立体几何知识点和例题(含有参考答案)(DOC 14页).doc

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1、【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质,空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及

2、它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定,进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形)的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路,会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系(1)角相交直线所成的角;异面

3、直线所成的角转化为相交直线所成的角;直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角;二面角用二面角的平面角来度量。(2)距离两点之间的距离连接两点的线段长;点线距离点到垂足的距离;点面距离点到垂足的距离;平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离;异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长;线面距离平行线上一点到平面的距离;面面距离平面上一点到另一平面的距离;球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系,注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化,即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系:4.在直接证明有困难

4、时,可考虑间接证法,如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归,各种具体方法如下:(1)求空间中两点间的距离,一般转化为解直角三角形或斜三角形。(2)求点到直线的距离和点到平面的距离,一般转化为求直角三角形斜边上的高;或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高,即用体积法。(3)求异面直线所成的角,一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线;或过空间任一点分别作两异面直线的平行线,这样就作出了两异面直线所成的角,构造一个含的三角形,解三角形即可。方法二是补形法:将空间图形补成熟悉的、完整的几何体,这样有利于找

5、到两条异面直线所成的角。(4)求直线与平面所成的角,一般先确定直线与平面的交点(斜足),然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线,再连接垂足和斜足(即得直接在平面内的射影),最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形,求出直线与平面所成的角。(5)求二面角,一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角,就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:根据定义作二面角的平面角;垂面法作二面角的平面角;利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角;无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法:即在一个平面上的图形面积为S,它在另一个平面上的投影面积为S,这两个平面的夹角为,则S=

6、Scos。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程,推理是运算的基础,运算只是推理过程的延续。如求二面角,只有根据推理过程找到二面角后,进行简单的运算,才能求出。因此,求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例1 如图7-1,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1,A1B1,BC,CD,DA,DE,CL的中点。(1)求证:EFGF;(2)求证:MN平面EFGH;(3)若AB=2,求MN到平面EFGH的距离。解 (1)如图7-2,作GQB1C1于Q,连接FQ,则GQ平面A1B1C1D1,且Q为B1C1的中

7、点。在正方形A1B1C1D1中,由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ,由三垂线定理得EFGF。(2)连DG和EG。N为CL的中点,由正方形的对称性,N也为DG的中点。在DEG中,由三角形中位线性质得MNEG,又EG平面EFGH,MN平面EFGH,MN平面EFGH。(3)图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h,VENGH=VNHEGAA1SNHG=hSHEG2=hEHHG又EH=,HG= =hh=例2 如图7-4,已知ABC中, ACB=90,CDAB,且AD=1,BD=2,ACD绕CD旋转至ACD,使点A与点B之间的距离AB=。(1

8、)求证:BA平面ACD;(2)求二面角ACDB的大小;(3)求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。解 (1)CDAB,CDAD,CDDB,CD平面ABD,CDBA。又在ADB中,AD=1,DB=2,AB=,BAD=90,即BAAD,BA平面ACD。(2)CDDB,CDAD,BDA是二面角ACDB的平面角。又RtABD中,AD=1,BD=2,ADB=60,即 二面角ACDB为60。(3)过A作AEBD,在平面ABD中作DEAE于E,连CE,则CAE为AC与BD所成角。CD平面ABD,DEAE,AECE。EAAB,ADB=60,DAE=60,又AD=1,DEA=90,AE=又在RtACB中,AC=

9、AC=AC=RtCEA中,cosCAE=,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为。例3 已知三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC。(1)求三棱锥PABC的体积V;(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE,并求AE的长;(3)求二面角APCB的大小。解 (1)PA平面ABC,PB=PC,由射影定理得,AB=AC=4。PA平面ABC,PAAC。在RtPAC中,可求出PC=5。则PB=BC=5。取BC中点D,连AD。在等腰ABC中,求出底边上的高AD=。V=53=。 (2)连PD,则PDBC,又ADBC,BC平面PAD。又BC平面PBC,平面PAD平面PBC。作AEPD

10、于E,则AE平面PBC,AE为点A到平面PBC的垂线段。在RtPAD中,由PAAD=AEPD,得3=AE,求出AE=。(3)作AFPC于F,连EF,由三垂线定理逆定理,得EFPC,AFE为二面角APCB的平面角。在RtPAC中,由PAAC=PCAF,即34=5AF,求出AF=,sinAFE=,则AFE=arcsin。例4 如图7-7,已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与AB,AC均成45角,且A1EB1B于E,A1FCC1于F。(1)求证:平面A1EF平面B1BCC1;(2)求点A到平面B1BCC1的距离;(3)当AA1多长时,点A1到平面ABC与平面B1BCC

11、1的距离相等?解 (1)已知A1EB1B于E,A1FC1C于F,且B1BC1C, B1BA1F。又A1EA1F=A1,B1B平面A1EF。平面A1EF平面B1BCC1。(2)因为A1B1B=A1AB=A1AC=A1C1C=45,A1B1=A1C1,A1EB1=A1FC1=90,A1B1=2,RtA1B1ERtA1C1F, A1E=A1F=,B1EC1F,EF=B1C1=2,A1E2+A1F2=EF2,A1EF为等腰直角三角形,取EF的中点N,连A1N,则A1NEF,A1N平面B1BCC1,A1N为点A1到平面B1BCC1的距离。又有A1N=EF=1,所以点A1到平面B1BCC1的距离为1。(3

12、)如图7-8,设BC、B1C1的中点分别为D、D1,连AD,DD1和A1D1,则NDD1。DD1BB1AA1,A,A1,D,D1四点共面,ADA1D1,A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1,A1N平面BCC1B1,B1C1D1D,又B1C1A1N,B1C1平面ADD1A1,BC平面ADD1A1,平面A1ADD1平面ABC。作A1M平面ABC于M,则点M在AD上。若A1M=A1N,又A1AD=A1D1D,A1MA=A1ND1=90,则有RtA1MARtA1ND1,于是A1A=A1D1=。即当A1A=时,点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等。例5 如图7-9,已知:PD平面ABCD

13、,ADDC,ADBC,PDDCBC=11。(1)求PB与平面PDC所成角的大小;(2)求二面角DPBC的正切值;(3)若AD=BC,求证平面PAB平面PBC。解 (1)由PD平面ABCD,BC平面ABCD,得PDBC。由ADDC,ADBC,得BCDC。又PDDC=D,则BC平面PDC。所以BPC为直线PB与平面PDC所成的角。令PD=1,则DC=1,BC=,可求出PC=。由BC平面PDC,PC平面PDC,得BCPC。在RtPBC中,由PC=BC得BPC=45,即直线PB与平面PDC所成的角为45。(2)法一:如图7-10,取PC中点E,连DE, 则DEPC。由BC平面PDC,BC平面PBC,得

14、平面PDC平面PBC。则DE平面PBC。作EFPB于F,连DF,由三垂线定理,得DFPB。则DFE为二面角DPBC的平面角。在RtPDC中,求得DE=。在RtPFE中,求得EF=。在RtDEF中,tanDFE=。即二面角DPBC的正切值为。 法二:由PD平面ABCD,PD平面PDB,得平面PDB平面ABCD。如图7-11,作CHBD于H,则CH平面PDB。作HFPB于F,连CF,由三垂线定理得CFPB。则CFH为二面角DPBC的平面角。在等腰RtPBC中,求出斜边上的中线CF=1。在RtDBC中,求出DB=,可进一步求出斜边上的高CH=。在RtFHC中,求出HF=,tanHFC=,即二面角DP

15、BC的正切值是。(3)如图7-12,取PB中点G,连AG和EG。由三角形中位线定理得GEBC,GE=BC。由已知,ADBC,AD=BC。AD=GE,ADGE。则四边形AGED为平行四边形,AGDE。由(2)的解法(一),已证出DE平面PBC,AG平面PBC。又AG平面PAB,平面PAB平面PBC。例6 如图7-13,PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M,N分别是AB,PC的中点,(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小;(2)求证:MN平面PCD;(3)当AB的长度变化时,求异面直线PC与AD所成角的可能范围。解 (1)PA平面ABCD,CDAD,PDCD。故PD

16、A是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。在RtPAD中,PAAD,PA=AD,PDA=45。(2)如图7-14,取PD中点E,连结AE,EN,又M,N分别是AB,PC的中点,ENCDAB AMNE是平行四边形MNAE。在等腰RtPAD中,AE是斜边的中线。AEPD。又CDAD,CDPD CD平面PAD,CDAE,又PDCD=D,AE平面PCD。MN平面PCD。(3)ADBC,所以PCB为异面直线PC,AD所成的角。由三垂线定理知PBBC,设AB=x(x0)。tanPCB=。又(0,),tanPCB(1,+)。又PCB为锐角,PCB(,),即异面直线PC,AD所成的角的范围为(,)。例7

17、 如图7-15,在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点,(1)求证:DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度;(2)求二面角EAC1C的大小;(3)求点C1到平面AEC的距离。解 (1)过D在面AC1内作FGA1C1分别交AA1、CC1于F、G,则面EFG面ABC面A1B1C1,EFG为正三角形,D为FG的中点,EDFG。连AE, D、E分别为的中点, 。又面EFGBB1,EDBB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE=a。(2)AC=CC1,D为AC1的中点,CDAC1,又由(1)可知,EDAC1,CDE为二面角EAC1C的平面角,

18、计算得CDE=90。或由(1)可得DE平面AC1,平面AEC1平面AC1,二面角EAC1C为90。(3)用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。例8 如图7-16,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60的角,且侧面ABB1A1底面ABC,(1)求证:B1CC1A;(2)求二面角C1ABC的大小;(3)求三棱锥B1ABC1的体积。解 (1)作B1DAB于D,侧面ABB1A1底面ABC,又B1D面ABB1A1,B1D底面ABC。B1BA=60。故ABB1是正角形。D是AB的中点。连CD,又ABC是正三角形,CDAB。又CD是B1C在平面ABC上的射影,B1CAB。又

19、BB1C1C是菱形,B1CBC1。又ABBC1=B,B1C面ABC1。又AC1面ABC1,B1CC1A。(2)2ACC1A1是菱形,C1AA1C。又B1CA1C=C,且由(1)知,C1A面A1B1C。C1AA1B1。又ABA1B1。C1AAB。连DE,则DEC1A,DEAB。又CDAB,CDE是二面角C1ABC的平面角。在CDB1中,CD=B1D=,CDB1是直角,且DE平分CDB1,CDE=45。(3)由(1)已证B1C面ABC1,B1E是三棱锥B1ABC1的高,且B1E=,又DE=B1E=,SABC=ABAC1=ABDE=2=,V=SABCB1E=1。例9 如图7-17,已知A1B1C1A

20、BC是正三棱柱,D是AC的中点。(1)证明AB1DBC1;(2)假设AB1BC1,BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。解 (1)如图7-18,A1B1C1ABC是正三棱柱,四边形B1BCC1是矩形。连结B1C,交BC1于E,则BE=EC。连结DE。在AB1C中,AD=DC,DEAB1,又AB1平面DBC1,DE平面DBC1,AB1平面DBC1。(2)作AFBC,垂足为F。因为面ABC面B1BCC1,AF平面B1BCC1。连结B1F,则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。BC1AB1,BC1B1F。四边形B1BCC1是矩形,B1BF=BCC1=90,又FB1B=C1BC,B

21、1BFBCC1,则=。又F为正三角形ABC的BC边中点,因而B1B2=BFBC=12=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3,B1F=,即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。例10 如图7-19(a),已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=BCD=60。(1)证明:C1CBD;(2)假定CD=2,C1C=,记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值;(3)当的值为多少时,能使A1C平面C1BD?请给出证明。(2000年全国高考题)。 解 如图7-19(b),(1)连结A1C1、AC,设AC和BD交于O,连 C1O。四边形ABCD是菱形,AC

22、BD,BC=CD。又BCC1=DCC1,C1C=C1C,C1BCC1DC,C1B=C1D,DO=OB,C1OBD,又ACBD,ACC1O=O,BD平面AC1,又C1C平面AC1,C1CBD。(2)由(1)知ACBD,C1OBD,C1OC是二面角BD的平面角。在C1BC中,BC=2,C1C=,BCC1=60,C1B2=22+()2 22cos60=。OCB=30,OB=BC=1,C1O2=C1B2-OB2=-1=,C1O=,即C1O=C1C。作C1HOC,垂足为H,则点H是OC的中点,且OH=,所以cosC1OC=。(3)当=1时,能使A1C平面C1BD。证明一:=1,BC=CD=C1C,又BCD=C1CB=C1CD,由此可推得BD=C1B=C1D。三棱锥CC1BD是正三棱锥。 设A1C与C1O相交于G。A1C1AC,且A1C1OC=21,C1GGO=21。又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线,点G是正三角形C1BD的中心,CG平面C1BD,即A1C平面C1BD。证明二:由(1)知,BD平面AC1,又A1C平面A1C1,BDA1C。当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同BDA1C的证法可得BC1A1C。又BDBC1=B,A1C平面C1BD。18 / 18

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