1、8.6空间中的夹角与距离2014高考会这样考1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法复习备考要这样做1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离1 异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O，作aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.2 斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内
2、的射影所成的角当直线和平面平行时，称直线和平面成0角当直线和平面垂直时，称直线和平面成90角(2)范围：.3 二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面(2)二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)范围：0，4 点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离难点正本疑点清源1 解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法求
3、角的一般步骤：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义；(3)化归到某一个三角形中进行计算2 空间两图形之间的距离最终都转化为两点之间的距离，通过解三角形或特殊图形得到解决关于距离问题的解法体现了数学的等价转化和数形结合思想：点到平面之间距离转化为点和垂足之间距离或者转化为以该点为顶点的三棱锥的高解决立体几何距离问题，不仅在于怎样计算，更重要的是为什么这样算，因此，从正确作图，归纳推理到熟练计算每一环节都很重要，所以，要培养提高正确作、严密证、快速算的能力1 A、B两点相距4 cm，且A、B与平面的距离分别为3 cm和1 cm，则AB与平面所成的角是 ()A30 B90C30或90
4、D30或90或150答案C解析注意分类讨论当A、B在平面的两侧时，AB即AB与所成的角为90，当A、B在平面的同侧时，AB与平面所成的角为30.2 平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，若AB12，则AB等于 ()A4 B6C8 D9答案B解析如图所示，连接AB可知ABA，则ABABcos 6，连接AB可知BAB，则BBABsin 6，在RtBBA中，AB6.3 如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是 ()AACBDBBAC90CCA与平
5、面A BD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析如图所示，取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C错误；VABCDSABDCD，D错误4 正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为_答案解析过点M作MNPA交P
6、B于点N，CMN即为PA与CM所成的角，N为PB的中点，CMCNPA，MNPA，在等腰三角形CMN中，cosCMN.5 在三棱锥ABCD中，ABADCBCD，BADBCD90，且面ABD面CBD，给出下列结论：ACBD；ACD是等腰三角形；AB与面BCD成60角；AB与CD成60角其中正确的是_(填序号)答案解析中AB与面BCD成的角为45.至于，可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥ABCDE，易知ABE60，即AB与CD所成的角为60.题型一异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BCAA14，点O是AC的中点(1)求证：AD1平面ODC1；(2)求异面
7、直线AD1和DC1所成的角的余弦值思维启迪：(1)在平面DOC1找AD1的平行线，可考虑连接CD1；(2)平移AD1使其与DC1相交(1)证明如图所示，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O、O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1AD1.又OO1平面DOC1，AD1平面DOC1，所以AD1平面DOC1.(2)由OO1AD1，知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的锐角或直角在OO1D中，由题意，可得OD，O1D，OO12.由余弦定理，得cosOO1D，故AD1和DC1所成的角的余弦值为.探究提高求异面直线所成角的方法：(1)找利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定
8、一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2)证证明作出的角即为所求角(3)求把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角(4)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E为棱BC的中点若PD1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值解取AD的中点，连接PF、FB.E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形，DFBE，且DFBE，四边形DFBE为平行四边形，DEBF，PBF是PB与DE所成的角在PBF
9、中，BF，PF，PB3，cosPBF.即异面直线PB和DE所成角的余弦值为.题型二直线与平面所成的角例2如图，四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值思维启迪：(1)要证PBDM，只需证PB平面ADMN即可(2)可以作CD在平面ADMN的射影，也可以转化为与CD平行的直线与平面所成的角(1)证明PA底面ABCD，PAAB，PAAD，N是PB的中点，且PAAB，ANPB.ADPA，ADAB，AD平面PAB，ADPB，由条件知MNBCAD，MN和AD在
10、同一个平面内，从而PB平面ADMN.又DM平面ADMN，PBDM.(2)解取AD的中点G，连接BG、NG，则BGCD，BG和CD与平面ADMN所成的角相等PB平面ADMN，BGN是BG与平面ADMN所成的角设PAADAB2，则BG，BN，在RtBGN中，sinBGN.即CD与平面ADMN所成角的正弦值为.探究提高(1)求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线(2)求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，如本题将CD平移到BG，使问题得以巧妙解决(3)第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1
11、1，E，H分别是A1B1和BB1的中点(1)求证：直线EH平面AD1C；(2)求直线B1C与平面AC1D1所成角的余弦值(1)证明连接A1B，因为E，H分别是A1B1和BB1的中点，所以EHA1B，又A1BCD1，所以EHCD1，又CD1平面AD1C且EH平面AD1C，所以EH平面AD1C.(2)连接A1D交AD1于O点，过D点作DMAD1于M点，因为B1CA1D，所以直线B1C与平面AC1D1所成的角等于A1D与平面AC1D1所成的角，易证DM平面AC1D1，所以DOM就是A1D与平面AC1D1所成的角，在RtDOM中易求cosDOM.题型三二面角例3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面AB
12、CD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角(1)解在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因PA底面AB
13、CD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.探究提高作二面角的平面角可以通过垂线法进行，
14、在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角 (2011浙江)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上(1)证明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小(1)证明由ABAC，D是BC的中点，得ADBC.又PO平面ABC，得POBC.因为POADO，所以BC平面PAD，故APBC.(2)解如图，在平面PAB内作BMPA于M，连接CM.因为BCPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC为二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB
15、2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cosBPA，从而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因为BM2MC2BC2，所以BMC90，即二面角BAPC的大小为90.题型四点到平面的距离例4在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，ABCC1a，BCb.(1)设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：EF平面ABC；(2)求证：A1C1AB；(3)求B1到平面ABC1的距离思维启迪：(1)线线平行或面面平行线面平行；(2)
16、线面垂直线线垂直；(3)求垂线段长或用等积法(1)证明分别取AB，BC的中点M，N，连接EM，MN，FN，于是EM綊BB1，FN綊BB1，从而EM綊FN，即四边形EFNM是平行四边形，EFMN.而EF平面ABC，MN平面ABC，故EF平面ABC.(2)证明连接A1B，ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1AB.又ABCC1AA1，ABB1A1是正方形，从而AB1A1B.AB1BC1，AB1平面A1BC1，A1C1AB1，而A1C1AA1，A1C1平面ABB1A1.又AB平面ABB1A1，A1C1AB.(3)解A1B1AB，AB平面ABC1，A1B1平面ABC1，A1B1平面ABC1，于是B1到平
17、面ABC1的距离等于A1到平面ABC1的距离，过A1作A1HAC1于H.由(2)知，BA平面ACC1A1，BAA1H，于是A1H平面ABC1.在RtA1AC1中，AA1CC1a，A1C1AC，AC1b，A1H，B1到平面ABC1的距离为.探究提高求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离如本题(3)的如下解法即用等积法VC1ABB1VB1ABC1，即A1C1ABBB1hABAC1，将各数据代入可得h的值 如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为
18、直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离(1)证明如图所示，在PAD中，O为AD中点，PAPD，POAD，又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.(2)解连接BO，在直角梯形ABCD中，BCAD，AD2AB2BC，又ODBC且ODBC，四边形OBCD是平行四边形，OBDC.由(1)知POOB，PBO为锐角，PBO是异面直线PB与CD所成的角AD2AB2BC2，在RtAOB中，AB1，AO1，OB，在RtPOA中，AP，A
19、O1，OP1，在RtPBO中，PB，cosPBO，异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(3)解方法一由(2)得CDOB，在RtPOC中，PC，PCCDDP，SPCD2.又SACDADAB1，设点A到平面PCD的距离为h，由VPACDVAPCD得SACDOPSPCDh，即11h，解得h.方法二AOOD，A到平面PCD的距离是O到平面PCD的距离的两倍，易知PCCDPD，OCOPOD，三棱锥OPCD为正三棱锥设O在平面PCD内的射影为H，则H为PCD的中心，PHPD，OH，A到平面PCD的距离为.二面角求解要规范典例：(14分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，
20、点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为？审题视角(1)线面垂直转化为线线垂直；(2)点到面的距离问题，可通过等积变换求解；(3)先找出二面角，在知道二面角大小的情况下求AE，可用方程的思想规范解答(1)证明AE平面AA1D1D，A1DAD1，A1DD1E.3分(2)解设点E到面ACD1的距离为h.在ACD1中，ACCD1，AD1，故SAD1C.4分而SACEAEBC，VD1ACESACEDD1SAD1Ch.6分h.7分(3)解过D作DHCE于H，连接D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面
21、角D1ECD的平面角9分设AEx，则BE2x.在RtD1DH中，由DHD1，知DH1.10分在RtADE中，DE，在RtDHE中，EHx；在RtDHC中，CH；在RtCBE中，CE.xx2.13分AE2时，二面角D1ECD的大小为.14分温馨提醒(1)本题考查了线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，以及二面角的有关问题，是高考的重点内容(2)本题失分的主要原因是答题不规范在解有关二面角的问题时，要强调：作、证、算一定要明确指出二面角的平面角然后再求二面角的平面角，或者再根据二面角的平面角的大小求解.方法与技巧1 求线线角常用平移法，选取一特殊点将两异面直线移成一夹角，构造三角形，利用余弦定理求
22、角，但需要注意，所成角可能是所求角的补角求线面角关键在于找出直线在平面内的射影，而射影的构成，有时可以直接作垂线，有时必须借助垂面来作2 求二面角的常用方法：作棱的垂面，找出二面角的平面角3 空间距离的求解，重在转化方法的运用上，基本问题是点到面的距离求点到面的距离的常用方法有：(1)作垂线，求垂线段的长；(2)等体积法；(3)相关点距离转移法失误与防范计算题同样需要严格合理的推理论证过程关键是在“度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁琐，因此，需要在平时的学习中积累经验A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 如图所示，在四边形ABCD中，A
23、DBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC.所以平面ABC平面ADC.D选项正确易知选项A、B、C错误2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.答案C解析设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.作SO平面ABC于点
24、O，连接AO并延长AO交BC于点E，因为ABC为正三角形，所以O为底面的中心，所以SAO为SA与平面ABC所成的角又AOaa，所以cosSAO，即所求余弦值为.3 (2011福建改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于()A. B.C. D.答案A解析由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，EFAC.4 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则
25、异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为 ()A. B. C. D.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，PQAC，QMBD，则下列命题中，正确的有_ACBD；AC截面PQMN；ACBD；异面直线PM与BD所成的角为45答案解析由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故正确；是错误的，故填.6. 如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为_答案45解析因为PA平面ABC，所以斜线PB在平面A
26、BC上的射影为AB，所以PBA即为直线PB与平面ABC所成的角在PAB中，BAP90，PAAB，所以PBA45，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45.7 如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_答案解析如图，过D作DGAF，垂足为G，连接GK，平面ABD平面ABC，DKAB，DK平面ABC，DKAF.又DGAF，AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，tAK1；当F运动到C点时，在RtADF中，易得AF，且A
27、G，GF，又易知RtAGKRtABF，则，又AB2，AKt，则t.t的取值范围是.三、解答题(共22分)8 (10分)如图所示，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；(2)求二面角BACE的正弦值(1)证明在直二面角DABE中，由ABCD是正方形，则CB平面AEB，AEBC，又BF平面ACE，则AEBF，AE平面BCE.(2)解由(1)知平面AEC平面BCE，又BF平面ACE，则BFAC，连接BD与AC交于O点，连接OF(如图)，又ACBD，AC平面BOF，ACFO.BOF为二面角BACE的平面角，在RtA
28、EB中，BE，在RtEBC中，BC2，BF，在RtBFO中，sinBOF，则二面角BACE的正弦值为.9 (12分)如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形F是PD的中点若PAAD3，CD.(1)求证：AF平面PCD；(2)求直线AC与平面PCD所成角的余弦值的大小(1)证明PAABCD，PACD，四边形ABCD为矩形，CDAD，CD平面PAD，CDAF，又APAD，PFDF，AFPD，AF平面PCD.(2)解由(1)知AF平面PCD，连接CF.则ACF为AC与平面PCD所成的角在RtACF中，AC.AFPD.CF.cosACF.即直线AC与平面PCD所成的角的余弦
29、值为.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2012郑州模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1上的点，则点E到平面ABC1D1的距离d是()A. B.C. D.答案B解析A1B1ABC1D1，EA1B1，A1到平面ABC1D1的距离即为点E到平面ABC1D1的距离，d.2 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案D解析如图所示，过点A作ADBC于点D，连接SD；作AGSD于点G，连接GB.SA底面
30、ABC，ABC为等边三角形，BCSA，BCAD.BC平面SAD.又AG平面SAD，AGBC.又AGSD，AG平面SBC.ABG即为直线AB与平面SBC所成的角AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG，sinABG.3 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B. C. D.答案B解析设棱柱的侧棱与底面边长均为1，O为ABC的中心，如图，连接AO，则AO.A1O平面ABC，A1O.又在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1平面ABC，点B1到平面ABC的距离d.连接AB1，A1B，BO，设
31、A1B与AB1交点为H.在RtA1BO中，A1B1.四边形AA1B1B为菱形，A1HAB1，AH，AB1.设AB1与底面ABC成的角为，则sin .二、填空题(每小题5分，共15分)4 直线l在平面内，经过外一点A与l、都成45的角的直线有_条答案2解析如图，AO，BCl，ABOACO45，只有AB、AC两条直线满足条件5 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF将三个角折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体PDEF中，二面角DPEF的大小为_答案90解析由已知可知，PDPE，PFPE，所以DPF是二面角DPEF的平面角又因为PDPF，
32、所以二面角DPEF的大小为90.6. 如图所示，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是_答案解析取AB、DC的中点分别为P、Q，如图所示，作MNPQ，则MN的长即为点M到截面ABCD的距离在PQM中，PM，PQMQ，由面积可知PQMNPM1，所以MN.三、解答题7 (13分)如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FBa.(1)证明：EBFD；(2)求点B到平面FED的距离(1)证明FC平面BED，BE平面BED，EBFC.又点E为的中点，B为直径AC的中点，E
33、BBC.又FCBCC，EB平面FBD.FD平面FBD，EBFD.(2)解方法一如图，在平面BEC内过C作CHED，连接FH.则由FC平面BEDED平面FCH.RtDHCRtDBE，.在RtDBE中，DEa，CHa.FBa，BCa，FC2a.在平面FCH内过C作CKFH，则CK平面FED.FH2FC2CH24a2a2，FHa.CKa.C是BD的中点，点B到平面FED的距离为2CKa.方法二EB平面FBD，BF平面FBD，EBFB.在RtFBE中，FBa，EBa，EFa.又FC平面BED，FCBD.BCCD，FDFBa.在RtEBD中，EDa.在EFD中，DFDEa，EFa，由余弦定理得cosEDF，sinEDF.SEFDDEDFsinEDFa2.设B到平面FED的距离为h，VFEBDSEBDFC2aa2aa3，且VFEBDVBEFD，a3a2h，ha，即点B到平面FED的距离为a.
