解析zR且在上有Re|()|,zzzRzeeee|()|,nnf zaza R,RneaR由有:()()
13、;CzRf zz在上(,)(,)N fCN f Cn故.zneazzRn即在圆内恰有 个根23例例6n任一 次方程)0(001110 aazazazannnn证明代数学基本定理证明代数学基本定理:.n有且仅有 个根(几重根算几个根)证明证明,)(0nzazf 令令111(),nnnza zaza:CzR在充分大圆周上110(,1)nnaaaRMaxa111()nnnza RaRa11()nnaaR0na R(),f z,Rouche由定理(,)(,)N fCN f C,n24000(0)nna zaazRn即在内有 个根.,zR在圆周外部0,zzRR则于是0nna za1011nnnna za
14、 zaza00na R11()nna Ra00na R110()nnaaR00na R00na R0,zR即方程在外部无根.zn故原方程在 平面上有且仅有 个根25例例74510zz 试确定方程试确定方程12.z在圆环内根的个数解解1()5,f zz(1)设41()1,zz11()(),f zzz则及在 平面解析1:1Cz 且在上有1()z41z25 1(),f z5 z 11111(,)(,)N fCN f C所以1,45101.zzz 即方程在内有一个根42(),fzz(2)设2()51,zz 22()(),fzzz则及在 平面解析262:2Cz 且在上有2()z51z112(),fz4z
15、16 22222(,)(,)N fCN f C所以4,45102.zzz 即方程在内有四个根(3)1z 而在上有451zz5 z41z5230,41510.zzz 即在上方程无根451012.zzz 故方程在内有三个根27下面给出下面给出单叶解析变换单叶解析变换的一个重要性质的一个重要性质2定理定理6.11121212(1),()();()(2)();z zD zzf zf zwf zzDf zD 单叶解析在 内解析(),()0.f zDDfz 若函数在区域 内单叶解析 则在内证明证明00,()0,zDfz若使00()()(2),zf zf zn n则 必为的级零点由零点孤立性由零点孤立性,0
16、0,:,Czz在上0()()0,f zf z00,()()(),Cf zf zfzz在 内部及无异于 零点280inf()(),z Cmf zf z令,0,aamRouche 取使由定理0()(),f zf zaCn则在 内亦只有 个零点但这些零点无一为重点但这些零点无一为重点,()fzC理由是在 内00()(),zf zf za而 显然非的零点0,z除 外无其它零点120,()(),nz zzf zf zaCn故令为在 内 个相异零点0()()1,2,kf zf zakn则(),f zD这与在区域 内单叶性相矛盾()0.Dfz 故在 内29作业作业 P273习题(一)11,12,13,14,P276习题(二)13 30本节结束本节结束 谢谢谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics
