1、函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f：AB 概念 （1）A中元素必须都有_且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f：AB 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B都是非空数集。函数 y=f(x)是“y是x 的函数”这句话的数学表示，其中 x是自变量，y是自变量 x的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x轴的直线_公共点，但与垂直y轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x。） （2）、函数三要素是_，_
2、和_，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f(x)的定义域内的一个_上，如果对于任意两数x1，x2A。当x1x2时，都有_，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的，当x10).(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|).若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.四二次函数 幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：
3、f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)_零点式：f(x)_(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调_；当0时，向左平移a个单位；a0时，向上平移a个单位；a0时，向下平移|a|个单位.y=f(-x)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.y=f(|x|)y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x0时的图象与x0时y=
4、f(x)的图象关于y轴对称.y=|f(x)|，y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)0图象的组合.yy=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.注： （1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴； （2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.(1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.(2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的
5、根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标；不等式f(x)1，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时， 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1） ；（2） ；（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数_ 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R 注：指数函数的底数的取值范围_ 2、指数函数的图象和性质a10a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中_叫作对数的底数，_叫作真数. 说明： 注意底数的限制，且；
6、； 注意对数的书写格式 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数_； 自然对数：以无理数为底的对数的对数_ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质 如果，且，那么： _； _； alogaN_；logaaN_(a0且a1). =_ 注意：换底公式 （，且；，且； ） 利用换底公式推导下面的结论 （1）；（2）（三） 对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形 式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且 2、对数函数的
7、性质：a10a1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）1.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.七 函数与方程 1.函数的零点(1)函数零点的定义函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图像与_有交点函数yf(x)有_(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数yf(x)在闭区间a
8、，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，a1)，f (x)_；f(x)ex f (x)_； f(x)logax(a0，a1)，f (x)_；f(x)ln x，f (x)_。4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_； (3)_(g(x)0).1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误
9、.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.4.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.5.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.6.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.5. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也可
10、能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.5. 导数与单调性（1） 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ( x ) 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ( x) 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ( x ) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；令 f ( x) g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口.2.在讨论方程的根的个数、研究函数图像与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.
