1、高等数学总复习知识点知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；cos|baba .|)1(2aaa 0)2(ba.ba(其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)zzyyxxbabababa 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 知识点知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；sin|bac(其中其中 为为a与与b的夹角的夹角).0)1(aaba)2(/.0 bazyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 解解zyxzyxbbb
2、aaakjibac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc .5152 kj知识点2：平面及其方程（三种形式）平面的点法式方程平面的点法式方程:0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程:000()()()0A xxByyC zz1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程:222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式:21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA ,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(1
3、5)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得tcba 611161（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为知识点3：空间直线及其方程 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程:ptzzntyymtxx00
4、0直线的参数方程直线的参数方程:直线的对称式方程直线的对称式方程:pzznyymxx000 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm直线:),(,0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点3：空间直线及面线间的关系方程241312zyx例例.求直线与平面062zyx的交点.提示提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t机动 目录
5、 上页 下页 返回 结束 解解 所求直线方程所求直线方程.153243 zyx1,3,451240121 kjinns方法方法2:设设,pnms 13405204,21pnmpnmpmnsns 1,3,4 s取取练习练习:设有直线设有直线182511:1 zyxL与与 326:2zyyxL则则L1与与L2的夹角为的夹角为6)A(4)B(3)C(2)D(注注 L1和和L2的方向向量分别为的方向向量分别为 和和1,2,11 s,2,1,12 s3,21|/cos2121 ssss知识点知识点4：二元函数的定义域与极限例例6 6 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解
6、解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 例例7 7 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 求极限求极限:22222200001 11 cos()lim.lim;()xxyyxyxyxyxyx y 知识点知识点5：二元函数求偏导数；zzdzdxdyxy全微分:.dz
7、z duz dvdtu dtv dt多元复合函数多元复合函数链式法则链式法则:xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv ,yw 其中其中,1 xv,0 xw,0 yv.1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似zyxuyx例例,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解
8、解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(zyxFzxFFxz 例例.设F(x,y)具有连续偏导数,0),(zyzxF.dz求解解 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF 212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则
9、)()(2221zyzxFF 已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故zxFFxzzyFFyz多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数),(),(0000yxfyxfyx 存在，是存在，是f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件）既非充分条件又非必要条件.),(lim)
10、,(lim),(lim),(),(),),(),(300000000存存在在）存存在在；及及）点点可可微微；在在）点点连连续续；在在都都存存在在，则则的的两两个个偏偏导导数数在在、yxfDyxfyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.),(),(),(4）必必不不可可微微）偏偏导导数数必必不不存存在在；）极极限限必必不不存存在在；必必无无定定义义；在在该该点点处处处处不不连连续续，则则在在、设设DCBAyxfyxyxfZ 5、二元函数、二元函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处处(A)连续、偏导数存在连续、偏导
11、数存在（B）连续、偏导数不存在）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在）不连续、偏导数不存在,0)0,0()0,0(lim)0,0(0 xfxffxx,0)0,0(yf偏导数存在，又当（偏导数存在，又当（x，y）沿）沿y=kx趋向于（趋向于（0，0）时）时22220001)(lim),(limkkkxxkxyxfxkxyx 随着随着k的不同，该极限值也不同，所以极限的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在，不存在，f(x，y)在（在（0，0）不连续。）不连续。),(lim00yxfyx解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 2
12、2xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82 解解令令,zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw212
13、11fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 解解令令),(zyxFzxyzzyxf ),(,21yzffFx,21xzffFy121xyffFzzxFFxz ,12121xyffyzffxyFFyx ,2121yzffxzffxyz .,22222yxzyzxz 和和练习练习:设设,求求解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 知识点知识点6：多元函数微分学的几何应用 1.曲线切线方曲线切线方程程:.)()()(000000tzztyy
14、txx 2.曲线的曲线的法平面：法平面：0)()()(000000 zztyytxxt 3.切平面方程:000()()()0 xyzF xxFyyF zz4.曲面的法曲面的法线方程为线方程为:),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 解解,1),(22 yxyxf)4,1,2()4,1,2(1,2,2 yxn,1,2,4 切平面方程为切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx 5.方向导数与梯度方向导数与梯度（归纳）：求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓
15、住法向量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 求函数的方向导数和梯度coscoscoszfyfxflf一、方向导数 设函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos)存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记为 取P(x0tcos y0tcos)U(P0)如果极限v方向导数 ),(00yxlf tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 一、方向导数 设函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy
16、平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos)v方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率),(00yxlftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 一、方向导数 设函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为e el(cos cos)v方向导数 如果函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(e el(cos cos)的方向导数都存在,且有v定理(方向导数的计
17、算),(00yxlftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 讨论 函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示 函数f(x,y)在点P0沿方向l(e el(cos cos)的方向导数 沿 x 轴负向时 cos1 cos0 xflf cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx 沿 x 轴正向时 cos cos0 xflf 例 求f(x y z)xy2z3xyz在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60 解 与l同向的单位
18、向量为 因为函数可微分 且 所以 fx(1 1 2)(y2-yz)|(1 1 2)-1 fy(1 1 2)(2xy-xz)|(1 1 2)0 fz(1 1 2)(3z2-xy)|(1 1 2)11)21,22,21()60cos,45cos,60(cosle 5211122021)1(coscoscoszuyuxulu二、梯度v梯度的定义 函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的梯度:gradgradf(x0 y0)fx(x0 y0)i ify(x0 y0)j j v梯度与方向导数 如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 e el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量,则gr
19、adgradf(x0 y0)e el|gradgradf(x0 y0)|cos(gradgradf(x0 y0),e el),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx 函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.二、梯度v梯度的定义 函数zf(x,y)在点P0(x0 y0)的梯度:gradgradf(x0 y0)fx(x0 y0)i ify(x0 y0)j j v梯度与方向导数|gradgradf(x0 y0)|cos(gradgradf(x0 y0),
20、e el)如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 e el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量,则),(00yxlfcos),(cos),(0000yxfyxfyx221yx 例例 求 grad 221yx 解解 这里 f(x，y)xfyf因为222)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221yx 所以 grad222)(2yxyj 例例 设 f(x，y，z)x3xy2z，求grad f(1,1,0)解解 grad f(fx，fy，fz)(3x2y2,2xy,1)，于是 grad f(1，1，0)(2,2,1)函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值
21、为3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在yxz 知识点知识点7：多元函数的极值及其求法 例例.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0
22、632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解令令 )12
23、(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 2x=3y,y=2z知识点知识点8：二重积分的性质与计算 性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf 性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质4若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 则有
24、则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质5 DMdyxfm),(11(,)(,),(,)0;(,)(,),(,)2(,).DDDDyfx yf x yf x y dDyDDfx yf x yf x y df x y d 若 关于 轴对称，则若 关于 轴对称，为 在第一象限部分，则性质性质6 二重积分的计算二重积分的计算1.二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分
25、区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 先确定积分次序先确定积分次序(先看被积函数先看被积函数,再看被积区域再看被积区域D)先积后定限先积后定限,限内画条线限内画条线,先交为下限先交为下限,后交上限写后交上限写.xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图
26、积分区域如图)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf2.极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r机动 目录 上页 下页 返回 结束 20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD则Dyxfd),(例例.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,说明说明
27、:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对y 积分是常量三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”(投影法投影法)方法方法2.“先二后一先二后一”(截面法截面法)方法方法3.“三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyxvzyxfd),(vzyxfd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzzzDzxyDyxdd1.直角坐标情形直角坐标情形:2.不同坐标系的三重积
28、分不同坐标系的三重积分zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzFzdddzyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrFdddsin2rr其中为由例例.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvddd
29、d20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点9：重积分的应用（1）平面区域的面积）平面区域的面积DAdxdy（2）曲面的面积）曲面的面积dxdyAxyDyzxz 22)()(1平面上的投影。为曲面在为曲面方程，其中xoyDyxzzxy),(3(,)Dvf x y dxdy（）曲顶柱体体积4vdxdydz（）任意空间立体体积例例.计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解:曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32232R出的面积 A.
30、机动 目录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点10：两类曲线积分及格林公式 1.;第一类曲线积分中定积分的下限一定要小于上限2.(1):().L yxaxb几种情形的计算公式:.)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc (3)(),(),().()xtytztt 222(,)(),(),()()()()f x y z dsftttttt dt例例16.)2;)2,1()2,1(,4)1:,2OABxyLydsIL折线折线一段一段到到从从其中其中求求 解解dyyyI222)2(1 .0
31、例例17)20(.,sin,cos:,的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20IA(1,0)B(1,1)O21010 dyyydsdsIABOA第二类曲线积分几种特殊情形的计算第二类曲线积分几种特殊情形的计算:.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则(3)(),(),().()xtytztt()()()PdxQdyR
32、dzPtQtRtdt曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动 目录 上页 下页 返回 结束 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：(,),xy z 空间曲线 上点处的切线向量的方向角为 dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理.设D 是单连通域,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有.0ddLyQxP(2)对D 中任一分段光滑曲
33、线 L,曲线积分(3)yQxPdd),(yxuyQxPyxudd),(d(4)在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理证明采用解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos(xyo)0,(aAMdxdyyPxQDAMOA )(Ddxdym,82am 0)(000dmedxxaaAO ,0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI例例.计算曲线积分,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解:szyxd)(2
34、2220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0,0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL机动 目录 上页 下页 返回 结束 dsincos2022222rrr2,)0,0(时当D在
35、D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D,对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记 L 和 l 所围的区域为林公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使yyxxyxuddd22),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx机动 目
36、录 上页 下页 返回 结束 知识点知识点11：两类曲面积分及高斯公式;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:.1yxzz 若若曲曲面面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若曲面若曲面则则2.:(,)yy x z若曲面,1;sxyzdssxyz例：计算曲面积分其中 的方程为dsxyzIs 8解：解：dxdyyxxyD 3)1(8dSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos(两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之
37、间的联系知识点:常数项级数的收敛与发散条件收敛与绝对收敛 性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1nnku亦亦收收敛敛.结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.级级数数收收敛敛.0lim nnu且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu比较判别法:可作为参考的级数可作为参考的级数:几何级数几何级
38、数,P-级数级数(包括调和级数包括调和级数).则则1 l时级数收敛时级数收敛;1 l时级数发散时级数发散;1 l时失效时失效.比值判别法比值判别法:!,naunn含含一般一般设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim)(为为数数或或,1 时级数发散时级数发散;1 时失效时失效.根式判别法根式判别法:则则1 时时级级数数收收敛敛;的敛散性。的敛散性。讨论级数讨论级数例例 11)!1(9nnn;)1()1(:11 nnnnnnn练习：判断级数敛散性练习：判断级数敛散性;23cos)2(12 nnnn 1).0()1()2ln()3(nnanan若若 1nnu发发散散,而而 1nn
39、u收收敛敛,则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛.敛敛？是是条条件件收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？如如果果收收敛敛，是是否否收收判判断断级级数数 1ln)1()2(nnnn当当Rx 时时,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散.(1)则则当当0 时时,1R;(3)当当 时时,0 R.(2)当当0 时时,R;例例 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 2.2.和函数的运算性
40、质和函数的运算性质:幂级数求和与函数展开成幂级数幂级数求和与函数展开成幂级数 求和2.映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难1.初等变换法初等变换法:先求部分和极限先求部分和极限,再分解再分解(裂项相消法裂项相消法),最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法最后套用收敛的等比级数的求和公式等方法;（在收敛区间内）机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式3.函数的幂级数展开法例例.求幂级数01nnnx的和函数.)(xS解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,时级数且1x01)(nnnxx
41、S xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx(01 x=-1 )x1x 收敛,有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页 返回 结束)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx,10 x,1)10(x1x及机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式中令x=1,即得02113121111nnnnn.ln)()(例例 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下
42、页 返回 结束,)()(,0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.(,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy补充知识点补充知识点计算时应注意以下两点计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(一投一投二代二代三定号三定号例例19 1:x=0 2:y=0 3:z=0 4:x+y+z=1解解:043 xyxyDDdxdydxdydxdydxdydxdy yzyzyzDDDdydzzydydzzydydzdydzxdydzxdydzx)1()2()1()1()1(41 xzDdxdzzxydxdzydxdzydxdz)1(4231)1(2)1(xzDdxdzzxydxdzdydzxdxdy
