1、数列知识总结; . 等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式,为首项,为公差.前项和公式或.3.等差中项如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:是与的等差中项,成等差数列.4.等差数列的判定方法定义法:(,是常数)是等差数列;中项法:()是等差数列.5.等差数列的常用性质数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.;(,是常数);(,是常数,)若,则;若等差数列的前项和,则是等差数列;当项数为
2、,则; 当项数为,则.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数列,常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式通项公式:,为首项,为公比 .前项和公式:当时,当时,.3.等比中项如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即:是与的等差中项,成等差数列.4.等比数列的判定方法定义法:(,是常数)是等比数列;中项法:()且是等比数列.5.等比数列的常用性质数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.若,则;若等比数列的前项和,则、是等比数列.求前n项和一 裂
3、项相消法: 二、分组求和、三 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 求:减得:从而求出。 错位相减法的步骤:(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出式 (2)将式左右两边都乘以公比q,得到式 (3)用,错位相减 数列1an是首项a11,公差为d3的等差数列,如果an2 005,则序号n等于( )A667B668C669D6702在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21,则a3a4a5( )A33B72C84D1893如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,则( ) Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1
4、a8a4a54已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列,则mn等于( )A1BCD 5等比数列an中,a29,a5243,则an的前4项和为( ).A81 B120 C168 D1926若数列an是等差数列,首项a10,a2 003a2 0040,a2 003a2 0040,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是( )A4 005B4 006C4 007D4 008 7已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2( )A4B6C8D 108设Sn是等差数列an的前n项和,若,则( )A1B1C2D9已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b
5、1,b2,b3,4成等比数列,则的值是( )ABC或D10在等差数列an中,an0,an1an10(n2),若S2n138,则n( )A38B20C10D911设f(x),利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为 .12已知等比数列an中,(1)若a3a4a58,则a2a3a4a5a6 (2)若a1a2324,a3a436,则a5a6 (3)若S42,S86,则a17a18a19a20 .13在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 14在等差数列an中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则此数列前13项之和
6、为 .15在等差数列an中,a53,a62,则a4a5a10 .16设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4) ;当n4时,f(n) 17已知数列an的前n项和Sn3n22n,求证数列an成等差数列.18设an是公比为 q 的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列(1)求q的值;(2)设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由19数列an的前n项和记为Sn,已知a11,an1Sn(n1,2,3)求证:数列是等比数列20已知数列an是首项为a且公比不等于
7、1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列,求证:12S3,S6,S12S6成等比数列.1C解析:由题设,代入通项公式ana1(n1)d,即2 00513(n1),n6992C解析:设等比数列an的公比为q(q0),由题意得a1a2a321,即a1(1qq2)21,又a13,1qq27解得q2或q3(不合题意,舍去),a3a4a5a1q2(1qq2)3227843B解析:由a1a8a4a5,排除C又a1a8a1(a17d)a127a1d,a4a5(a13d)(a14d)a127a1d 12d2a1a84C解法1:设a1,a2d,a32d,a43d,而方程x22xm0中两根之
8、和为2,x22xn0中两根之和也为2,a1a2a3a416d4,d,a1,a4是一个方程的两个根,a1,a3是另一个方程的两个根,分别为m或n,mn,故选C解法2:设方程的四个根为x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x42,x1x2m,x3x4n由等差数列的性质:若gspq,则agasapaq,若设x1为第一项,x2必为第四项,则x2,于是可得等差数列为,m,n,mn5B解析:a29,a5243,q327, q3,a1q9,a13, S41206B法1:由a2 003a2 0040,a2 003a2 0040,知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数,又a10,则公差为负数,否则各项
9、总为正数,故a2 003a2 004,即a2 0030,a2 0040.S4 0060,S4 007(a1a4 007)2a2 0040,故4 006为Sn0的最大自然数. 选B(第6题)解法2:由a10,a2 003a2 0040,a2 003a2 0040,同解法1的分析得a2 0030,a2 0040,S2 003为Sn中的最大值Sn是关于n的二次函数,如草图所示,2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小,在对称轴的右侧根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧,4 007,4 008都在其右侧,Sn0的最大自然数是4 0067B解析:an是等差数列,a
10、3a14,a4a16,又由a1,a3,a4成等比数列,(a14)2a1(a16),解得a18,a28268A解析:1,选A9A解析:设d和q分别为公差和公比,则413d且4(1)q4,d1,q22,10C解析:an为等差数列,an1an1,2an,又an0,an2,an为常数数列,而an,即2n119,n1011解析:f(x),f(1x),f(x)f(1x)设Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6),则Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5),2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6,Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)312(1)32;(2)4;(3)32解析:(1)
11、由a3a5,得a42,a2a3a4a5a632(2),a5a6(a1a2)q44(3),a17a18a19a20S4q163213216解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与,同号,由等比中项的中间数为6,插入的三个数之积为62161426解析:a3a52a4,a7a132a10,6(a4a10)24,a4a104,S13261549解析:da6a55,a4a5a107(a52d)49165,(n1)(n2)解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,f(k)f(k1)(k1)由f(3)2,f(4)f(3)3
12、235,f(5)f(4)42349,f(n)f(n1)(n1),相加得f(n)234(n1)(n1)(n2)三、解答题17证明:(1)n1时,a1S1321,当n2时,anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5,n1时,亦满足,an6n5(nN*)首项a11,anan16n56(n1)56(常数)(nN*),数列an成等差数列且a11,公差为618解:(1)由题设2a3a1a2,即2a1q2a1a1q,a10,2q2q10,q1或(2)若q1,则Sn2n当n2时,SnbnSn10,故Snbn若q,则Sn2n ()当n2时,SnbnSn1,故对于nN+,当2n9时,Snbn;当n10时,Snbn;当n11时,Snbn19:an1Sn1Sn,an1Sn,(n2)Snn(Sn1Sn),整理得nSn12(n1) Sn,所以故是以2为公比的等比数列20证明:由a1,2a7,3a4成等差数列,得4a7a13a4,即4 a1q6a13a1q3, 变形得(4q31)(q31)0, q3或q31(舍) 由; 111q61; 得 12S3,S6,S12S6成等比数列