1、8 8.5 5垂直关系垂直关系知识梳理双基自测231自测点评451.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.知识梳理双基自测231自测点评45(2)判定定理与性质定理知识梳理双基自测自测点评231452.直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫该直线与此平面的夹角,角的范围是 .知识梳理双基自测自测点评231453.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两射线所成的角叫二
2、面角的平面角.知识梳理双基自测自测点评231454.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.知识梳理双基自测自测点评23145(2)判定定理与性质定理知识梳理双基自测自测点评231455.常用结论(1)线面平行或垂直的有关结论若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).垂直于同一条直线的两个平面平行.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三
3、个平面.(2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.2知识梳理双基自测3415自测点评1.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)已知直线a,b,c;若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)知识梳理双基自测自测点评234152.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B
4、1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1 答案解析解析关闭由题易知,A1C1平面BB1D1D,又OB1 平面DD1B1B,所以A1C1B1O.答案解析关闭D知识梳理双基自测自测点评234153.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体A-BCD中,AD与BC的位置关系是()图1图2A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直 答案解析解析关闭在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则ADBC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两
5、条线段与AD垂直,即ADBD,ADCD,故AD平面BCD,所以ADBC.答案解析关闭C知识梳理双基自测自测点评234154.P为ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.(1)若P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC的心;(2)若PABC,PBAC,则O是ABC的心;(3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是ABC的心.答案解析解析关闭(1)P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,可知O到ABC三边距离相等,即O是ABC的内心;(2)由PO平面ABC且BC 平面ABC,得POBC,又PABC,PO与PA是平面POA内两条相交直线,所以BC平面POA,从而B
6、CAO.同理ACBO,所以O是ABC的垂心;(3)由PA,PB,PC与底面所成的角相等,易得RtPOA RtPOB RtPOC,从而OA=OB=OC,所以O是ABC的外心.答案解析关闭(1)内(2)垂(3)外知识梳理双基自测自测点评234155.如图,PAO所在平面,AB是O的直径,C是O上一点,AEPC,AFPB,给出下列结论:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命题的序号是.答案解析解析关闭因为AE 平面PAC,BCAC,BCPA,所以AEBC,故正确;因为AEPC,AEBC,PB 平面PBC,所以AEPB,又AFPB,EF 平面AEF,所以EFPB,故正确;因为AFPB,
7、若AFBC,则AF平面PBC,则AFAE,与已知矛盾,故错误;由可知正确.答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等.2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”.3.判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况.考点1考点2考点3例1(2016浙江,文18)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.思考证明线面垂直的常用方法有
8、哪些?考点1考点2考点3(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中
9、线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.考点1考点2考点3对点训练对点训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AEDA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得AE平面DFG.(1)证明 连接AD1,BC1.由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A,DA1平面ABC1D1.AE 平面ABC1D1,DA1AE.(2)解 所求G点即为A1点,证明如下:由(1)可知AEDA1,取CD的中点H,连接AH,EH,由DFAH
10、,DFEH,AHEH=H,可得DF平面AHE.AE 平面AHE,DFAE.又DFA1D=D,AE平面DFA1,即AE平面DFG.考点1考点2考点3考点1考点2考点3例2如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.思考证明面面垂直的常用方法有哪些?考点1考点2考点3(1)证明 因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得1
11、.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直.3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可.考点1考点2考点3对点训练对点训练2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.证明:平面AEF平面B1BCC1.考点1考点2考点3证明 如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.考点1
12、考点2考点3考向一平行与垂直关系的证明例3(2016江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.思考处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么?考点1考点2考点3证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.考点1考点2考点3(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中
13、,A1A平面A1B1C1.因为A1C1 平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D 平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1 平面A1C1F,A1F 平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D 平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.考点1考点2考点3考向二探索性问题中的平行与垂直关系例4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=45,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E为A
14、B上一点,且 点F为PD中点.(1)若k=,求证:直线AF平面PEC;(2)是否存在一个常数k,使得平面PED平面PAB?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.思考探索性问题的一般处理方法是什么?考点1考点2考点3考点1考点2考点3又DAB=45,ABDE.又PD平面ABCD,PDAB.又PDDE=D,AB平面PDE.AB 平面PAB,平面PED平面PAB.考点1考点2考点3考向三折叠问题中的平行与垂直关系例5(2016全国甲卷,文19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACH
15、D;思考折叠问题的处理关键是什么?考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略:(1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化,要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.(2)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点.(3)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.考点1考点2考点3对点训练对点训练3如图1,在RtABC中,ABC=90,D为AC的中点,AEBD于点E(不同于点
16、D),延长AE交BC于点F,将ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图2所示.图1图2(1)若M是FC的中点,求证:直线DM平面A1EF;(2)求证:BDA1F.考点1考点2考点3证明(1)因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DMEF.又EF 平面A1EF,DM平面A1EF,所以DM平面A1EF.(2)因为A1EBD,EFBD且A1EEF=E,所以BD平面A1EF.又A1F 平面A1EF,所以BDA1F.考点1考点2考点31.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理
17、,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.考点1考点2考点31.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.审题答题指导立体几何问题的审题技巧与解题步骤在高考数学试题中,问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图形之中给出的题目较多,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含
18、的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供信息来解决问题.典例(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证:(1)直线BC1平面EFPQ;(2)直线AC1平面PQMN.审题要点解题流程:第(1)问解题步骤第一步:由图形特征(正方体、中位线)推证AD1BC1,FPAD1,从而证FPBC1,可得结论.第二步:利用图形特征A1C1B1D1及AA1平面A1B1C1D1推证B1D1平面ACC1,从而得AC1B1D1.第三步:利用平行性证明MNAC1,同理PNAC1,可证AC1平面PQMN.证明(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP.(3分)而FP 平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(4分)(2)证明:连接A1C1,B1D1.由正方体性质得,AA1平面A1C1,AA1MN.(6分)又MNB1D1,B1D1A1C1,MNA1C1,(8分)MN平面AA1C1,MNAC1.(10分)同理PNAC1,AC1平面MNPQ.(12分)失分警示1.易漏线面平行判定定理中的条件,导致失分.2.易漏“面内相交线”这一条件,导致判定线面垂直失误丢分.
