1、年 级高一学 科数学版 本苏教版课程标题必修四 第一章 三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破 1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。4. 三角函数的应用主
2、要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数yAsin（x）的图象与正
3、弦函数ysinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到yAsin（x）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。一、 知识脉络图：二、知识点拨：1. 与的周期是。2. 或（）的周期为。3. 的周期为2。 4. 的对称轴方程是（），对称中心为（）；的对称轴方程是（），对称中心为（）；的对称中心为（）。5. 当时，；当时， 6. 函数在上为增函数。（） 只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则为增函数的说法同样也是错误的。7. 不是周期函数；为周期函数（）；Y=cos|x|是周期函数（如图）；y
4、=|cosx|为周期函数（）；随堂练习：函数f（x）=sinx（cosx-sinx）的最小正周期是（）A. B. C. D. 2解：f（x）=sinx（cosx-sinx）=sinxcosx-sin2x=（sin2x+cos2x）-=sin（2x+）T=故选C知识点一：三角函数的概念例题1 设角属于第二象限，|cos|cos，试判断角属于第几象限？思路导航：首先应根据所属象限确定出所属的象限，然后再由cos0，cos0确定最终答案，要点就是分类讨论。答案：因为属于第二象限，所以2k2k（kZ），kk（kZ）。当k2n（nZ）时，2n2n （nZ）。是第一象限角；当k2n1（nZ）时，2n2n
5、（nZ）。是第三象限角。又由|cos|cos0cos0。所以应为第二、三象限角或终边落在x轴的负半轴上。综上所述，是第三象限的角。点评：由所在象限，判断诸如，等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定，所属的象限；另一种办法就是将k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式例题2 （1）已知2，cos（7），求sin（3）与tan（）的值；（2）已知2sinAcosA5cos2A，求tanA的值；（3）已知sincos，且（0，），求sin3cos3的值。答案：（1）cos（7）cos，co
6、s。又2，2，sin，sin（3）sin，tan（）（2）将已知式化为2sin2A2cos2AsinAcosA5cos2A，cosA0，2tan2AtanA30，tanA1或tanA。（3）sincos，（0，），sin0，cos0，sincos0，sincos，sin3cos3（1）。点评：形如asinbcos和asin2bsincosccos2的式子分别称为关于sin、cos的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。知识点三：三角函数的图象与性质例题3 对于函数f（x）2sin（2x），给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线x成轴对称；图
7、象可由函数y2sin2x的图象向左平移个单位得到；图象向左平移个单位，即得到函数y2cos2x的图象。其中正确结论的个数为（ ）个A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路导航：f（x）是非奇非偶函数，错误。f（x）是由y2sin2x向左平移个单位得到的，错误。把x代入f（x）中使函数取得最值，正确。f（x）2sin（2x）f（x）2sin2（x）2cos2x，正确。答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时，要注意函数性质的应用。例题4 设函数f（x）sin3x|sin3x|，则f（x）为（ ）A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为C. 周期
8、函数，最小正周期为2 D. 非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入检验，也可化简。答案：f（x）sin3x|sin3x|B正确。答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。知识点四：三角函数的应用 例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2cos2的值等于 （ ）A. 1 B. C. D. 思路导航：由题意，设大正方形边长AB1，小正方形的边长是，则BEsin，AEcos，c
9、ossin。平方得2cossin。（cossin）212cossin。cossin。sin2cos2（sincos）（sincos）。答案：D点评：三角函数的应用非常广泛。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。例题6 函数y的定义域是_。思路导航：由题意知，作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域x|2kx2k，kZ 。答案：x|2kx2k，kZ 点评：解三角不等式基本上有两种方法：利用三角函数线。利用三角函数图象。例题7 求函数f（x）的最大、最小值。思路导航：利用三角函数中和与的关系，转化成同一个量的关系式。答案：设sinxcosxt，则si
10、nxcosx，t，且t1，则y，t，。当t，即x2k（kZ）时，f（x）的最大值为；当t，即x2k（kZ）时，f（x）的最小值为。点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。例题（全国大纲理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（）A. B. C. D. 思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍。 解答过程：由题意将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍，
11、得，解得，又，令，得。答案：C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。例题 （临沂统考） 作函数ycotxsinx的图象。思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数ycotxsinx的图象即是ycosx（xk，kZ）的图象，因此应作出ycosx的图象，但要把xk，kZ的这些点去掉。答案：当sinx0，即xk（kZ）时，有ycotxsinxcosx，即ycosx（xk，kZ）。其图象如图，学习本章应该先复习角的概
12、念，了解角度制的内容。在学习本章时应该注意任意角、弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。学习过程中，对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。必修四 第二章 第12节向量的概念及表示；向量的线性运算一、预习导学1. 向量的概念： 。表示法 。2. 平行向量的概念： 、相等向量的概念： 。3. 已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）A. 、 B. 、C. 、 D. 、4. 向量的
13、加法法则： 。 5. 数的运算：减法是加法的逆运算， 。6. 向量的加法运算： 、向量共线定理： 。7. 平面向量基本定理： 。二、问题思考1. 如何用数学符号和有向线段表示向量？2. 向量加法的平行四边形法则和三角形法则如何？3. 如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？4. 理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。（答题时间：60分钟）一、选择题1. 集合|kk，kZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点P（4m，3m）（m0），则2sincos的值是（ ）A. 1或1B. 或C. 1或D. 1或3. 已知f（
14、cosx）cos3x，则f（sinx）等于（ ）A. sin3xB. cos3xC. cos3xD. sin3x4. （天津）已知sinsin，那么下列命题成立的是（ ）A. 若、是第一象限角，则coscosB. 若、是第二象限角，则tantanC. 若、是第三象限角，则coscosD. 若、是第四象限角，则tantan5. 要得到函数的图象，只需将函数ysin2x的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位6. 已知是某三角形的一个内角且sin（）cos（），则此三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7.
15、 若|sin|，5，则tan等于（ ）A. B. C. D. 8. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）A. B. C. D. 9. 函数ytg（）在一个周期内的图象是（ ）A. B. C. D. 10. （上海）函数yxsin|x|，x，的大致图象是（ ）A. B. C. D. 11. （福建）定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x2），当x3，5时，f（x）2|x4|，则（ ）A. f（sin）f（cos）B. f（sin1）f（cos1）C. f（cos）f（sin）D. f（cos2）f（sin2）12. 如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每
16、分钟旋转4圈，水轮上点P到水面的距离y（m）与时间x（t）满足函数关系式yAsin（x）2，则（ ）A. ，A5B. ，A5C. ，A3D. ，A3二、填空题13. 若扇形的周长是16cm，圆心角是2弧度，则扇形的面积是 _。14. 函数的值域是_。15. 已知tan2，则 。16. 已知，则 。17. 不等式的解集是 。18. 函数的单调减区间是 。19. 函数f（x）是周期为的偶函数，且当时，则的值是 。20. 设函数f（x）3sin（2x），给出四个命题：它的周期是；它的图象关于直线x成轴对称；它的图象关于点（，0）成中心对称；它在区间，上是增函数。其中正确命题的序号是 。三、解答题21
17、. 如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线拟合正弦型曲线：（1）求这段时间的最大温度差；（2）写出这段曲线的函数表达式。22. 设函数（1）若，求的值，使函数为偶数；（2）在（1）成立的条件下，求满足且的x的集合。23. （1）已知求的值；（2）已知的值。24. 已知函数的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为和（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值。25. 已知函数的图象过A（0，1）及B两点，对，恒有。（1）求实数a的取值范围；（2）当实数a取（1）中范围的最大整数时，若存在实数m、n、使得式子成立，试求m、n、的值。一、选择题1. C 解析：当k取偶
18、数时，比如k0时，故角的终边在第一象限。当k取奇数时，比如k1时，故角的终边在第三象限。综上，角的终边在第一或第三象限，故选C。2. B 解析：，当m0时，；当m0时，。故选B。3. A 解析：（法一）令tcosx，由三倍角公式求出f（t）4t33t，换元可得 f（sinx）的解析式。（法二）把sinx 用cos（x）来表示，利用已知的条件f（cosx）cos3x得出f（sinx）的解析式。解答过程：（法一）令tcosx，cos3x4cos3x3cosx，f（cosx）cos3x4cos3x3cosx，f（t）4t33t，f（sinx）4sin3x3sinxsin3x，故选A。（法二）f（co
19、sx）cos3x，f（sinx）f cos（x）cos3（x）cos（3x）sin3x，故选A。4. D 解析：若、同属于第一象限，则，coscos；故A错。若、同属于第二象限，则，tantan；故B错。若、同属于第三象限，则，coscos；故C错。若、同属于第四象限，则，tantan。（均假定0，2。）故D正确。5. D 6. C 解析：sin（）cos（）， sincos（sincos）2，2sincos，是三角形的一个内角，sin0，cos0，为钝角，这个三角形为钝角三角形。7. C 解析：|sin|，5，sin，cos，tan。8. D 解析：将代入可得y1，排除A；将代入可得，排除B
20、； 将代入，可得y1，排除C。故选D。9. A 解析：令tg（）0，解得xk，可知函数ytg（）与x轴的一个交点不是，排除C，Dytg（）的周期T2，故排除B。故选A。10. C 解析：由题意可知：，当0x时，yxsinx，y1cosx0，又ycosx在0，上为减函数，所以函数yxsinx在0，上为增函数且增速越来越小；当x0时，yxsinx，y1cosx0，又ycosx在，0）上为增函数，所以函数yxsinx在0，上为增函数且增速越来越小；又函数yxsin|x|，x，恒过（，）和（，）两点，所以C选项对应的图象符合。11. D 解析：由f（x）f（x2）知T2，又x3，5时，f（x）2|x4
21、|，可知当3x4时，f（x）2x。当4x5时，f（x）6x。其图如下，故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数。又由|cos2|sin2|，f（cos2）f（sin2）。故选D。12. D 解析：已知水轮每分钟旋转4圈又半径为3m，水轮中心O距水面2m，最高点为5，即A3，故选D。二、填空题13. 16cm2 解析：设扇形半径为r，面积为S，圆心角是，则2，弧长为r，则周长162r r2r2r4r，r4，扇形的面积为：S r221616 （cm2），故答案为16 cm2。14. 解答：解：由题意知本题需要对角所在的象限进行讨论，以确定符号。当角x在第一象限时，y1113，当角x在第二象
22、限时，y1111，当角x在第三象限时，y1111，当角x在第四象限时，y1111。15. 解析：tan2，。16. 解析：，17. 解析：不等式 即 tanx，又 kxk，kZ，18. 解析：函数的定义域为令t，则为减函数，t在上为增函数；故函数的单调减区间是19. 2 解析：函数f（x）是周期为的偶函数，f（）f（），当时，2。20. 解析：根据周期公式，故正确；函数在对称轴处取得函数的最值，f（），故正确；根据函数的对称性可得，当k1时，故正确；令可得，即函数在上是增函数，故正确。三、解答题21. 解：（1）最大温度差为301020（2）A10，k20，T16，这段曲线的函数表达式为22. 解：（1），且函数是偶函数，对，即（对恒成立），（2）当时，且的x的集合是23. 解：（1）原式（2）（i）若在第一、四象限，；（ii）若在第二、三象限，24. 解：（1）（2），且，25. 解：（1），当时，且恒有，或 解之得（2）当a8时，存在，使成立。
