1、圆的面积一、本节学习指导本节我们学习圆的面积，同圆的周长一样，我们也要牢记圆的面积公式，并能灵活运用。本节还总结了扇形、环形的面积公式，希望能帮助同学们理解。二、知识要点1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S（大写）表示。 上图中阴影部分就是该圆的面积。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式 圆的面积公式： S圆 =r2 ；变形可得到： r2 = S 圆的面积公式： S =r2 2或S = r2圆的面积公式： S =r2 4 或S = r2注：已经圆的面积可以用变形公式求出圆的半径。4、环形的面积：（环形的面积等于外
2、圆面积与圆面积的差）一个环形，外圆的半径是R，圆的半径是r。（Rr环的宽度）环形的面积公式：S环 = R或S环 = （R）。如：上图圆的半径R=6cm，小圆半径r=2cm，阴影部分（圆环）的面积得：S环 = （62）cm=32（cm）注意：求环形的面积，一定要先想法分别求出外圆的半径（R）和圆的半径（r），再代入公式计算。一步一步的来，这样不容易错误。注意用公式S环 = （R）计算时，要先算出2个平方数，再相减。切忌相减后再平方。5、扇形的面积计算公式：S扇 = r2（n表示扇形圆心角的度数）注：扇形公式其实很好理解的，S=r2 是圆的面积，圆一周是360，旋转一度得到的面积是：S=r2 ，如
3、果是n度，自然是S扇 = r2。注意n是圆心角，如上图。6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。7、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 如：两个圆的半径比即：r1：r2=23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是49。8、任意一个正方形与它切圆的面积之比都是一个固定值，即：4圆的周长是直径的倍，圆的周长与直径的比是：1圆的周长是半径的2倍，圆的周长与半径的比是2：19、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积
4、最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。10、确定起跑线（1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。（2）每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（3）每相邻两个跑道相隔的距离是： 2跑道的宽度（4）当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加厘米。11、常用平方数结果11= 121 12 = 144 13 = 169 14 = 196 15 = 225 16= 256 17 = 289 18 = 324 19 = 361 20=4
5、00 12、常见与各数的乘积 3.141=3.14 3.142=6.28 3.143=9.423.144=12.56 3.145=15.7 3.146=18.843.147=21.98 3.148=25.12 3.149=28.26圆的面积与周长练习一、 填空题。1、一个圆的直径扩大2倍，它的半径扩大（ ）倍，它的周长扩大（ ）倍，它的面积扩大（ ）倍。2、两个圆的半径的比是2:3，它们直径的比是（ ），周长的比是（ ），面积比是（ ）。3、圆的周长是这个圆的直径的（ ）倍。4、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（ ）厘米。5、在一长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，
6、这个圆的半径是（ ）厘米；如果画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（ ）厘米。6、12.56米的铁丝围成一个圆，圆的面积是（ ）。7、把一个直径是4分米的圆分成两个半圆后，每个半圆的周长是（ ）分米。8、 ()确定圆的大小，（）确定圆的位置。 9、一个环形的外圆直径是10cm,圆直径是8cm,它的面积（ ） cm2。 10、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是4厘米，画出的这个圆的周长是（ ）。这个圆的面积是（ ）。11、一个车轮的直径为50cm，车轮转动一周，大约前进（ ）m。12、13、圆的半径扩大5倍，直径扩大（ ）倍；周长扩大（ ）倍；面积扩大（ ）倍。14、圆的半径扩大3倍，直径扩
7、大（ ）倍，周长扩大（ ）倍；面积扩大（ ）倍。15、在同一个圆中，所有的（ ）都相等；所有的（ ）都相等。圆周率是圆的（ ）和（ ）比值。二、应用题。1、一种钟表的分针长5cm，分针尖端30分钟走过的距离是多少？分针尖端2小时走过的距离是多少？2、保龄球的半径大约是1dm，球道的长度约为18m，保龄球从一端滚到另一端，最少要滚动多少周？3、一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？4、 小红沿直径6米的圆形花圃边走一周，需要走多少米？5、一捆电线绕了9圈，每圈直径都是48厘米，这捆电线长多少米？6、在一块半径20米的圆形花坛周围围一圈篱笆。篱笆长多少米？7
8、、一种自行车轮胎的外直径60厘米，小红骑车车轮每分钟转动100周。她骑车每分钟行使多少米？8、小明家买了31.4米长的篱笆，能围成直径多少米的圆形鸡栏？9、在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长多少分米？10、一辆自行车轮胎的外直径70厘米，如果每分钟转100圈，通过一座1099米的大桥需要多少分钟？三、选择题1、圆周率的值（ ）。 A 等于3.14 B 大于3.14 C 小于3.142、一个圆的半径2米，那么它的周长和面积相比，（ ）。 A 面积大 B 周长大 C 同样大 D 无法比较3、把一圆形纸片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似长方形，其周长（ ）。 A 等于圆周长
9、 B 大于圆周长 C 小于圆周长 D 无法比较4、圆的直径扩大2倍，它的面积扩大（ ）。 A 2倍 B 4倍 C 6倍 D 无法确定5、圆中最长的线段是圆的（ ）。 A 周长 B 直径 C 半径 D 无法确定6、周长相等的两个圆的面积（ ）。 A 相等 B 不相等 C 无法比较7、一个正方形和一个圆的周长相等，它们的面积相比（ ）。 A 正方形大 B 圆大 C 相等 D 无法比较8、画圆时，（ ）决定圆的位置，（ ）决定圆的大小。 A 圆规 B 半径 C 圆心 D 无法确定9、周长相等的长方形、正方形和圆，（ ）面积最大。A 长方形 B 正方形 C 圆 D 无法确定10、小圆半径4厘米，大圆半
10、径6厘米，大、小圆直径的比是（ ）；大、小圆周长的比是（ ）；大、小圆面积的比是（ ）。 A 2:3 B 3:2 C 4:9 D 9:411、一个圆的半径扩大a倍，直径扩大（ ）倍，周长扩大（ ）倍，面积扩大（ ）倍。A 2 B a C 2a D E 2 F a2 15、圆的大小与下面哪个条件无关。（ ）A 半径 B 直径 C 周长 D 圆心的位置16、下面的图形只有两条对称轴的是（ ） A 长方形 B 正方形 C 等边三角形 D 圆17、在一个长5厘米、宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（ ）。 A 5厘米 B 3厘米 C 2.5厘米 D 1.5厘米18、一个直径1厘米的圆与一个边
11、长1厘米的正方形相比，它们的面积（ ）。 A 圆的面积大 B 正方形的面积大 C 一样大 D 无法比较四、判断题：1、圆的半径有无数条。 （ ）2、圆的直径是半径的2倍。 （ ）3、圆有无数条对称轴。 （ ）4、圆的半径都相等。 （ ）5、直径4厘米的圆与半径2厘米的圆一样大。 （ ）6、半径2分米的圆的周长和面积一样大。 （ ）7、直径总比半径长。. （ ） 8、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 . （ ） 9、一个圆的面积和一个正方形的面积相等,它们的周长也一定相等. . （ ） 10、半圆的周长就是这个圆周长的一半。 （ ）11、两端都在圆上的线段，直径是最长的一条。. （ ） 12
12、、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。. （ ）13、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。. ( )14、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。. ( )15、圆周率等于3.14。 （ ）16、半径2厘米的圆，它的周长是6.28厘米。 （ ）17、圆的直径都相等。 （ ）18、等腰三角形、等腰梯形都是轴对称图形。 （ ）求阴影部分面积归纳例1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积， -21=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。设圆的半径为 r，因为正
13、方形的面积为7平方厘米，所以 =7，所以阴影部分的面积为：7-=7-7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：22-0.86平方厘米。例4.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-()=16-4 =3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，()2-16=8-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
14、例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）-()=100.48平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长对角线长2，求)正方形面积为：552=12.5所以阴影面积为：4-12.5=7.125平方厘米 (注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：()=3
15、.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：23=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，所以阴影部分面积为21=2平方厘米(注: 8、9、10三题是简单割、补或平移)例11.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。（ -）=3.14=3.66平方厘米例12.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：三个部分拼成一个半圆面积()14.13平方厘米例13.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
16、 解: 连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.所以阴影部分面积为：882=32平方厘米例14.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：梯形面积减去圆面积，(4+10)4-=28-4=15.44平方厘米 . 例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。分析: 此题比上面的题有一定难度,这是叶形的一个半.解: 设三角形的直角边长为r，则=12，=6圆面积为：2=3。圆三角形的面积为122=6，阴影部分面积为：(3-6)=5.13平方厘米例16.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解： =(116-36)=40=125.6平方厘米例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部
17、分的面积。(单位:厘米)解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。所以阴影部分面积为：552+5102=37.5平方厘米例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长。解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，所以圆弧周长为：23.1432=9.42厘米例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。解：右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。所以面积为：12=2平方厘米 例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。解：设小圆半径为
18、r，4=36, r=3，大圆半径为R，=2=18,将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,所以面积为:(-)2=4.5=14.13平方厘米例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，边长为2厘米，所以面积为：22=4平方厘米例22. 如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。解法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. ()2+44=8+16=41.12平方厘米解法二: 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶
19、形面积为:()2-44=8-16所以阴影部分的面积为:()-8+16=41.12平方厘米例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？解：面积为个圆减去个叶形，叶形面积为：-11=-1所以阴影部分的面积为:4-8(-1)=8平方厘米例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆，这四个部分正好合成个整圆，而正方形中的空白部分合成两个
20、小圆解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和为：44+=19.1416平方厘米例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)分析：四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，4(4+7)2-=22-4=9.44平方厘米 例26.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。解: 将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去个小圆面积,为: 552-4=12.25-3.14=9.36平方厘米例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米
21、，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。解: 因为2=4，所以=2 以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积， -224+4-2 =-1+(-1) =-2=1.14平方厘米例28.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解法一：设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积, 三角形ABD的面积为:552=12.5弓形面积为:2-552=7.125所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625平方厘米解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去小圆面积，其值为：55-=25-阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，
22、为：1052-（25-）=19.625平方厘米例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，此两部分差即为：465-12=3.7平方厘米例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。 解：两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X，则40X2-2=28 所以40X-400=56 则X=32.8厘米 例31.
23、如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。解：连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，两三角形面积为：APD面积+QPC面积=（510+55）=37.5两弓形PC、PD面积为：-55所以阴影部分的面积为：37.5+-25=51.75平方厘米 例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面积。解：三角形DCE的面积为:410=20平方厘米梯形ABCD的面积为:(4+6)4=20平方厘米 从而知道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成圆ABE的面积，其面积为：4=9=28.26平方厘米例33.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的圆ABE面积，为 (+)-6=13-6=4.205平方厘米例34.求阴影部分的面积。(单位:厘米)解：两个弓形面积为：-342=-6阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为+-（-6）=（4+-）+6=6平方厘米 例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。解：将两个同样的图形拼在一起成为圆减等腰直角三角形4-552=（-）2=3.5625平方厘米
