1、第九讲指数与指数函数第九讲指数与指数函数1回归课本回归课本2n.():a 11整数指数幂整数指数幂概念 (nN*);3 0n*mnnmmnnnmnna(a0);aa0,nN.2:aam,nZ;a=m,nZ;m,nZ,a0;ab11aa bnZa.mnm nnaaaa整数指数幂的运算性质4n*1*2.,xa,xn1,nN.nn(a0,m,nN,n1);a0,m,nN,nan,a11).,0,0,(0);()(nmnnnnmnnnnmnmnaaa aaa aaa aaa maaa分数指数幂一般地 如果那么 叫做其中且当 是奇数时当 是偶数时且且的 次方根53.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性
2、质设设a0,b0,则则aras=ar+s(r,sQ);(ar)s=ars(r,sQ);(ab)r=arbr(rQ).4.指数函数的定义指数函数的定义形如形如y=ax(a0且且a1,xR)的函数叫做指数函数的函数叫做指数函数.65.指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质y=axa10a0时时,y1;当当x0时时,0y1;当当x0时时,0y1当当x1在在(-,+)上是上是增函数增函数在在(-,+)上是上是减函数减函数ZB)8考点陪练考点陪练9 1.f xf 2x()A.2f xB.2g xC.2 f x,(),2g xD.2fg x2xxxxxeeeeg x若则等于10 22:f 2x2()()
3、22()()24f x g x.xxxxxxxxxxeeeeeeeeee解析答案:D110.90.48123312213121.531322.y4,y8,y()A.yyyB.yyyC.yyyD.1yy2y,设则12 1.51.50.91.80.481.44123x132:y42,y82,yf x2R,1.81.51.44,yyy,1D.2.2解析由于指数函数在 上是增函数 且所以选答案:D132211.2.(1,)3.y1.,121.,(1,)(2 x0)xxABCD函数的值域为14x22:x0,211211.1.12xxyyxyy 解析 因为所以由于答案:C15|4.f x,xR,f x()
4、A.0,B.0,C.0,12D.0,x设那么是奇函数且在上是增函数偶函数且在上是增函数奇函数且在上是减函数偶函数且在上是减函数16|1,0,1222,0:f x.,f x0,.,xxxxx解析其图象如图由图象可知是偶函数且在上单调递减答案:D175.(2010山东青岛二模山东青岛二模)若若y=e|x|(xa,b)的值域为的值域为1,e2,则则点点(a,b)的轨迹是图中的的轨迹是图中的()A.线段线段BC和和OCB.线段线段AB和和BCC.线段线段AB和和OAD.线段线段OA和和OC18解析解析:据题意当据题意当a=-2,0b2时时,函数的值域符合条件函数的值域符合条件,其轨迹为其轨迹为图中线段
5、图中线段AB,当当-2a0,b=2时时,函数值域符合条件函数值域符合条件,此时其此时其轨迹为图中线段轨迹为图中线段BC,故选故选B.答案答案:B19类型一类型一指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值20解题准备解题准备:解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将将根式与指数幂互化根式与指数幂互化.一般地一般地,进行指数幂的运算时进行指数幂的运算时,化负指数化负指数为正指数为正指数,化根式为分数指数幂化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质便于利用幂的运算性质,化化繁为简繁为简.对于计算结果对于计算结果,如果题目以根式形式给出如果题目以根式形式给出,则结果
6、用根式的形则结果用根式的形式表示式表示,如果题目以分数指数幂形式给出如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指则结果用分数指数幂的形式表示数幂的形式表示.有理数指数幂的运算性质中有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于其底数都大于0,否则不能用性否则不能用性质来运算质来运算.结果不能同时含有根号和分数指数结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既也不能既有分母又含有负指数有分母又含有负指数.21121203121121333224133332233317(1)(0.027)2(21);795(2)(3)(4);68(3)1 2.142:a baba babaa bbaababa【典例】化简下列各
7、式22 1132111362213112222127257211000910549145.33513(2)2 1325455.244a baba baba bbb 解原式原式23 1113332112133333111211233333332112333311111333331133(8)2134222442.32aabababa baaaabaa bbba baaaaaaaab原式24类型二类型二指数函数的图象指数函数的图象解题准备解题准备:指数函数图象的特点指数函数图象的特点(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如
8、图所示小的关系如图所示,则则0cd1a0,f(t)=t2-2t-5,故故f(t)=(t-1)2-6.又又t0,当当t=1时时,ymin=-6,故函数故函数f(x)的值域是的值域是-6,+).由于由于t=2x是增函数是增函数,要求要求f(x)的增区间实际上是求的增区间实际上是求f(t)的增区间的增区间,求求f(x)的减区间的减区间实际上是求实际上是求f(t)的减区间的减区间.39f(t)在在(0,1上递减上递减,在在1,+)上递增上递增.故由故由t=2x1得得x0;由由t=2x1得得x0,f(x)的增区间是的增区间是0,+),减区间是减区间是(-,0.4023412yxx反思感悟 求的单调区间时
9、易忽视定义域的单调区间时易忽视定义域.事实上事实上,函数的单调函数的单调性区间是其定义域的子集性区间是其定义域的子集.涉及复合函数单调性问题涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间数的单调区间.利用定义证明时可分层比较利用定义证明时可分层比较,对于对于内外层函数内外层函数,注意注意“同增异减同增异减”.41类型四类型四指数函数的综合问题指数函数的综合问题解题准备解题准备:指数函数是一类重要函数
10、指数函数是一类重要函数,与其他知识综合是高考与其他知识综合是高考考查的热点考查的热点.解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的解决这类问题的关键是熟练掌握指数函数的图象和性质图象和性质,并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方并注意分类讨论和等价转化的数学思想和方法法.42 x2x4f xaa(a0,a1).1f x;2f x;31x1,1,f xb.b.aa【典例】已知且判断的奇偶性讨论的单调性当时恒成立求 的取值范围43 分析分析先研究函数定义域先研究函数定义域,再依照奇偶函数的定义判断奇偶性再依照奇偶函数的定义判断奇偶性;对于单调性对于单调性,可结合指数函数的单调性进行分析可结合指数函数的单
11、调性进行分析;对于恒成对于恒成立问题立问题,则可借助单调性则可借助单调性,求出求出f(x)的最值的最值,再求解再求解b的范围的范围.44 xx2 1R,.fxaaf x,f x1.aa 解函数定义域为关于原点对称又因为所以为奇函数45(2)当当a1时时,a2-10,y=ax为增函数为增函数,y=a-x为减函数为减函数,从而从而y=ax-a-x为增函数为增函数,所以所以f(x)为增函数为增函数.当当0a1时时,a2-10,且且a1时时,f(x)在定义域内单调递增在定义域内单调递增.46 1m2n2i232f xR,1,1.f1f xf 1,f xf1aaf xb1,1,b1,111,1b,1.a
12、aaaaa 由知在 上是增函数在区间上为增函数所以要使在上恒成立则只需 故 的取值范围是47反思感悟反思感悟判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域判断函数的奇偶性时必须先研究函数的定义域,而而研究函数的单调性时研究函数的单调性时,可以在已知的常见函数的单调性的可以在已知的常见函数的单调性的基础上进行讨论基础上进行讨论,对于恒成立问题对于恒成立问题,一般都会与函数的最值一般都会与函数的最值有关有关,通过分离参数通过分离参数,求出函数的最值求出函数的最值,从而可得到参数的取从而可得到参数的取值范围值范围.48错源一错源一忽视换元后新元的取值范围忽视换元后新元的取值范围49111.913xxy【典
13、例】求函数的值域211221111,93331133,132y443,.4,xxxxxtyttt 错解令则所以函数的值域为50 剖析剖析上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围的范围.事实上事实上,新元新元t(0,+).512122211111,9333113,1,3241,3132ttt0,0,y1,41,.xxxxxyxytttyt 正解 函数令则由知因为函数在上为增函数 所以所以函数的值域为52 评析评析换元法不管在什么情况下使用换元法不管在什么情况下使用,都必须要注意确定新元都必须要注意确定新元的范围的范围,因为它是换元后的新函数的定义域因为
14、它是换元后的新函数的定义域.53错源二错源二忽视对参数的分类讨论造成漏解忽视对参数的分类讨论造成漏解54【典例典例2】如果函数如果函数y=a2x+2ax-1(a0,且且a1)在区间在区间-1,1上上的最大值是的最大值是14,试求试求a的值的值.2x22at,yt2t1t12.x1,1,ttay,a1214,a3a5(),a3.1,.aa 错解 设则由于所以因此当时 取最大值 有解得或舍去 即55 剖析剖析本题的错解在于忽视了对参数本题的错解在于忽视了对参数a的讨论的讨论,误认为误认为a1.当当指数函数和对数函数的底数含有参数时指数函数和对数函数的底数含有参数时,要先对参数进行要先对参数进行讨论
15、讨论,确定单调性确定单调性,进而解决问题进而解决问题.56正解正解设设t=ax,则则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当当a1时时,ta-1,a,ymax=a2+2a-1=14,解得解得a=3或或a=-5(舍舍);当当0a3-y+5-x,则下列式子成立则下列式子成立的是的是()A.x+y0B.x+y0C.x-y058 xyyxxxyyxxxx 3535,3535,3f x3y3(,),y3,.,f xfy,x113.y,xy0,A551.515.15xyyxyxx 解析由得设在上是增函数在上是减函数在上是增函数由已知条件 得故答案选 答案A59技法二技法二四种策略比较指数大小四种策略比较指
16、数大小60一一 若底数相同若底数相同,则可用单调性比较则可用单调性比较【典例典例2】若若0a1,则则a,aa,aaa大小顺序是大小顺序是_.解析解析因为因为f(x)=ax(0a1)在在xR上是减函数上是减函数,又又0aaaa1,所以所以aa0aaaaa1,即即aaaaaa.答案答案aaaaaa61二二 若指数相同若指数相同,则可用图象比较则可用图象比较62【典例典例3】比较比较0.7a与与0.8a的大小的大小.解解设函数设函数y=0.7x与与y=0.8x,则两个函数的图象关系如图则两个函数的图象关系如图.当当x=a0时时,0.8a0.7a;当当x=a0时时,0.8a30=1,又又y=0.4x是减函数是减函数,所所以以0.430.43.64四四 作商法比较作商法比较【典例典例5】比较比较aabb与与abba(ab0)的大小的大小.abba1,0.1,ab0,a ba b.1ababa babbaa babbaa babaaaa bbabbbaabbaba ba b 解即65 方法与技巧方法与技巧当底数与指数都不同当底数与指数都不同,中间量又不好找中间量又不好找,可采用可采用作商比较法作商比较法,即对两值作商即对两值作商,看其值大于看其值大于1还是小于还是小于1.从而确从而确定所比值的大小定所比值的大小,一般情况下一般情况下,这两个值最好是正数这两个值最好是正数.66
