1、数学一点通四边形平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质：(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；(2)平行四边形的对边平行且相等；(3)平行四边形的对角相等，邻角互补；(4)平行四边形的对角线互相平分面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，判定：三角形中位线定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。作用：(1)位置关系：可以证明两条直线平行； (2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分拓展：(1)三角形共有三
2、条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形； (2)要会区别三角形的中线与中位线矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。性质：(1)具有平行四边形的所有性质；(2)对角线相等；(3)四个角都是直角；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半拓展：己学过的直角三角形的性质主要有：(1)两锐角互余；(2)两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)30角所对的直角边等于斜边的一半；(4)斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四
3、边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形矩形的面积公式： 矩形面积=长宽菱形1定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2性质：(1)具有平行四边形的一切性质； (2)四条边都相等； (3)两条对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角； (4)既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线拓展：由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解3判定：(1)定义； (2)四条边都相等的四边形； (3)对角线互相垂直平分的四边形； (4)对角线平分一组对角的平行四边形4面积：(1)平行四边形面积公式：底高 (2)两条对角线乘积的一半若
4、a、b分别表示两条对角线的长，则正方形1定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 拓展：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形2性质：(1)边四条边都相等，邻边垂直，对边平行； (2)角四个角都是直角； (3)对角线相等；互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角；两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形 (4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点拓展：(1)若正方形的边长为a，则对角线的长为； (2)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等3判定：(1)先证它是矩形，再证一组邻边相等； (2)先证它是
5、菱形，再证一个角是直角4面积：(1)正方形的面积等于边长的平方； (2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大梯形：1梯形的面积公式是_.2等腰梯形的性质：边 _；_.角 _；_.对角线 _;轴对称性_3 等腰梯形的判别方法_.4 梯形的中位线长等于_.5 添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的梯形经常划分成平行四边形（矩形）和三角形而加以探索。常用的辅助线如下如图，梯形ABCD，ADBC(1)添加辅助线，转化成平行四边形和三角形(2)思考：各种辅助线分别起到什么作用？例题分析：1如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO 求证
6、：AOB=COB解：作BMCF于M，BNAE于N，连接BE、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是AOB=COB2如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形证明略3如图，ABCD为等腰梯形，ABCD，对角线AC，BD交于O，且AOB=60，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点求证：EFG为等边三角形证明：连接EC ABCD为
7、等腰梯形， AD=BC，且AC=BD又 DC=DC， ADCBCD，ACD=BDC， ODC为等腰三角形 DOC=AOB=60， ODC为等边三角形又 E为OD中点， OEC=90在RtBEC中，G为斜边的中点， 。同理 在OAD中， E，F分别为OD，OA的中点 ，故EFG为等边三角形4已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点求证：(1)BEAC； (2)EG=EF。证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC，BD=2BO 由已知BD=2AD， BO=BC，又E是OC中点， BEAC(2)由(1)BEAC，又G是
8、AB中点， EF是OCD的中位线， 又， MEDCBA5如图已知BD、CE互相平分于M，AB=BC，试说明AE=BD。AEDFBC6 已知ABC中，AB=AC，点D在BC上，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F。试说明DE、DF、AB三者之间的数量关系。7.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是BA、DC上的点，且AECF，交BC、AD于点G、H。试说明：EG=FHABCDEFGH8.如图，点E、F、G、H分别在ABCD的各边上，且AE=CG,BF=DH,求证：EFGF.9如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,AE与CF交于点0,求证：AOB=COB10已知：如图，在四边形ABCD
9、中，AC与BD相交于点O，ABCD，AO=CO求证：四边形ABCD是平行四边形 例题分析例1 如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是ABCDE例2 矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE于F，连结DE，求证：DFDCABCDFE例3如图，在中，为上两点，且，（例4题）ABCDEF求证：（1）； （2）四边形是矩形解：（1），四边形是平行四边形，在和中，（2），四边形是平行四边形，四边形是矩形例4如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CFDE，垂足为F. （1）猜想：AD与CF的大小
10、关系；（2）请证明上面的结论.分析 由图可以直观看出,AD=CF;根据矩形的性质和三角形全等的判定,可以得到AD,CF所在的两个三角形ADEFCD,从而 AD=CF.解 （1） （2）四边形是矩形，又 ADEFCD, 例5 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接（1）求证：是的中点；（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论分析 要证D是BC的中点,即DB=DC,现已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要证AEFDEB;已知AFDC,又AF=DC,所以四边形ADCF为平行四边形.如果AB=AC,D是BC的中点,则有ADBC,从而得到四边形ADCF为矩形.
11、证明 （1）， 是的中点， 又， (AAS)，即是的中点（2）四边形是矩形，四边形是平行四边形，是的中点，即 四边形是矩形 典型例题例1：如图已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm,BD=12cm,求菱形的高。DCABOBECDAO例2：已知菱形ABCD的对角线AC=16cm,BD=12cm,DE垂直BC于点E，求DE的长。DCBEAO例3：如图菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB=a，求：（1）的度数。 （2）对角线AC的长。 （3）菱形ABCD的面积。DFCBEA例4：如图DE是平行四边行ABCD中，的平分线，DF/AD交DC于F。求证：（1）四边形AEFD是菱形。
12、（2）如果，AD=5，求菱形AEFD的面积。BFADCE例5如图四边形ABCD是菱形，F是AB上的一点，DF交AC于E。求证：AFD=CBE。ADCFBE例6如图菱形ABCD与等边有公共顶点A，且AEBC，求B的度数。ACEBFD例7如图，中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上的一点，CF/BE交AD于F，连结BF、CE。求证：四边形BECF是菱形。AFDBECO例8如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC、AD于点E、F。求证：四边形AECF为菱形。典例分析1. 已知:如图,ABC中.ABC=90,BD是角平分线,DEAB,DFBC,垂足分别是E、F. 求证：四边
13、形DEBF是正方形.2. 已知：如图点A、B、C、D 分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD求证：四边形ABCD是正方形3. 如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。4. 如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。5已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD456 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，连结CG，求证：CGB是等腰三角形。ABCDOGNM127 如图，在正
14、方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，MNAB，且分别与AO、BO交于M、N求证：BM = CN；CNBMCABDFE8如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE = CF求证：BCEDCF；若BEC =，求EFD的度数ABCDOEFH9如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EHAC，垂足为H求证：EH =FC典型例题A B C D 1 已知，如图，梯形ABCD中，ADBC，B=60，C=30，AD=2， BC=8.求梯形两腰AB、CD的长.2 在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接
15、AE。求证：AE=CA。3 在梯形ABCD中，ADBC，ACBD，若AD=2，BC=8，BD=6，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积 A C B D E 4 在梯形ABCD中，ABCD，A=90， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点求证：CEBE 5已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E求证：（1）BFCDFC；2）AD=DE6：如图，在梯形ABCD中，ADBC, ，(1) 求证：；(2) 若，求梯形ABCD的面积7如图，梯形ABCD中，B+C=90，E、F分别为上、下底的中点求证：EADCBF8 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD = 1，BC = 4 ，AC = 3，BD = 4，求梯形的面积EADBCF9如图，在梯形ABCD中，ADBC，BAD =，E是DC的中点，求证：AEB = 2CBE
