1、动动 态态 规规 划划(Dynamic programming)多阶段决策过程的最优化多阶段决策过程的最优化基本概念和基本原理基本概念和基本原理动态规划模型的建立与求解动态规划模型的建立与求解动态规划在经济管理中的应用动态规划在经济管理中的应用 美国数学家贝尔曼美国数学家贝尔曼（Richard.Bellman)创始时间上个世纪上个世纪50年代年代创始人多阶段决策过程的最优化多阶段决策过程的最优化第一节第一节 动态规划是用来解决动态规划是用来解决多阶段决策过程多阶段决策过程最最优化的一种数量方法优化的一种数量方法 这类活动可以按这类活动可以按时间时间顺序分解成若干个相互顺序分解成若干个相互联系的
2、阶段，每个阶段都有若干个方案可供选择联系的阶段，每个阶段都有若干个方案可供选择多阶段决策过程的多阶段决策过程的最优化的目标最优化的目标：达到整个活动过程的总体效果最优达到整个活动过程的总体效果最优 系统的动态过程可以按照系统的动态过程可以按照时间时间进程分为进程分为状态状态相相互联系而又相互区别的各个互联系而又相互区别的各个阶段，阶段，每个阶段都要进每个阶段都要进行行决策决策,目的是使整个过程的决策达到最优效果。目的是使整个过程的决策达到最优效果。12n状态状态决策决策状态状态决策决策状态状态状态状态决策决策阶段阶段阶段阶段阶段阶段分类分类动态规划动态规划离散确定型离散确定型离散随机型离散随机
3、型连续确定型连续确定型连续随机型连续随机型 根据决策过程的根据决策过程的时间参数时间参数是离散的还是连是离散的还是连续的、续的、过程的演变过程的演变是确定性的还是随机性的是确定性的还是随机性的 动态规划动态规划是求解某类问题的一种方法是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而是考察问题的一种途径，而不是一种算法不是一种算法。必须对具体问题进行具体分析，运用必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规划方法去求解。然后再用动态规划方法去求解。注意：注意：1.1.生产决策问题生产决策问题：企业在生产过程中，由于需
4、：企业在生产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的求是随时间变化的，因此企业为了获得全年的最佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或最佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地逐季度地根据库存和需求决定生产计划。根据库存和需求决定生产计划。多阶段决策问题的典型例子：多阶段决策问题的典型例子：这时，机器的年完好率为这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器的数量，即如果年初完好机器的数量为为u，到年终完好的机器就为，到年终完好的机器就为au,0a1。在低负荷下生产时，产品的年产量在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器和投入生产的机器数量数量u2的关系为的关系为 h=
5、h(u2)假定开始生产时完好的机器数量为假定开始生产时完好的机器数量为s s1 1。要求制定一个。要求制定一个五年计划，在五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配每年开始时，决定如何重新分配完好的完好的机器机器在两种不同的负荷下生产的数量在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产，使在五年内产品的总产量达到最高。量达到最高。相应的机器年完好率相应的机器年完好率b b,0,0b b11。2.2.机器负荷分配问题机器负荷分配问题：某种机器可以在高低两种不同的负：某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量g和
6、和投入生产的机器数量投入生产的机器数量u1的关系为的关系为g=g(u1)不包含时间因素的静态决策问题（本质上不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次决策问题）也可以适当地引入阶段的是一次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多阶段的决策问题用动态规划方概念，作为多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。法来解决。3.线性规划、非线性规划线性规划、非线性规划等静态的规划问题也等静态的规划问题也可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法加以解决。方法加以解决。4.最短路问题最短路问题：给定一个交通网络图如下，其中两：给定一个交通网络图如下，其中两点之
7、间的数字表示距离（或花费），试求从点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点到点到G点的最短距离（总费用最小）。点的最短距离（总费用最小）。123456AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2E3F1F2G531368763685338422213335256643第二节第二节 基本概念和基本原理基本概念和基本原理12n状态状态决策决策状态状态决策决策状态状态状态状态决策决策阶段阶段阶段阶段阶段阶段策略策略状态转移状态转移指标函数指标函数基本概念基本概念设从甘肃要铺一条煤气管道到北京，途中须经过三个省：设从甘肃要铺一条煤气管道到北京，途中须经过三个省：陕西、山西、河北，每省设一个中间站。
8、各省建站可供选陕西、山西、河北，每省设一个中间站。各省建站可供选择的地点及各段距离如下图，现要求选择一条甘肃到北京择的地点及各段距离如下图，现要求选择一条甘肃到北京的铺管线路的铺管线路 使总距离最短。使总距离最短。12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423最短路问题多阶段决策问题135810路长=21146910路长=16每一个阶段的决策合在一起构成一个铺设方案每一个阶段的决策合在一起构成一个铺设方案铺设方案铺设方案1：铺设方案铺设方案2：一个策略每个策略对应一个路长每个策略对应一个路长寻找寻找最优策略最优策略寻找路长最短的铺设方案寻找路长最短的铺设方案策
9、略1、阶段阶段：12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423如最短路问题：如最短路问题：问题分成4个阶段：通常用通常用k表示阶段表示阶段，是指对整个是指对整个过程的自然划分过程的自然划分k=1，2，3，412，13，145 8，7968，59，69，78，划分阶段的规则：根据时间顺序或空间特征来划分阶段根据时间顺序或空间特征来划分阶段目的：目的：以便按次序来解优化问题以便按次序来解优化问题线路：第一阶段，甘肃 陕西第三阶段：山西 河北 线路：k=1：k=3：2、状态、状态：第一阶段的状态：第一阶段的状态：1第二阶段的状态：第二阶段的状态：234状态变量状态变
10、量描述各阶段状态的变量描述各阶段状态的变量12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423如最短路问题：sk第第k阶段的状态变量阶段的状态变量s4第4阶段的初始状态变量s4=第4阶段的初始状态为 8Sk=sk第第k阶段的状态集合阶段的状态集合S3=s3=，注：n个阶段的决策过程有个n+1状态变量sn+1,表示sn演变的结果，简称为状态，简称为状态各阶段各阶段开始开始时所处的自然状况或客观条件时所处的自然状况或客观条件S5=动态规划中的动态规划中的状态应具有以下性质状态应具有以下性质：1、能描述过程的特征、能描述过程的特征2、具有无后效性、具有无后效性(马尔可夫性
11、马尔可夫性)当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过当某阶段的状态给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关3、状态是直接或间接可以观测的、状态是直接或间接可以观测的3、决策、决策：当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策择手段称为决策 12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423决策变量描述决策的变量描述决策的变量kksu时的决策变量阶段处于状态第ksk 23u决策第第2阶段当状态为阶
12、段当状态为时的决策变量时的决策变量可取值为：可取值为：，237ukksU允许取值的范围决策变量)(kksu 23U=，简称为决策，简称为决策37允许决策集合4、策略：由各阶段的决策组成的序列称为策略由各阶段的决策组成的序列称为策略12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423最短路问题：最短路问题：策略=铺设方案如 阶段全过程的策略第开始到从第一阶段初始状态nsspn11,1nnnsusususp,22111,1即 14,1p策略P允许策略集合允许策略集合最优策略最优策略：使整个问题达到最优效果的策略：使整个问题达到最优效果的策略策略：最优策略最优策略=最短的
13、铺设路线最短的铺设路线13,37,79,910策略 14,1p策略：策略：由各阶段的决策组成的序列称为策略由各阶段的决策组成的序列称为策略 nnnsusususp,22111,1即原过程：原过程：一个一个n段决策过程，从段决策过程，从1到到n叫作问题的原过程叫作问题的原过程原过程的一个原过程的一个后部子过程后部子过程：对于任意给定的对于任意给定的k k（1 kn1 kn），从第），从第k k段到第段到第n n段段的过程称为原过程的一个后部子过程的过程称为原过程的一个后部子过程 1,1spn原过程的策略原过程的策略原过程的一个后部子过程的策略：原过程的一个后部子过程的策略：开始的策略：初始状态阶
14、段个阶段的决策过程从第即有ksknknksp,12345678910北京河北山西陕西甘肃8458961610967738423最短路问题：原过程的一个策略：原过程的一个策略：2,43p 3,47p 4,49p后部子过程的策略后部子过程的策略后部子过程的策略 ，=p1，4（），5 5、状态转移方程：、状态转移方程：是确定过程由一个状态到另一是确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程，描述了状态转移规律。个状态的演变过程，描述了状态转移规律。sk第k阶段的状态变量kksu时的决策变量阶段处于状态表示第ksk),(1kkkkusTs状态转移方程：6、指标函数、指标函数用于衡量所选定的策略优劣的数量指
15、标称为指标函数用于衡量所选定的策略优劣的数量指标称为指标函数的指标函数所对应时采用原过程策略在初始状态为nnnpspsV,11,11,1,所对应的指标函数策略时采用后部子过程阶段状态为在第nkknkknkpskpsV,最优策略最优策略达到最优的策略使指标函数nkknkpsV,：nkp,*kksf最优值函数 所对应的指标函数值时全过程采用最优策略初始状态为npssf,1111*时的指标函数值止采用最优策略开始到过程终阶段状态从第nkkpsk,*kksfnkknkPppsVoptnknk,nkknkpsV,*,动态规划的基本原理动态规划的基本原理最优化原理：一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论
16、初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策必构成最优策略对最短路问题：的最优策略（最短路）到是若FCFEDC1121来说，必有：对状态1CAB1 FB2B3C1C2C3D2D1E2E1则不论前面A如何到达B，B又如何到达C1的最优策略到是FDFED212的最优策略到是FEFE11对最短路问题：最短路问题的特点：找最短路线的方法：，必是最短的能选择的不同路线来说出发到达终点的所有可从达终点的这段路线对于点出发到点，则由阶段通过如果最短路线在第sssk短路线求得由起点到终点的最终点的最短路线，最后各点到由后向前的方法，求出从最后一阶段开始，用来源于动态规划的最优化原理最
17、短路问题的基本方程：11,minkkkkusfusdkkksfk=4,3,2,1 055sf由后向前迭代递推公式建立动态规划模型的步骤建立动态规划模型的步骤 1 1、划分阶段、划分阶段划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一划分阶段是运用动态规划求解多阶段决策问题的第一步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，步，在确定多阶段特性后，按时间或空间先后顺序，将过程划分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要将过程划分为若干相互联系的阶段。对于静态问题要人为地赋予人为地赋予“时间时间”概念，以便划分阶段。概念，以便划分阶段。2 2、正确选择状态变量、正确选择状态变量选择变量既要能确切描述过程
18、演变又要满足无后效性，选择变量既要能确切描述过程演变又要满足无后效性，而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态而且各阶段状态变量的取值能够确定。一般地，状态变量的选择是从过程演变的特点中寻找。变量的选择是从过程演变的特点中寻找。3 3、确定决策变量及允许决策集合、确定决策变量及允许决策集合通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。4 4、确定状态转移方程、确定状态转移方程根据根据k 阶段状态变量和决策变量，写出阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段
19、状态变阶段状态变量，状态转移方程应当具有递推关系。量，状态转移方程应当具有递推关系。5 5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程划基本方程 阶段指标函数是指第阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数阶段的收益，最优指标函数是指从第是指从第k 阶段状态出发到第阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最阶段末所获得收益的最优值，最后写出动态规划基本方程。优值，最后写出动态规划基本方程。以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统动态规划模
20、型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过一的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。不断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。例一、从例一、从A 地到地到D 地要铺设一条煤气管道地要铺设一条煤气管道,其中需经过其中需经过两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？AB1B2C1C2C3D24333321114最短路径问题最短路径问题 解：整个计算过程分三个阶段，从最后
21、一个阶段开始。解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。第一阶段（第一阶段（C D）：）：C 有三条路线到终点有三条路线到终点D。AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3显然有显然有 f1(C1)=1 ；f1(C2)=3 ；f1(C3)=4 d(B1,C1)+f1(C1)3+1 f2(B1)=min d(B1,C2)+f1(C2)=min 3+3 d(B1,C3)+f1(C3)1+4 4 =min 6 =4 5第二阶段（第二阶段（B C）：）：B 到到C 有六条路线。有六条路线。AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路线为最短路线为
22、B1C1 D)d(B2,C1)+f1(C1)2+1 f2(B2)=min d(B2,C2)+f1(C2)=min 3+3 d(B2,C3)+f1(C3)1+4 3 =min 6 =3 5AB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2(最短路线为最短路线为B2C1 D)第三阶段（第三阶段（A B）：）：A 到到B 有二条路线。有二条路线。f3(A)1=d(A,B1)f2(B1)246 f3(A)2=d(A,B2)f2(B2)437 f3(A)=min =min6,7=6d(A,B1)f2(B1)d(A,B2)f2(B2)(最短路线为最短路线为AB1C1 D)AB1B2C1C
23、2C3D24333321114DC1C2C3B1B2AAB1B2C1C2C3D24333321114DC1C2C3B1B2A最短路线为最短路线为 AB1C1 D 路长为路长为 6练习练习1：AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2E3F1F2G53136876368533842221333525664最优路线为：最优路线为：A B1 C2 D1 E2 F2 G 路长路长18求从求从A到到G的最短路径的最短路径3k=5k=5，出发点，出发点E1E1、E2E2、E3E3 73543min,min2621516115FfFEdFfFEdu5(E1)=F1E1 F1 G 53245min,min
24、262251612525FfFEdFfFEdfEAB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2E3F1F2G531368766835338422123335526643)(15Efu5(E2)=F2E2 F2 G 93646min,min262351613535FfFEdFfFEdfEu5(E3)=F2E3 F2 Gk=6k=6,F1 G f f6 6(F1)=4(F1)=4F F2 2 G ,f,f6 6(F2)=3(F2)=3k=4，f4(D1)=7 u4(D1)=E2f4(D2)=6 u4(D2)=E2f4(D3)=8 u4(D3)=E2k=2,f2(B1)=13 u2(B1)=C2 f
25、2(B2)=16 u2(B2)=C3f3(C1)=13 u3(C1)=D1f3(C2)=10 u3(C2)=D1f3(C3)=9 u3(C3)=D1f3(C4)=12 u3(C4)=D3k=3,=minf1(A)=mind1(A,B1)+f2(B1)d1(A,B2)+f2(B2)5+133+16=18k=1,u1(A)=B1u2(B1)=C2u3(C2)=D1u4(D1)=E2u1(A)=B1u2(B1)=C2u3(C2)=D1u4(D1)=E2u5(E1)=F1E1 F1 Gu5(E2)=F2E2 F2 Gu5(E3)=F2E3 F2 G7 5 9 u5(E2)=F2u6(F2)=G最优策略
26、最优策略AB1B2C1C2C3C4D1D2D3E1E2E3F1F2G531368763685338422213335256643求从求从A到到E的最短路径的最短路径路线为路线为AB2C1 D1 E，最短路径为最短路径为1919AB2B1B3C1C3D1D2EC25214112610104312111396581052练习练习2：1 生产与存储问题生产与存储问题：某工厂生产并销售某种产品。：某工厂生产并销售某种产品。已知今四个月市场需求预测如下表，又每月生产已知今四个月市场需求预测如下表，又每月生产j j个单位产品的费用为个单位产品的费用为 每月库存每月库存i i个单位产品的费用个单位产品的费用
27、E(i)=0.5i(E(i)=0.5i(千千元），该厂最大库存容量为元），该厂最大库存容量为3 3个单位，每月最大个单位，每月最大生产能力为生产能力为6 6个单位，计划开始和计划期末库存个单位，计划开始和计划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户需求条件下，使总费用最小。户需求条件下，使总费用最小。6,2,1300jjjjc阶段阶段k=1，2，3，4第第k阶段的阶段的状态变量状态变量ski月1234g(i)需求2324S1=0，S2=0,1,2,3，S3=0,1,2,3，S4=0,1,2,3=第第k个月月初的库存量个月月初的库存量 生产与
28、存储问题生产与存储问题 某工厂生产并销售某种产品。某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求预测及每月生产已知今后四个月市场需求预测及每月生产j个单位个单位产品的费用如下：产品的费用如下：6,2,1300jjjjc月1234需求2324k=1，2，3，4sk=第k个月月初的库存量S1=0S2=0,1,2,3S3=0,1,2,3S4=0,1,2,3时产品的产量月月初库存量为第决策变量kkksksu=2,3,4,5每月库存每月库存i个单位产品的费用个单位产品的费用E(i)=0.5i(千元），该千元），该厂最大库存容量为厂最大库存容量为3个单位，每月最大生产能力为个单位，每月最大生产能力为6个
29、单位，计划开始和计划期末库存量都是零，试个单位，计划开始和计划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户需求条件下，制定四个月的生产计划，在满足用户需求条件下，使总费用最小。使总费用最小。=2,3,4,5=0,1,2,3=3 01U12U 23U14U生产与存储问题生产与存储问题 某工厂生产并销售某种产品。已知今四个月市某工厂生产并销售某种产品。已知今四个月市场需求预测如下表，又每月生产场需求预测如下表，又每月生产j个单位产品的费用为个单位产品的费用为 每月库存每月库存i个单位产品的费用个单位产品的费用E(i)=0.5i(千元），该厂最大库存千元），该厂最大库存容量为容量为3个单位，
30、每月最大生产能力为个单位，每月最大生产能力为6个单位，计划开始和计个单位，计划开始和计划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户需求条件下，使总费用最小。需求条件下，使总费用最小。6,2,1300jjjjci月1234g(i)需求2324阶段产品的产量第决策变量kukk=1，2，3，4sk=第第k个月月初的库存量个月月初的库存量一个策略=一个生产方案 04,1p2，5，0，4 04,1p2，3，2，4费用：21（千元）费用：23（千元）最优策略：使总费用最小的生产方案使总费用最小的生产方案 生产与存储问题生产与存储问题 某工厂生
31、产并销售某种产品。已知今四个月市某工厂生产并销售某种产品。已知今四个月市场需求预测如下表，又每月生产场需求预测如下表，又每月生产j个单位产品的费用为个单位产品的费用为 每月库存每月库存i个单位产品的费用个单位产品的费用E(i)=0.5i(千元），该厂最大库存千元），该厂最大库存容量为容量为3个单位，每月最大生产能力为个单位，每月最大生产能力为6个单位，计划开始和计个单位，计划开始和计划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户划期末库存量都是零，试制定四个月的生产计划，在满足用户需求条件下，使总费用最小。需求条件下，使总费用最小。6,2,1300jjjjc阶段k=1，2，3，4状态变
32、量sk=第k个月月初的库存量i月月1234g(i)需求需求2324时产品的产量月月初库存量为第决策变量kkksksu状态转移方程：)(1kgsuskkk计划结束的最小总费用时，从本月到月月初库存为：第最优值函数kkksksf)()0(1f求当k=4时，)(44sf求u4(s4)对应的总费用=生产费+库存费3,2,1,04s)(44sEuc)(min44444sEucsfu 6,2,1300jjjjc生产费用i月1234g(i)需求2324库存费E(i)=0.5i，最大库存容量为3个单位，最大生产能力为6个单位，计划开始和计划期末库存量为零的最小总费用时，从本月到计划结束月月初库存为：第kkks
33、ksf)(4s01234u4)(44sf74*u436.5326215.51当k=3时，)(33sf求的最小总费用时，从本月到计划结束月月初库存为第3333)(ssf3,2,1,03s 6,2,1300jjjjc生产费用i月1234g(i)需求2324库存费E(i)=0.5i，最大库存容量为3个单位，最大生产能力为6个单位，计划开始和计划期末库存量为零3s)3(3Euc时，当33s 3333usu2,1,0：分析)3(3f012304s123003u23u13u)1(4f)2(4f)3(4f)3(3f 3)3()2(,2)3()1(,1)3()0(min444fECfECfEC 433)3()
34、3(min3fEuCu4s 44333)()(min33sfsEsuCsuu3(3)对应的总费用=生产费+库存费 6,2,1300jjjjc生产费用i月1234g(i)需求2324库存费E(i)=0.5i，最大库存容量为3个单位，最大生产能力为6个单位，计划开始和计划期末库存量为零3s4433333)()(min33sfsEsuCsfsu3s03u2 3 4 54fEC1212.5 13 13.533sf123*3su211 2 3 411.5 12 12.5 1311.5120 1 2 38 11.5 12 12.58030 1 288011.5 124s01234u4)(44sf74*u4
35、36.5326215.51当k=2时，)(22sf求3,2,1,02s的最小总费用时，从本月到计划结束月月初库存为第2222)(ssf)(22sEuc)(22sf3322)()(sfsEuC22minsui月1234g(i)需求2324u2(s2)对应的总费用=生产费+库存费3s03u2 3 4 54fEC1212.5 13 13.533sf123*3su211 2 3 411.5 12 12.5 1311.5120 1 2 38 11.5 12 12.58030 1 28 11.5 1280k=3当k=2时，)(22sf 3322)()(sfsEuC22minsu2s01232u 3 4 5
36、 622sf1818.5 16 173fEC162*2su52 3 4 517.5 18 15.5 16.5 1 2 3 4170 1 2 313.5 17 14.5 15.515.5415313.5017.5 15 16当k=1时，)(11sf求01s结束的最低总费用时，从第一个月到计划月初库存为第01)0(1f 22101)(min01sfuCfu1uci月1234g(i)需求2324u1(0)对应的总费用=生产费k=22s01232u 3 4 5 622sf1818.5 16 173fEC162*2su52 3 4 517.5 18 15.5 16.5 1 2 3 417 17.5 15
37、 160 1 2 313.5 17 14.5 15.515.5415313.50 22101)(min01sfuCfu当k=1时，1s01u2 3 4 5 01f2fC 0*1u22 21.52122121.5最优生产方案：2101f结论：20*1u 50*2u 02*3u 40*4u个，个月生产第21个，个月生产第52个，个月生产第03个，个月生产第4421总费用)(min44444sEucsfu时，4k时，3k 443333)()(min33sfsEuCsfsu时，2k)(22sf 3322)()(sfsEuC22minsu时，1k 22101)(min01sfuCfu01s 0111fs
38、f2211)()(min11sfsEuCsu055sf)()(min55444sfsEucu 11)()(minkkkksukksfsEuCsfkk kgusskkk1其中1,2,3,4k生产存储问题的基本方程：最优化原理：一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策必构成最优策略最短路问题的基本方程：11,minkkkkusfusdkkksfk=4,3,2,1 055sf生产存储问题的基本方程为：01,2,3,4)(min5511sfksfsEucsfkkkkukkkkkusd,11,kkkkusfusdoptkkksfk=n
39、,n-1,n-2,3,2,1011nnsf动态规划的基本方程为：其中opt为最优，可取min或max 现有数量为现有数量为a（万元）的资金，计划分配给（万元）的资金，计划分配给n 个工厂个工厂,用于扩大再生产。用于扩大再生产。假设：假设：xi 为分配给第为分配给第i 个工厂的资金数量（万元）个工厂的资金数量（万元）；gi(xi)为第为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。问题是如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为问题是如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。最大。nixaxxgZiniiniii.2.1 0)(max11据此，有下式：据此，有下
40、式：投资分配问题投资分配问题 令：令：fk(x)=以数量为以数量为x 的资金分配给前的资金分配给前k 个工厂，所个工厂，所得到的最大利润值。得到的最大利润值。用动态规划求解，就是求用动态规划求解，就是求 fn(a)的问题。的问题。当当 k=1 时，时，f1(x)=g1(x)（因为只给一个工厂）（因为只给一个工厂）当当1kn 时，其递推关系如下：时，其递推关系如下：设：设：y 为分给第为分给第k 个工厂的资金（其中个工厂的资金（其中 0y x），此时），此时还剩还剩 x y（万元）的资金需要分配给前（万元）的资金需要分配给前 k-1 个工厂个工厂,如如果采取最优策略，则得到的最大利润为果采取最优
41、策略，则得到的最大利润为fk1(xy),因此因此总的利润为：总的利润为：gk(y)fk1(xy)nkyxfygxfkkxyk.3.2)()(max)(10其其中中 如果如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的是以万元为资金分配单位，则式中的y 只取只取非负整数非负整数0，1，2，x。上式可变为：。上式可变为：)()(max)(1,2,1,0yxfygxfkkxyk所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：例题：例题：设国家拨给设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的个工厂扩
42、建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函数如下表所示。利润函数如下表所示。投资投资利润利润0102030405060g1(x)0205065808585g2(x)0204050556065g3(x)0256085100110115g4(x)0254050606570解：依据题意，是要求解：依据题意，是要求 f4(60)。按顺序解法计算。按顺序解法计算。第一阶段：求第一阶段：求 f1(x)。显然有。显然有 f1(x)g1(x)，得到下表，得到下表 投资投资利润利润0102030405060f1(x)g1(x)0205065808585最优策略最优策略0102030405060第二阶段：求第二
43、阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。何进行投资分配，以取得最大的总利润。)60()(max)60(1260,10,02yfygfy12006520605055655080408520850max)0()60()10()50()20()40()30()30()40()20()50()10()60()0(max12121212121212fgfgfgfgfgfgfg最优策略为（最优策略为（40，20），此时最大利润为），此时最大利润为120万元。万元。同理可求得其它同理可求得其它 f2(x)的值。的值。105)0()5
44、0()10()40()20()30()30()20()40()10()50()0()50()(max)50(1212121212121250,10,02fgfgfgfgfgfgyfygfy最优策略为（最优策略为（30，20），此时最大利润为），此时最大利润为105万元。万元。90 )40()(max)40(1240,10,02yfygfy最优策略为（最优策略为（20，20），此时最大利润为），此时最大利润为90万元。万元。70 )30()(max)30(1230,20,10,02yfygfy最优策略为（最优策略为（20，10），此时最大利润为），此时最大利润为70万元。万元。50 )20()(
45、max)20(1220,10,02yfygfy20 )10()(max)10(12,10,02yfygfy最优策略为（最优策略为（10，0）或（）或（0，10），此时最大利润，此时最大利润为为20万元。万元。f2(0)0。最优策略为（最优策略为（0，0），最大利润为），最大利润为0万元。万元。得到下表得到下表最优策略为（最优策略为（20，0），此时最大利润为），此时最大利润为50万元。万元。投资投资利润利润0102030405060f2(x)020507090105120最优策略最优策略(0,0)(10,0)(0,10)(20,0)(20,10)(20,20)(30,20)(40,20)第三阶
46、段：求第三阶段：求 f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。)60()(max)60(2360,10,03yfygfy1550115201105010070859060105251200max)0()60()10()50()20()40()30()30()40()20()50()10()60()0(max23232323232323fgfgfgfgfgfgfg最优策略为（最优策略为（20，10，30），最大利润为），最大利润为155万元。万元。同理可求得其它同理可求得其它 f3(x
47、)的值。得到下表的值。得到下表 投资投资利润利润0102030405060f3(x)0256085110135155最优最优策略策略(0,0,0)(0,0,10)(0,0,20)(0,0,30)(20,0,20)(20,0,30)(20,10,30)第四阶段：求第四阶段：求 f4(60)。即问题的最优策略。即问题的最优策略。)60()(max)60(3460,10,04yfygfy16007025656060855011040135251550max)0()60()10()50()20()40()30()30()40()20()50()10()60()0(max34343434343434fg
48、fgfgfgfgfgfg最优策略为（最优策略为（20，0，30，10），最大利润为），最大利润为160万元。万元。练习：练习：求投资分配问题得最优策略，其中求投资分配问题得最优策略，其中a50 万元，其余万元，其余资料如表所示。资料如表所示。投资投资利润利润01020304050g1(x)02140528085g2(x)015365073100g3(x)02560656870例：某公司打算在例：某公司打算在3个不同的地区设置个不同的地区设置4个销售点，个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表所示。试问在各地区如售
49、点每月可得到的利润如表所示。试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。何设置销售点可使每月总利润最大。地地区区销售点销售点01234123000161210251714302116322217 x1=2，x2=1，x3=1，f3(4)=47 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公公斤，设有斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？的物品（各几件），使所起作用
50、（使用价值）最大？物品物品 1 2 j n重量（公斤重量（公斤/件）件）a1 a2 aj an每件使用价值每件使用价值 c1 c2 cj cn 这就是背包问题。类似的还有工厂里的下料问题、这就是背包问题。类似的还有工厂里的下料问题、运输中的货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题运输中的货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。等。四、背包问题四、背包问题设设xj 为第为第j 种物品的装件数（非负整数）则问题的数学种物品的装件数（非负整数）则问题的数学模型如下：模型如下：).2.1(0max1njxaxaxcZjnijjjnjjj 且且为为整整数数用动态规划方法求解，令用动态规划方法求解，令 f
