1、突破点一参数方程1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为 (为参数)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)参数方程(t为参数)所表示的图形是直线()(2)直线
2、yx与曲线(为参数)的交点个数为1.()答案：(1)(2)二、填空题1曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_解析：由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)答案：y22x2(1x1)2椭圆C的参数方程为(为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min_.答案：3参数方程(t为参数)化为普通方程为_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程为3xy40(x0,2)答案：3xy40(x0,2)考法一参数方程与普通方程的互化例1将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)解(1)两式相除，得k，将其代入x，得x，化简得所
3、求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，故所求的普通方程为y22x，x0,2方法技巧将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解考法二参数方程的应用例2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为
4、参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.方法技巧1直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是若
5、M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)|M1M2|t1t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解1.求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数解：将消去参数t得直线xy10；将消去参数，得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点2.已知直线l：xy10与抛物线yx2相
6、交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(1,2)到A，B两点的距离之积解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，所以它的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，把它代入抛物线的方程，得t2t20，由根与系数的关系得t1t2，t1t22，由参数t的几何意义可知|AB|t1t2|，|MA|MB|t1t2|2.突破点二参数方程与极坐标方程的综合问题典例(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos
7、 sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.方法技巧处理参数方程与极坐标方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方
8、程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的针对训练1(2019贵阳模拟)曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.(1)写出C的普通方程，并用(为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由解：(1)C的普通方程为y21，由cos得xy20，则直线l的倾斜角为，又直线l过点(2,0)，得直线l的一个参数方程为(t为参数)(2)将l的参数方程代入C的普通方程得5t24t0，解得t
9、10，t2，显然l与C有两个交点，分别记为A，B，且|AB|t1t2|.2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点(1)求圆C的极坐标方程；(2)当变化时，求弦长|MN|的取值范围解：(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，圆的半径为2，圆C的直角坐标方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，xcos ，ysin ，22cos 2sin 0，故圆C的极坐标方程为4cos.(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标
10、方程得，(2tcos )2(tsin )22(2tcos )2(tsin )0，整理得，t22tcos 30，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22cos ，t1t23，|MN|t1t2|.，cos ，|MN|，4故弦长|MN|的取值范围为，4课时跟踪检测 1(2018河南息县第一高级中学段测)已知曲线C的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|，求实数m的值解：(1)由(为参数)得曲线C的普通方程为x2(ym)21.由x1t，得tx1，代入y4t，得y42(x1)，所以直线l的普通方
11、程为2xy20.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d，由勾股定理得221，解得m3或m1.2(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a16.综上，a8或a16.3(201
12、9成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin24sin .(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|MB|的值解：(1)由消去参数t可得y(x2)2，直线l的普通方程为xy220.sin24sin ，2sin24sin 2.sin y，2x2y2，曲线C的直角坐标方程为x24y.(2)将代入抛物线方程x24y中，可得24，即t2(88)t160.0，且点M在直线l上，此方程的两个实数根为
13、直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，t1t216，|MA|MB|t1t2|16.4(2019贵州联考)以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C的极坐标方程为，过点M(2，2)且倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点(1)求曲线C的直角坐标方程，并用(为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的参数方程；(2)若M是线段AB的中点，求的值解：(1)由得sin24cos ，2sin24cos ，即y24x(x0)，曲线C的直角坐标方程为y24x(x0)；直线l的参数方程为(t为参数，0)(2)将代入y24x(x0)得(sin2
14、)t24(sin cos )t40，t1t20，.5(2019洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，mR)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2(0)(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为xym0.由曲线C2的极坐标方程得3222cos23，0，曲线C2的直角坐标方程为y21(0y1)(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cos ，sin )，0，则点P到曲线C1的距离d.0，cos
15、，2cos2，由点P到曲线C1的最小距离为2得，若m0，则m4，即m4；若m20，则m24，即m6；若m20，m0，即m2时，min0，不合题意，舍去综上，m4或m6.6(2019广州花都区模拟)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(为参数)(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值解：(1)由已知得l的普通方程为y(x1)，C1的普通方程为x2y21，联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|1.(2)由题意，得C2的参数方程为(为参数)
16、，故点P的坐标为，从而点P到直线l的距离是d，当sin1时，d取得最小值，且最小值为.7(2019辽宁五校联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线C的极坐标方程为2sin ，0,2(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标解：(1)由2sin 可得22sin ，曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得l的普通方程为yx5，由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l的距离为21，所以曲线C与l相离设
17、D(x0，y0)，且点D到直线l：yx5的距离最短，则曲线C在点D处的切线与直线l：yx5平行，()1，又x(y01)21，x0(舍去)或x0，y0，点D的直角坐标为.8(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点需满足1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.
