1、 高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接
2、求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平
3、行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。常考题：一选择题（共20小题）1直线L1：ax+3y+1=0，L
4、2：2x+（a+1）y+1=0，若L1L2，则a的值为（）A3B2C3或2D3或22直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0，（，）3已知点A（1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a0）将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A（0，1）BCD4直线3x+y1=0的倾斜角是（）ABCD5已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+3=0的距离为1，则a=（）ABCD6已知点P在直线x+3y2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0x0+2，则的取值范围是（）A，0）B（，0）C（，+）D（，）（
5、0，+）7设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A，2B，2C，4D2，48若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y2=0互相垂直，则实数m的值为（）A2B2CD9直线（2m+1）x+（m+1）y7m4=0过定点（）A（1，3）B（4，3）C（3，1）D（2，3）10直线（a2+1）x2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （）A0，B，C，D0，）11等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y2=0与x7y4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A3B2CD12若动点A，B分别在直线l
6、1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A3B2C3D413已知点（1，2）和（，0）在直线l：axy+1=0（a0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A（，）B（0，）（，）C（，）D（，）14直线l过点P（1，2）且与以点M（3，2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A，5B，0）（0，2C（，5，+）D（，2，+）15已知直线mx+4y2=0与2x5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则mn+p的值是（）A24B20C0D416过点P（2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直
7、线l一共有（）A3条B2条C1条D0条17已知直线l：3x4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为1，则实数m的取值范围是（）A（3，3）B（4，4）C（5，5）D5，518点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）ABCD19已知直线l：xmy+m=0上存在点M满足与两点A（1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是（）ABCD以上都不对20若两平行直线l1：x2y+m=0（m0）与l2：2x+ny6=0之间的距离是，则m+n=（）A0B1C2D1二填空题（共9
8、小题）21若直线l：+=1（a0，b0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 22在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 23已知两点A（m，0），B（m，0）（m0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得APB=90，则m的取值范围是 24已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是 25直线l：xtan+y+1=0的倾斜角= 26已知动点P（x，y）满足|x1|+|ya|=1，O为坐
9、标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 27过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为 28在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为，则cos的值为 29在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy+2=0与直线l2：x+ky2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy4=0的距离的最大值为 三解答题（共21小题）30已知直线l1的方程为3x+4y12=0（1）若直线l2与l1平行，且过点（1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，
10、求直线l2的方程31已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程32已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程33设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围34已知直线l：y=（1m）x+m（mR
11、）（）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程35在直角坐标系中，已知射线OA：xy=0（x0），OB：2x+y=0（x0）过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B（1）当AB的中点在直线x2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程（3）当PAPB取最小值时，求直线AB的方程36在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标37已知x，y满足直线l：x+2y=6
12、（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；（2）当x1，3时，求的取值范围38已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标39已知直线l：3xy+3=0，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点；（2）直线xy2=0关于直线l对称的直线方程40已知过点A（1，1）且斜率为m（m0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值41已知直线l=1（1）若直线的斜率小
13、于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程42有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？43已知直线l过点M（1，1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：（1）当|OA|十|OB|取得最小值时，直线l的方程；（2）当|MA|2+|MB|2取得最小
14、值时，直线l的方程44光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长45过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程46已知ABC的两个顶点A（10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求顶点C的坐标47如图，平行四边形ABCD（A，B，C，D按逆时针顺序排列），AB，AD边所在直线的方程分别是x+4y7=0，3x+2y11=0，且对角线AC和BD的交点为M（2，0）（1）求点A的坐标（2）求CD边所在
15、直线的方程48两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（3，1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程49已知三条直线l1：2xy+a=0（a0），l2：4x+2y+1=0和l3：x+y1=0，且l1与l2的距离是；（1）求a的值；（2）能否找到一点P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是：？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由50如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y25=0，顶点B的纵坐标为10（）求OA，
16、OC边所在直线的方程；（）求矩形OABC的面积必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)参考答案与试题解析一选择题（共20小题）1直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1L2，则a的值为（）A3B2C3或2D3或2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=3，a=2（舍去）故选：A2直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0，（，）【解答】解：直线xsin+y+2=0的斜率为k=sin，1sin1，1k1倾斜角的取值范围是0，）故选：B3已知点
17、A（1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a0）将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A（0，1）BCD【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，由于直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为M（，0），由直线y=ax+b（a0）将ABC分割为面积相等的两部分，可得b0，故0，故点M在射线OA上设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即
18、=，即 =，可得a=0，求得 b，故有b若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得ba设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 （1b）|xNxP|=，即（1b）|=，化简可得2（1b）2=|a21|由于此时 ba0，0a1，2（1b）2=|a21|=1a2 两边开方可得 （1b）=1，1b，化简可得 b1，故有1b再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，故选：B解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1，趋于最小由于a0，b1
19、当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分ABC的面积，故a不存在，故b综上可得，1b，故选：B4直线3x+y1=0的倾斜角是（）ABCD【解答】解：设直线3x+y1=0的倾斜角是，0，）直线3x+y1=0化为y=x+，tan=，故选：C5已知点（a，2）（a0）到直线l：xy+3=0的距离为1，则a=（）ABCD【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，a0，a=故选：C6已知点P在直线x+3y2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0x0+2，则的取值范围是（）A，0）B（，0）C（，+）D（，）（0，+）【解答】解：点P
20、在直线x+3y2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），化为x0+3y0+2=0又y0x0+2，设=kOM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM的取值范围是（，）（0，+）故选：D7设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A，2B，2C，4D2，4【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点B（1，3），动直线x+my=0和动直线mxym+3=0的斜率
21、之积为1，始终垂直，P又是两条直线的交点，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|=sin，|PB|=cos，由|PA|0且|PB|0，可得0，|PA|+|PB|=（sin+cos）=2sin（+），0，+，sin（+），1，2sin（+），2，故选：B8若直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y2=0互相垂直，则实数m的值为（）A2B2CD【解答】解：直线l1：mx+2y+1=0与直线l2：x+y2=0互相垂直，m1+21=0，解得m=2故选：B9直线（2m+1）x+（m+1）y7m4=0过定点（）A（1，3）B（4，3）C（3，1）D（2，3）【解答】
22、解：直线方程整理得：2mx+x+my+y7m4=0，即（2x+y7）m+（x+y4）=0，解得：，则直线过定点（3，1），故选：C10直线（a2+1）x2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （）A0，B，C，D0，）【解答】解：当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；当a0时，直线的斜率k=，k1，即直线的倾斜角的取值范围为）当a0时，直线的斜率，k1，即直线的倾斜角的取值范围为（综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C11等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y2=0与x7y4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A3B2CD【解答】解：l1：x+y2=0，k1=1，设底边为l
23、3：y=kx由题意，l3到l1所成的角等于l2到l3所成的角于是有，解得k=3或k=，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3k=，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A12若动点A，B分别在直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A3B2C3D4【解答】解：l1：x+y7=0和l2：x+y5=0是平行直线，可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值直线l1：x+y7=0和l2：x+y5=0，两直线的距离为=，AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A13已知点（1，2）和（，0）在直线l：axy+1=0（a0）的同
24、侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A（，）B（0，）（，）C（，）D（，）【解答】解：点（1，2），（，0）在直线axy+1=0的同侧，（a2+1）（a+1）0解不等式可得，a1，故选：D14直线l过点P（1，2）且与以点M（3，2）、N（4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A，5B，0）（0，2C（，5，+）D（，2，+）【解答】解：如图，P（1，2）、M（3，2）、N（4，0），由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（，2，+）故选：D15已知直线mx+4y2=0与2x5y+n=0互相垂直，垂足为P（1，p），则mn+p的值是（）A24B20C0D4【解答】解
25、：直线mx+4y2=0与2x5y+n=0互相垂直，=1，m=10，直线mx+4y2=0 即 5x+2y1=0，垂足（1，p）代入得，5+2p1=0，p=2把P（1，2）代入2x5y+n=0，可得 n=12，mn+p=20，故选：B16过点P（2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（）A3条B2条C1条D0条【解答】解：假设存在过点P（2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l的方程为：，则即2a2b=ab直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=ab=8，即ab=16，联立，解得：a=4，b=4直线l的方程为：，即x
26、y+4=0，即这样的直线有且只有一条，故选：C17已知直线l：3x4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为1，则实数m的取值范围是（）A（3，3）B（4，4）C（5，5）D5，5【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1M、N是不同的两点，直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，m=5m的取值范围为（5，5）故选：C18点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）ABCD【解答】解：法一 由题意有点P在抛
27、物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（a）2+（y2）2，化简得（a）y24y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a时，=0，有a3+=0，（a+）（a2a+）=0，a=故选D法二 由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D故选：D19已知直线l：xmy+m=0上存在点M满足与两点A（1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是（）ABCD以上都不对【解答】解：设M（x，y），由kMAkMB=3，得，即y2=3x23联立，得要使直线l
28、：xmy+m=0上存在点M满足与两点A（1，0），B（1，0）连线的斜率kMA与kMB之积为3，则=，即解得m实数m的取值范围是故选：C20若两平行直线l1：x2y+m=0（m0）与l2：2x+ny6=0之间的距离是，则m+n=（）A0B1C2D1【解答】解：由题意，解得n=4，即直线l2：x2y3=0，所以两直线之间的距离为d=，解得m=2，所以m+n=2，故选：C二填空题（共9小题）21若直线l：+=1（a0，b0）经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2【解答】解：直线l：（a0，b0）经过点（1，2）=1，a+b=（a+b）（）=3+3+2，当且仅当b=a时上式
29、等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为：3+222在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为1或【解答】解：设点P，则|PA|=，令，x0，t2，令g（t）=t22at+2a22=（ta）2+a22，当a2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=24a+2a2=，解得a=1；当a2时，g（t）在区间2，a）上单调递减，在（a，+）单调递增，t=a，g（t）取得最小值g（a）=a22，a22=，解得a=综上可知：a=1或故答案为1或23已知两点A（m，0），B（m，0）（m0），
30、如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得APB=90，则m的取值范围是5，+）【解答】解：P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，），=（x+m，），=（xm，）；又APB=90，=（x+m）（xm）+=0，即25x2+150x+62516m2=0；0，即1502425（62516m2）0，解得m5，或m5，又m0，m的取值范围是5，+）故答案为：5，+）24已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是3，+）【解答】解：已知直线（1a）x+（a+1）y4（a+1）=0即 x+y4+a（x+y4）=0，由
31、，解得 ，故定点P的坐标为（0，4）设点Q（m，m+），m0，则PQ连线的斜率为 =1+=33，故PQ连线的斜率的取值范围为3，+），故答案为3，+）25直线l：xtan+y+1=0的倾斜角=【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为，有0，直线可化为y=tanx，由倾斜角与斜率的关系，可得tan=tan，又有0，则=，故答案为：26已知动点P（x，y）满足|x1|+|ya|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是【解答】解：考虑|x1|+|ya|=1的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x取到1则y可以取a+1或a1，图象是
32、（0，a），（1，a1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果a0就是（1，a+1）或（2，a）如果a0就是（1，a1）或（2，a）这样一来，|平方的最大值就是：当a0，（a+1）2+1 或 a2+4当a0，（a1）2+1 或 a2+4比较它们的大小：当a1时，（a+1）2+1；1a1时，a2+4；a1时，（a1）2+1作以上函数图象，再读出y取值范围为，17时a取值范围是故答案为：27过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4xy13=0或x=3【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过
33、点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线A（2，3），B（4，5），AB的斜率k=4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x3），化简得4xy13=0，又AB中点为C（3，1）经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4xy13=0或x=328在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为，则cos的值为【解答】解：设直线OA的倾斜角为，则tan=，则tan=3，cos=故答案为：29在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy+2=0与直线l2：x+ky2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy4=0的距离的最大值为3【
34、解答】解：直线l1：kxy+2=0与直线l2：x+ky2=0的斜率乘积=k=1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）两条直线的交点在以MN为直径的圆上并且kMN=1，可得MN与直线xy4=0垂直点M到直线xy4=0的距离d=3为最大值故答案为：3三解答题（共21小题）30已知直线l1的方程为3x+4y12=0（1）若直线l2与l1平行，且过点（1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=1，y=3代
35、入，得3+12+m=0，即得m=9，直线l2的方程为3x+4y9=0（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x3y+n=0，令y=0，得x=，令x=0，得y=，故三角形面积S=|=4得n2=96，即n=4直线l2的方程是4x3y+4=0或4x3y4=031已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程【解答】解：（1）设C（m，n），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，解得C（4，3）（2）设B（a，b），则，解得B（1
36、，3）kBC=直线BC的方程为y3=（x4），化为6x5y9=032已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（2，1）（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k0（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，A（，0）
37、，B（0，1+2k），又0且1+2k0，k0，故S=|OA|OB|=（1+2k）=（4k+4）（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y+4=033设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围【解答】解：（1）令x=0，得y=a2 令y=0，得（a1）l在两坐标轴上的截距相等，解之，得a=2或a=0所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0（2）直线l的方程可化为 y=（a+1）x+a2l不过第二象限，a1a的取值范围为（，134已知直线l：y=
38、（1m）x+m（mR）（）若直线l的倾斜角，求实数m的取值范围；（）若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求AOB面积的最小值及此时直线l的方程【解答】解：（）由已知直线l斜率k=1m，倾斜角，由k=tan可得1k，11m，解得1m0；（）在直线l：y=（1m）x+m中，令x=0可得y=m，点B（0，m）；令y=0可得x=，点A（，0），由题设可知m1，AOB面积S=|OA|OB|=m=（m1）+22+2=2，当且仅当（m1）=即m=2时S取得最小值2，此时直线l的方程为：x+y2=035在直角坐标系中，已知射线OA：xy=0（x0），OB：2x+y=0（x0）过点P（
39、1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B（1）当AB的中点在直线x2y=0上时，求直线AB的方程；（2）当AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程（3）当PAPB取最小值时，求直线AB的方程【解答】解：（1）设A（a，a），B（b，2b），则线段AB的中点为C2=0，=，分别化为：a=5b，a+2b3ab=0解得：，直线AB的方程为：y0=（x1），化为：7x4y7=0（2）设A（a，a），B（b，2b），（a，b0）a=b=1时，A（1，1），B（1，2），SOAB=|OP|AB|=a，b1时，SOAB=|OP|（a+2b）=（a+2b），又，化为a+2b=3ab，a+2b=3ab=，解
40、得：a+2bSOAB=，当且仅当a=2b=时取等号综上可得：当AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y=（x1），化为：4xy4=0（3）设直线AB的方程为：my=x1.联立，解得A，可得|PA|=联立，解得B，可得|PB|=|PA|PB|=f（m），m=3时，f（3）=1；令m+3=k0，f（m）=g（k）=，k0时，g（k）=k0时，g（k）=，而，g（k）的最小值为：当且仅当k=时取等号m=3直线AB的方程为：（3）y=x136在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标【解答】解：点A为y=0与x2y+1=0两直线的交点，点A的坐标为（1，0）kAB=1又A的平分线所在直线的方程是y=0，kAC=1直线AC的方程是y=x1而BC与x2y+1=0垂直，kBC=2直线BC的方程是y2=2（x
