1、数列一、数列的定义: 按一定顺序排列成的一列数叫做数列 记为:a即a: a, a, , a二、通项公式:用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。1、本质:数列是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数2、通项公式: a=f(n)是a关于n的函数关系三、前n项之和:S= a+a+a注 求数列通项公式的一个重要方法: 例1、已知数列100-3n,(1)求a、a;(2)此数列从第几项起开始为负项例2 已知数列的前n项和,求数列的通项公式:(1) =n+2n; (2) =n-2n-1.解:(1)当n2时,=-=(n+2n)-(n-1)+2(n-1)=2n+1;当n=1时,=1+21=3;
2、经检验,当n=1时,2n+1=21+1=3,=2n+1为所求.(2)当n2时,=-=(n-2n-1)-(n-1)+2(n-1)-1=2n-3;当n=1时,=1-21-1=-2;经检验,当n=1时,2n-3=21-3=-1-2,=为所求注:数列前项的和和通项是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式时,一定要注意条件 ,求通项时一定要验证是否适合例3 当数列100-2n前n项之和最大时,求n的值分析:前n项之和最大转化为等差数列1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示即:2.通项:,推广:3.求和
3、:(关于n的没有常数项的二次函数)4.中项:若a、b、c等差数列,则b为a与c的等差中项:2b=a+c5.等差数列的判定方法(1)定义法: (2)中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:练习:已知数列 a满足:a=2,a= a+3,求通项a例1 在等差数列中,已知解:设首项为,公差为,则例2(1)设a是递增等差数列,它的前3项之和为12,前3项之积为48,求这个数列的首项分析2:三个数成等差数列可设这三个数为:a-d,a,a+d拓展:(1)若n+m=2p,则an+am=2ap推广:从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如:(下标成等差数列)(2)等和性:(3)组成公差为的等差数
4、列.(4)a=a+(n-m)d例1 (1)已知a+a=20,求a(2)已知+450, 求+及前9项和解 由等差中项公式:+2, +2由条件+450, 得:5450, 2180.810等比数列1定义与定义式:从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2通项公式:,推广形式:3前n项和:注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论4等比中项:如果在与之间插入一个数,使,成等比数列,那么叫做与的等比中项即()5等比数列的判定方法:定义法:对于数列,若,则数列是等比数列. 等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列例1 等比数列中=2, =8,求通项公式
5、;解:例2 在等比数列an中,S41,S83,则a17a18a19a20.解 解方程组可得:q4=2,解法2 由,成等比数列计算在等比数列中有如下性质: (1)若n+m=2p,则aa=(a)。推广:从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如:(下标成等差数列)(2)等积性:()(3)a=aq例1 在等比数列中,(1) 求;(2)若,求.解(1)(2)例2 ,求.解:设an的公比为q,由题意知解得或或数列综合运用例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d0).根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),解得 . 所以例2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个书的和是,求这四个数解:设这四个数为:,则解得:或,所以所求的四个数为:;或