1、精品文档 用心整理苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理的逆定理（提高）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【 勾股定理逆定理 知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三
2、角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角
3、三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、（2016春咸丰县月考）如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ的面积为多少 cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为
4、5xcm，周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=931=6（cm），BQ=23=6（cm），SPBQ=BPBQ=（93）6=18（cm2）故过3秒时，BPQ的面积为18cm2【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键隐含了整体的数学思想和正确运算的能力2、如图，点D是ABC内一点，把ABD绕点B顺时针方向旋转60得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=
5、5（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2）求ADB的度数【思路点拨】把ABD绕点B顺时针方向旋转60，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60，因此出现等边BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求ADB的度数【答案与解析】解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又DBE=ABC=60，ABC和DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又CD=5，DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC为直角三角形（2）DEC为直角三角形，DEC=90，又BDE为等边三角形，BED=60，BEC=90+60=150，即ADB=1
6、50【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题解答（2）时要注意运用（1）的结论举一反三：【变式】如图所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度数【答案】解：连接BD CDCP，且CDCP2， CPD为等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在RtCPD中，又 PB1，则 ， ， DPB为直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+90135类型
7、二、勾股定理逆定理的应用3、已知a、b、c是ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索ABC的形状【答案与解析】解：令=ka+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，a=3k4，b=2k3，c=4k8又a+b+c=12，（3k4）+（2k3）+（4k8）=12，k=3a=5，b=3，c=4ABC是直角三角形【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状举一反三：【变式】（2015春渝中区校级月考）ABC的三边a、b、c满足|a+b50|+（c40）2=0试判断ABC的形状是 【答案】直角三角形解：|a+b50|+（c40）2=0，解
8、得，92+402=412，ABC是直角三角形故答案为直角三角形4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解： ， ABC为直角三角形 ABC90又BDAC，可设CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10时41分进入我国领海【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件资料来源于网络 仅供免费交流使用
